方向性距離函數(shù)與生產(chǎn)技術(shù)

（一）方向性距離函數(shù)與生產(chǎn)技術(shù)沿用之前文獻的設(shè)定，本文將投入向量記為，同理也可以將好產(chǎn)出向量寫為，壞產(chǎn)出向量寫為。接著，在上述設(shè)定下，采用如下產(chǎn)出集合來代表生產(chǎn)技術(shù)： （1）描述了所有投入—產(chǎn)出向量之間的關(guān)系，因此，需要是凸的有界閉集合③，以保證任何可行生產(chǎn)計劃的線性組合依然可行，且。本文進一步采用方向性距離函數(shù)代表生產(chǎn)技術(shù)，令為方向向量，并假定g≠0。方向性距離函數(shù)可以定義為： （2）方向性距離函數(shù)可以在既定的生產(chǎn)技術(shù)下，沿著設(shè)定的方向向量同時將好產(chǎn)出擴張到最大的可能水平以及將壞產(chǎn)出收縮到最小水平。該過程如圖1所示，仍然假定方向向量選為沿著該方向好產(chǎn)出擴張壞產(chǎn)出收縮，最終到達生產(chǎn)前沿面，而這里的即為方向性產(chǎn)出距離函數(shù)。在好產(chǎn)出可自由處置的假設(shè)下，方向向量也可以自由處置（F?reetal.，2006）。因此，產(chǎn)出集合與方向性產(chǎn)出距離函數(shù)之間具有如下等價關(guān)系： （3）至此，可以使用方向性產(chǎn)出距離函數(shù)來代表生產(chǎn)技術(shù)，從方向性距離函數(shù)的定義可以發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)具有傳遞性： （4）傳遞性表明如果觀測對象產(chǎn)出增加αgy，則相應(yīng)的方向性產(chǎn)出距離函數(shù)值會下降相同比例α。盡管方向性產(chǎn)出距離函數(shù)不包含任何價格信息，但是當觀測對象通過方向性產(chǎn)出距離函數(shù)調(diào)整達到生產(chǎn)前沿面時，可以利用方向性產(chǎn)出距離函數(shù)與收益函數(shù)的對偶關(guān)系計算壞產(chǎn)出的影子價格。為此，本文假定壞產(chǎn)出的存在會降低收益，從而建立收益函數(shù)。（二）收益函數(shù)與影子價格為構(gòu)建收益函數(shù)，本文將好產(chǎn)出價格向量定義為，并將壞產(chǎn)出的價格向量定義為。通過假定壞產(chǎn)出會導(dǎo)致負收益，可以將收益函數(shù)定義為： （5）利用（3）式的關(guān)系，可以將最大化收益函數(shù)寫為： （6）簡單整理后，方向性距離函數(shù)可以通過收益函數(shù)表示如下： （7）從而由包絡(luò)定理可以得到影子價格的估計模型： 8）在觀測對象通過方向性距離函數(shù)調(diào)整達到生產(chǎn)前沿面時，兩種產(chǎn)出的邊際轉(zhuǎn)換率等于其相對價格之比。公式（8）括號中的部分表示的是好產(chǎn)出與壞產(chǎn)出在生產(chǎn)前沿面的邊際轉(zhuǎn)換率，即減少一單位壞產(chǎn)出需要同時減少的好產(chǎn)出的水平，再乘以好產(chǎn)出價格，即為減少一單位壞產(chǎn)出的機會成本，可以將其視為邊際減排成本（marginalabatementcost，MAC）⑤的一種近似（F?reetal.，2005；Murtyetal.，2007）。（三）參數(shù)近似與模型估計由于二次型函數(shù)滿足傳遞性且具有估計邊際效應(yīng)需要的二階參數(shù)⑥，本文同樣采用二次型函數(shù)將方向性產(chǎn)出距離函數(shù)參數(shù)化（Chambersetal.，1998），并將方向向量選為⑦。假定經(jīng)濟體中有k=1，2，……，K個決策單元，在時期t=1，2，……，T中從事經(jīng)濟活動，追求收益最大化。則對于決策單元k在時期t的二次型方向性產(chǎn)出距離函數(shù)可以近似表達生產(chǎn)技術(shù)： （9）為了控制時間及個體差異，本文在模型中加入時間及個體虛擬變量，其具體形式如下： （10）在上述設(shè)定下，為了使參數(shù)方向性距離函數(shù)具有距離函數(shù)的性質(zhì)，需要進一步對參數(shù)模型的參數(shù)施加約束條件。（1）代表性（representation）： （11）（2）對稱性（symmetry）： （12）（3）單調(diào)性（monotonicity）： （13） （14） （15）（4）傳遞性（translation）： （16） （17） （18） （19）代表性約束要求觀測到的每一個決策單元的產(chǎn)出向量可行，即位于生產(chǎn)前沿面上或者在其內(nèi)部；對稱性約束指的是要求投入和產(chǎn)出的交叉效應(yīng)具有對稱性；單調(diào)性意味著，好產(chǎn)出的增加或者是壞產(chǎn)出的下降，都可以使觀測對象與前沿面的距離減少，而這一關(guān)系是單調(diào)的，不會出現(xiàn)逆轉(zhuǎn)情況；傳遞性的性質(zhì)已經(jīng)在前文進行說明，