材料力學(xué)彎曲應(yīng)力

材料力學(xué)彎曲應(yīng)力第1頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月回顧FsM上一章任務(wù)：合力橫截面上整體情況st本章任務(wù)：分力橫截面上每一點(diǎn)情況第2頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月橫力彎曲——橫截面上既存在彎矩，又存在橫向剪力的梁的彎曲,稱為橫力彎曲純彎曲——橫截面上僅存在彎矩的梁的彎曲FFABCD剪力圖彎矩圖圖示簡(jiǎn)直梁中BC

段為純彎曲AB，CD段為橫力彎曲橫力彎曲純彎曲幾個(gè)基本概念第3頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)力的起因彎矩——橫截面上正應(yīng)力的合力偶，此時(shí)，正應(yīng)力稱為彎曲正應(yīng)力剪力——橫截面上切應(yīng)力的合力，此時(shí)，切應(yīng)力稱為彎曲切應(yīng)力梁彎曲的應(yīng)力特征純彎曲——橫截面上僅存在正應(yīng)力橫力彎曲——橫截面上不僅有正應(yīng)力，而且還存在切應(yīng)力幾個(gè)基本概念st第4頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月橫截面上的正應(yīng)力研究梁橫截面上應(yīng)力的分布，必須從幾何（變形）、物理（本構(gòu)）和靜力學(xué)（平衡）三方面進(jìn)行綜合分析下面依次分析梁純彎曲時(shí)，這三個(gè)方面的特征第5頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月變形幾何關(guān)系第6頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月橫截面上的正應(yīng)力

純彎曲試驗(yàn)及變形觀察(表)縱向線aa，oo

，bb變?yōu)榛【€a′a′

，o′o′

，b′b′

a′a′<aa，oo=o′o′，bb<b′b′

橫向線mm,nn仍然為直線，并且垂直于a′a′

，o′o′，b′b′

矩形截面上部變寬，下部變窄變形幾何關(guān)系第7頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月橫截面上的正應(yīng)力變形假設(shè)(里)1、彎曲變形的平面假設(shè)變形后，橫截面仍保持為平面，并且仍與彎曲后的縱向線正交，各截面間作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。第8頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、彎曲變形的單向受力假定所有與軸線平行的縱向纖維處于軸向拉伸或軸向壓縮，纖維之間不受力橫截面上的正應(yīng)力梁中縱向纖維長(zhǎng)度不變的過(guò)渡層稱為中性層。中性層和橫截面的交線稱為中性軸第9頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1、幾何方面

取長(zhǎng)度為dx的一段微梁，變形后的形狀如圖。記長(zhǎng)度不變軸線o′o′(中性層）的曲率半徑為r，兩橫截面的夾角為dq，則變形后，距o′o′為y處纖維的長(zhǎng)度為

注意到o′o′=

dx=rdq，于是，距o′o′為y處的纖維的線應(yīng)變?yōu)閐x橫截面上的正應(yīng)力第10頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月即縱向纖維的線應(yīng)變與它到中性層的距離成正比第11頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、物理關(guān)系

由于縱向纖維僅受拉伸或壓縮，于是在正應(yīng)力不超過(guò)比例極限時(shí)，根據(jù)胡克定理，有即對(duì)給定的橫截面，其上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比橫截面上的正應(yīng)力第12頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、靜力學(xué)關(guān)系

目前未解決問(wèn)題:①z軸-中性軸where?②r=?與彎矩有何關(guān)系？橫截面上的正應(yīng)力代入得到第13頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月梁橫截面上的正應(yīng)力分布公式r的確定第14頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月靜矩：yzAyzdA形心公式坐標(biāo)原點(diǎn)過(guò)形心C附錄：截面圖形的幾何性質(zhì)第15頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月附錄：截面圖形的幾何性質(zhì)yzAyzdA慣性積若圖形有對(duì)稱軸，則坐標(biāo)軸含對(duì)稱軸時(shí)第16頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月橫截面關(guān)于z軸的靜矩為零，即z

軸為截面的形心軸橫截面關(guān)于y、z

軸的慣性積為零。y、z

軸為主軸中性軸z的確定y，z形心主軸中性軸通過(guò)橫截面形心，并垂直于縱向?qū)ΨQ軸y第17頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月①橫截面上正應(yīng)力是線性分布②正比于Mz

