《專項(xiàng)練習(xí)》2023學(xué)年八年級(jí)上冊(cè)（人教版）推理能力課之和角平分線有關(guān)的輔助線重難點(diǎn)專練（解析版）

更多資料添加微信號(hào)：DEM2008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育網(wǎng)址：更多資料添加微信號(hào)：DEM2008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育網(wǎng)址：專題04推理能力課之和角平分線有關(guān)的輔助線重難點(diǎn)專練（解析版）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．如圖，中，，的角平分線、相交于點(diǎn)，過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④四邊形，其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理逐一分析判斷即可．【詳解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD=，∠ABE=∴∠BAD+∠ABE=∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正確；∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°∴∠APB=∠FPB又∵∠ABP=∠FBPBP=BP∴△ABP≌△FBP（ASA）∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正確；在△APH與△FPD中∵∠APH=∠FPD=90°∠PAH=∠BAP=∠BFPPA=PF∴△APH≌△FPD（ASA），∴AH=FD，又∵AB=FB∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正確；連接HD，ED，∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP∴，，PH=PD，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∴HD∥EP，∴∵故④錯(cuò)誤，∴正確的有①②③，故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定兩個(gè)三角形全等．2．已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足．下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE；④BA+BC=2BF．其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)SAS證△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，結(jié)合∠BCD＝∠BDC可得①②正確；根據(jù)角的和差以及三角形外角的性質(zhì)可得∠DCE＝∠DAE，即AE＝EC，由AD＝EC，即可得③正確；過E作EG⊥BC于G點(diǎn)，證明Rt△BEG≌Rt△BEF和Rt△CEG≌Rt△AEF，得到BG＝BF和AF＝CG，利用線段和差即可得到④正確．【詳解】解：①∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠CBD，∴在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（SAS），①正確；②∵BD為△ABC的角平分線，BD＝BC，BE＝BA，∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，∴∠BCE＋∠BCD＝∠BDA＋∠BDC＝180°，②正確；③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∠BDA＝∠DAE＋∠BEA，∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴△ACE為等腰三角形，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝AE．③正確；④過E作EG⊥BC于G點(diǎn)，∵E是∠ABC的角平分線BD上的點(diǎn)，且EF⊥AB，∴EF＝EG（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等），∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG＝BF，∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，，∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），∴AF＝CG，∴BA＋BC＝BF＋FA＋BG?CG＝BF＋BG＝2BF，④正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，本題中熟練求證三角形全等和熟練運(yùn)用全等三角形對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題3．如圖，在中，、的角平分線相交于點(diǎn)，①若，則__________，②若，，則___________.【答案】110°70°【分析】①先根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠BAC+∠BCA=140°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠IAC+∠ICA的值，然后利用三角形內(nèi)角和即可求解；②在BC上取CD=AC，連接BI、DI，利用SAS證明△ACI與△DCI全等，可得AI=DI，∠CAI=∠CDI，再根據(jù)BC=AI+AC求出AI=BD，從而可得BD=DI，由三角形外角的性質(zhì)可得∠CDI=2∠DBI，再根據(jù)角平分線的定義即可求出∠CDI=∠ABC，又∠BAC=2∠CAI，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可求解；【詳解】①∵，∴∠BAC+∠BCA=140°，∵AI、CI分別是、的角平分線，∴∠IAC+∠ICA=(∠BAC+∠BCA)=70°，∴∠AIC=180°-70°=110°；②如圖1，在BC上取CD=AC，連接BI、DI，∵CI平分∠ACB，∴∠ACI=∠BCI，在△ACI與△DCI中，，∴△ACI≌△DCI（SAS），∴AI=DI，∠CAI=∠CDI，∵BC=AI+AC，∴BD=AI，∴BD=DI，∴∠IBD=∠BID，∴∠CDI=∠IBD+∠BID=2∠IBD，又∵AI、CI分別是∠BAC、∠ACB的平分線，∴BI是∠ABC的平分線，∴∠ABC=2∠IBD，∠BAC=2∠CAI，∴∠CDI=∠ABC，∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC，∵∠ABC=35°，∴∠BAC=35°×2=70°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”作輔助線構(gòu)造全等三角形以便于利用條件“BC=AI+AC”是解決本題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．4．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝50，∠CAP＝______．【答案】40°【分析】過點(diǎn)P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和內(nèi)角和定理，得到∠BAC度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得到答案．【詳解】解：過點(diǎn)P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，如圖：設(shè)∠PCD=x，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x，PM=PN，∴∠ACD=2x，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PM=PN，∵∠BPC＝50°，∴∠ABP=∠PBC=，∴,∴，∴，在Rt△APF和Rt△APM中，∵PF=PM，AP為公共邊，∴Rt△APF≌Rt△APM（HL），∴∠FAP=∠CAP，∴；故答案為：40°；【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行解題，正確求出是關(guān)鍵．5．如圖所示，的外角的平分線CP與的平分線相交于點(diǎn)P，若，則_______．【答案】【分析】如圖（見解析），設(shè)，從而可得，先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可求出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)平角的定義即可得．【詳解】如圖，過點(diǎn)P分別作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，于點(diǎn)E，設(shè)，則，，，是的平分線，，，是的平分線，，，，同理可得：，，在和中，，，，即，又，，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線，利用角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三、解答題6．如圖，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．【答案】50°【解析】【分析】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．【詳解】延長(zhǎng)BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，設(shè)∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°，∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，∴∠CAF=100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)，∴∠CAP=∠FAP，又∵∠CAP+∠PAF=∠CAF，∴∠CAP=50°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識(shí)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PM=PN=PF是解決問題的關(guān)鍵．7．如圖所示，在中，，是的角平分線，交于點(diǎn)，求證：．【答案】詳見解析【分析】在AB上截，連接FG，根據(jù)角平分線的性質(zhì)、結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得，證明，得GD=GF，=60°，可證得，即可得GF=GE=GD.【詳解】證明：在AB上截，連接FG，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠EAB，又∵AG=AG，∴，，，∵，AE,BD是ΔABC的角平分線，∴，∴，∵，∴，∴GD=GE.【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，求證：∠ADC+∠B=180o【答案】見解析.【分析】延長(zhǎng)AD過C作CF垂直AD于F，由條件可證△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由條件AD＋AB＝2AE可證BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性質(zhì)可得∠B＝∠FDC，問題得證．【詳解】證明：延長(zhǎng)AD過C作CF垂直AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC＝∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AFC＝∠AEC＝90°，AC=AC，∴△AFC≌△AEC(AAS)，∴AF＝AE，CF＝CE，∵AD+AB=2AE，又∵AD＝AF?DF，AB＝AE＋BE，AF＝AE，∴2AE＝AE＋BE＋AE?DF，∴BE＝DF，在△CDF和△CBE中，，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠B＝∠FDC，∵∠ADC＋∠FDC＝180°，∴∠ADC+∠B=180o．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是牢記三角形全等的判定定理．9．如圖1，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且MN//PQ．