，反比于Iz

③中性層兩側(cè)一拉一壓存在說(shuō)明：①適用于任意截面（推導(dǎo)中沒(méi)有用矩形性質(zhì)）②成立條件(a)y，z軸須為形心主軸(b)比例極限內(nèi)s<sp橫截面上的正應(yīng)力第18頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月最大正應(yīng)力發(fā)生在離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)上，即令

——抗彎截面系數(shù)，則抗彎截面系數(shù)綜合反映了橫截面形狀和尺寸對(duì)彎曲正應(yīng)力的影響。橫截面上的正應(yīng)力第19頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月慣性矩yzAyzdA附錄：截面圖形的幾何性質(zhì)第20頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常見(jiàn)橫截面的慣性矩和抗彎截面系數(shù)zyhbCzydCzyDCd第21頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月已知：矩形截面b×h求：Iy，IzCyzbhzdzdAydydA解：取平行于x軸和y軸的微元面積第22頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月zyOdAyzrA

慣性矩、極慣性矩第23頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月——圖形對(duì)y軸的慣性半徑——圖形對(duì)z軸的慣性半徑zyOdAyz

慣性矩、慣性半徑第24頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月已知：圓截面直徑d求：Iy，Iz，IPdrdrdACyz解：取圓環(huán)微元面積第25頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(1)選參考坐標(biāo)系oyz,確定形心zyoy軸肯定是形心主軸y是對(duì)稱軸Sz=SAiyi,Sy=SAizi(yi,

zi)每個(gè)圖形形心在參考坐標(biāo)系下oyz坐標(biāo)從而確定形心坐標(biāo)為yc=Sz/A,zc=Sy/A=0組合圖形的靜矩o’zc=yc組合圖形的慣性矩第26頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)組合圖形的慣性矩z1yoo’zcIyc=SIyci=Iy組合圖形的慣性矩Izc=?平行軸公式Izc=S(Izci+di2Ai)yzAyzdA慣性矩平行軸定理:y0z0y0z0ab第27頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月橫截面上的正應(yīng)力橫力彎曲

盡管公式s

=

Mzy/Iz

是在純彎曲條件下建立的。但彈性理論和實(shí)驗(yàn)表明：對(duì)于具有對(duì)稱截面的一般細(xì)長(zhǎng)梁（梁的跨度l與高度h之比l/h5），剪力對(duì)正應(yīng)力的分布規(guī)律影響很小，上述計(jì)算正應(yīng)力的公式仍然可用，并且具有足夠的精度第28頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

對(duì)于一般的彎曲梁，其彎矩是截面位置的函數(shù)。因此計(jì)算等截面直梁的最大正應(yīng)力的公式為即橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在全梁最大彎矩Mmax所在橫截面的最外邊緣各點(diǎn)處正應(yīng)力強(qiáng)度條件第29頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于變截面直梁，最大正應(yīng)力不一定發(fā)生在彎矩為最大的截面上，必須綜合考慮M

和Wmax

這兩個(gè)因素，以確定全梁上的最大正應(yīng)力，既確定一般應(yīng)力表達(dá)式的最大值正應(yīng)力強(qiáng)度條件第30頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于塑性材料，由于其抗拉和抗壓許用應(yīng)力相同，梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為

smax

[s]對(duì)于脆性材料，由于其抗拉和抗壓許用應(yīng)力不相同，梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為

s+max

[s+]

s-max

[s-]正應(yīng)力強(qiáng)度條件第31頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月已知d1=100mm，d2=120mm，P=30kN，

l1=600mm，l2=800mm，[s

]=100Mpa。解支座反力：

FAy=FDy=P/2=15kNBPd2Ed1l1l2l1ACDFAyFDy例對(duì)圖示的階梯形變截面圓直梁校核強(qiáng)度EXAMPLE-1第32頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月畫(huà)出彎矩圖：關(guān)于荷載P對(duì)稱，且為折線。AB(CD)段上的最大彎矩MB=MC=9kN·m，位于截面B和C。BC段上的最大彎矩Mmax=ME=15kN·m，位于截面E1599

ABCDE

PEABCDEXAMPLE-1第33頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月校核強(qiáng)度：截面E：WzE=

d23/32=1.696105mm3故smaxE=Mmax/WzE=88.4MPa截面B(C)

:

WzB=

d13/32=9.81104mm3故smaxB=MB/WzB=91.7MPa?？梢?jiàn)，最危險(xiǎn)點(diǎn)在B(C)

截面的上下邊緣，且

smax=smaxB=91.7MPa<[s]因此，該軸是安全的。PEABCD第34頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例題例

6-1已知：梁用№18工字鋼制成,Me=20kN?m,E=200GPa。計(jì)算：最大彎曲正應(yīng)力smax,梁軸曲率半徑r解：1.工字鋼一種規(guī)范化、系列化的工字形截面的標(biāo)準(zhǔn)鋼材（GB706-88）№18工字鋼：第35頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Me=20kN?m，E=200GPa，求smax與r2.應(yīng)力計(jì)算3.變形計(jì)算第36頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例題例

6-2已知：F=15kN,l=400mm,b=120mm,d=20mm計(jì)算：截面

B-B的最大拉應(yīng)力st,max與壓應(yīng)力sc,max解：1.彎矩計(jì)算第37頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.慣性矩計(jì)算3.最大彎曲正應(yīng)力第38頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例

3

已知：鋼帶厚d=2mm,寬b=6mm,D=1400mm,E=200GPa。計(jì)算：帶內(nèi)的smax與M解：1.

問(wèn)題分析

應(yīng)力～變形關(guān)系：

內(nèi)力～變形關(guān)系：已知鋼帶變形，求鋼帶應(yīng)力與內(nèi)力第39頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月帶厚

d=2mm,寬

b=6mm,D

=

1400mm,E

=

200GPa，求smax與M2.應(yīng)力計(jì)算3.

彎矩計(jì)算第40頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若帶厚

d=10mm,4.討論第41頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例圖示外伸梁由鑄鐵作成，橫截面為T(mén)字形已知q=10kN/m，P=20kN，

[st

]=40Mpa，[sc

]=160Mpa，校核該梁的強(qiáng)度。EXAMPLE-2PACBD2m3mq1myzCzC2002003030第42頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解支座反力:FBy=

30kNFDy=10kN

EXAMPLE-2FByFDyPACBD2m3mq1m彎矩圖：Θ

10kN·m20kN·m第43頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月EXAMPLE-2yzCzC2002003030求Izc首先求形心C的位置形心主慣性矩為：第44頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月EXAMPLE-2校核強(qiáng)度：FByFDyPACBD2m3mq1mΘ

10kN·m20kN·mB截面：上邊緣為拉應(yīng)力下邊緣為壓應(yīng)力第45頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月EXAMPLE-2校核強(qiáng)度：FByFDyPACBD2m3mq1mΘ

10kN·m20kN·mC截面：上邊緣為壓應(yīng)力下邊緣為拉應(yīng)力所以僅對(duì)C截面拉應(yīng)力校核。梁滿足強(qiáng)度要求。第46頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例圖示槽形截面鑄鐵梁。已知b=2m，Iz

=5493ⅹ104mm4，許用拉應(yīng)力

[st

]=30MPa，[sc

]=90MPa，確定此梁的許可荷載。PACBDbbbq=P/byzO86134120401802020EXAMPLE-3第47頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解:支座反力FAy=P/4

,FBy=7P/4MB=-Pb/2彎矩圖：彎矩圖Θ

MC=Pb/4FAyFAyPACBDbbbq=P/bEXAMPLE-3第48頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

分析可知，不管是對(duì)截面C還是截面B，該梁的強(qiáng)度均由最大拉應(yīng)力控制最大正、負(fù)彎矩分別在C、B截面處，其值分別為

MC=Pb/4，MB=Pb/2彎矩圖Θ

MC=Pb/4ACBDyzO86134120401802020由橫截面尺寸可見(jiàn)，中性軸到上、下邊緣的距離分別為y2=86mm，y1=134mm

第49頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因此，只須計(jì)算C、B截面上的最大拉應(yīng)力。得彎矩圖Θ

MC=Pb/4ACBDyzO86134120401802020EXAMPLE-3由C截面上的最大拉應(yīng)力第50頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由B截面上的最大拉應(yīng)力得從而，許用荷載為彎矩圖Θ

MC=Pb/4ACBDyzO86134120401802020EXAMPLE-3第51頁(yè)，課件共59頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月F=80kNACB1m1m22060y1y2yzo220d例跨長(zhǎng)l=2m的鑄鐵梁受力如圖所示。已知材料的拉、壓許用應(yīng)力分別為[st]=30MPa，[sc]=