和的平分線交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）過點(diǎn)作直線交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），交于點(diǎn)E,①若點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，如圖2，求證：；②若點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，則線段、、有何數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不說理由．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】(1)由平行線性質(zhì)可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分線定義可得,再利用三角形內(nèi)角和定理即可得∠C=90°,即可證明BC⊥AC;(2)①延長(zhǎng)AC交PQ點(diǎn)F，先證明AC=FC,再證明△ACD≌△FCE,即可得AD+BE=AB;②方法與①相同．【詳解】解：（1）∵M(jìn)N∥PQ∴∠NAB+∠ABQ=180°∵AC平分∠NAB，BC平分∠ABQ∴∴∠BAC+∠ABC==90°在△ABC中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°∴∠C=180°-(∠BAC+∠ABC)=180°-90°=90°∴BC⊥AC;（2）①延長(zhǎng)AC交PQ于點(diǎn)F∵BC⊥AC∴∠ACB=∠FCB=90°∵BC平分∠ABF∴∠ABC=∠FBC∴BC=BC∴△ABC≌△FBC∴AC=CF，AB=BF∵M(jìn)N∥BQ∴∠DAC=∠EFC∵∠ACD=∠FCE∴△ACD≌△FCE∴AD=EF∴AB=BF=BE+EF=BE+AD即：AB=AD+BE②線段AD，BE，AB數(shù)量關(guān)系是：AD+AB=BE如圖3，延長(zhǎng)AC交PQ點(diǎn)F,∵M(jìn)N//PQ．∴∠AFB=∠FAN，∠DAC=∠EFC∵AC平分∠NAB∴∠BAF=∠FAN∴∠BAF=∠AFB∴AB=FB∵BC⊥AC∴C是AF的中點(diǎn)∴AC=FC在△ACD與△FCE中∴∴AD=EF∵AB=FB=BE-EF∴AD+AB=BE【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)判定，等腰三角形性質(zhì)等，解題關(guān)鍵正確添加輔助線構(gòu)造全等三角形．10．如圖，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，試說明：BF＝2CD．【答案】見解析【分析】作BF的中點(diǎn)E，連接AE、AD，根據(jù)直角三角形得到性質(zhì)就可以得出AE＝BE＝EF，由BD平分∠ABC就可以得出∠ABE＝∠DBC＝22.5°，從而可以得出∠BAE＝∠BAE＝∠ACD＝22.5°，∠AEF＝45°，由∠BAC＝90°，∠BDC＝90°就可以得出A、B、C、D四點(diǎn)共圓，求出AD＝DC，證△ADC≌△AEB推出BE＝CD，從而得到結(jié)論．【詳解】解：取BF的中點(diǎn)E，連接AE，AD，∵∠BAC＝90°，∴AE＝BE＝EF，∴∠ABD＝∠BAE，∵CD⊥BD，∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴∠DAC＝∠DBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠DAC＝∠BAE，∴∠EAD＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ABD＝∠DBC＝22.5°，∴∠AED＝45°，∴AE＝AD，在△ABE與△ADC中，，∴△ABE≌△ADC，∴BE＝CD，∴BF＝2CD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分線，延長(zhǎng)BD至E，使DE＝AD，求證：∠ECA＝40°．【答案】見解析【分析】在BC上截取BF＝AB，連DF，根據(jù)SAS可證明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，證明△DCE≌△DCF，故∠ECA＝∠DCB＝40°．【詳解】證明：在BC上截取BF＝AB，連DF，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠FBD，在△ABD和△ＦBD中，，∴△ABD≌△FBD（SAS），∴DF＝DA＝DE，又∵∠ACB＝∠ABC＝40°，∠DFC＝180°﹣∠A＝80°，∴∠FDC＝60°，∴∠EDC＝∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠A＝180°﹣20°﹣100°＝60°，在△DCE和△DCF中，，∴△DCE≌△DCF（SAS），∴∠ECA＝∠DCB＝40°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于點(diǎn)E．試說明AD＝AB﹣BC的理由．【答案】見解析【分析】在AB上找到F使得AF＝AD，易證△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根據(jù)平行線性質(zhì)可證∠C＝∠BFE，即可證明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解題．【詳解】證明：在AB上找到F使得AF＝AD，∵AE平分∠BAD，∴∠EAD＝∠EAF，∵在△AEF和△AED中，，∴△AEF≌△AED，（SAS）∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，∵AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°，∵∠AFE＋∠BFE＝180°∴∠C＝∠BFE，∵BE平分∠BAD，∴∠FBE＝∠C，∵在△BEC和△BEF中，，∴△BEC≌△BEF，（AAS）∴BF＝BC，∵AB＝AF＋BF，∴AB＝AD＋BC，即AD＝AB﹣BC．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△AEF≌△AED和△BEC≌△BEF是解題的關(guān)鍵．13．如圖，∠D＝∠C＝90°，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．【答案】28°【分析】過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=EF，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度數(shù)．【詳解】如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，

∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，

∴DE=EF，

∵E是DC的中點(diǎn)，

∴DE=CE，

∴CE=EF，

又∵∠C=90°，

∴點(diǎn)E在∠ABC的平分線上，

∴BE平分∠ABC，

又∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD=180°，

∴∠AEB=90°，

∴∠BEC=90°-∠AED=62°，

∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，

∴∠ABE=28°．【點(diǎn)睛】考查了平行線的性質(zhì)與判定、角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)、到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟記各性質(zhì)并作出輔助線．14．如圖，在中，，，是的平分線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，，試求的度數(shù)．【答案】40°【分析】在上截取，連接，通過證明，可得，再通過證明，即可求得【詳解】解：如圖，在上截取，連接，是的平分線，，在和中，，，，∴DE=DF，，又，，，，在和中，，故．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的問題，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理是解題的關(guān)鍵．15．如圖，ABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求證：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）2【分析】（1）連接、，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得，然后利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；（2）利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，再根據(jù)、的長(zhǎng)度表示出、，然后解方程即可．【詳解】（1）證明：連接、，點(diǎn)在的垂直平分線上，，是的平分線，，在和中，，，；（2）解：在和中，，，，，，，即，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．16．已知：如圖，，，分別平分和，點(diǎn)E在上．用等式表示線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】AB=AC+BD，證明見詳解．【分析】延長(zhǎng)AE，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，先證明AB=BF，進(jìn)而證明△ACE≌△FDE，得到AC=DF，問題得證．【詳解】解：延長(zhǎng)AE，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵，∴∠F=∠CAF，∵平分，∴∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AB=BF，∵平分，∴AE=EF，∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，∴△ACE≌△FDE，∴AC=DF，∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判斷與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意添加輔助線構(gòu)造等腰三角形和全等三角形是解題關(guān)鍵．17．如圖1，在中，，分別是和的角平分線，和相交于點(diǎn)．（1）求證：平分；（2）如圖2，過作于點(diǎn)，連接，若，，求證：；（3）如圖3，若，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．【分析】（1）過D點(diǎn)分別作三邊的垂線，垂足分別為G、H、K，根據(jù)角平分線的定義可證得DG=DH=DK，從而根據(jù)角平分線的判定定理可證得結(jié)論；（2）作，，在上取一點(diǎn)，使，通過證明和得到，從而根據(jù)等角對(duì)等邊判斷即可；（3）延長(zhǎng)至，使，連接，通過證明得到，再結(jié)合即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖所示，過D點(diǎn)分別作三邊的垂線，垂足分別為G、H、K，∵，分別是和的角平分線，∴，∴平分；（2）證明：如圖，作，，在上取一點(diǎn)，使．∵平分，∴，∵，，∴，在四邊形中，，又∵，∴，在和中，∴，∴，在和中∴，∴又∵，，∴，∴；（3）證明：延長(zhǎng)至，使，連接．∵，分別是和的角平分線，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)與判斷，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活結(jié)合角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線是解題關(guān)鍵．18．閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題:如圖一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與DC數(shù)量關(guān)系.小明發(fā)現(xiàn)可以用下面方法解決問題:作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E：(1)根據(jù)閱讀材料可得AD與DC的數(shù)量關(guān)系為__________.(2)如圖二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與DC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.(3)如圖三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與BD、BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.【答案】（1）CD=2AD；（2）CD=3AD；（3）BC=AD+BD.【解析】【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)可得AD=DE，根據(jù)∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，由DE⊥BC可得△DEC是等腰直角三角形，可得CD=2DE，進(jìn)而可得答案；（2）在BC上截取BE=AB，連接DE，利用SAS可證明△ABD≌△EBD，可得AD=DE，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠C=30°，利用三角形外角性質(zhì)可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得答案；（3）在BC上取一點(diǎn)E，使BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，由角平分線的性質(zhì)就可以得出DF=DG，利用AAS可證明△DAF≌△DEG，可得DA=DE，利用外角性質(zhì)可求出∠EDC=40°，進(jìn)而可得DE=CE，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴DE=AD，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=2DE=2AD，故答案為：CD=2AD（2）如圖，在BC上截取BE=AB，連接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，在△ABD和△EBD中，AB=BE∴△ABD≌△EBD，∴DE=AD，∠BED=∠A=120°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠CDE=∠BED-∠C=90°，∴CD=3DE=3AD.（3）如圖，在BC上取一點(diǎn)E，是BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，∴∠DFA=∠DGE=90°．∵BD平分∠ABC，DF⊥BA，DG⊥BC，∴DF=DG．∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，∴∠DBC=20°，∵BE=BD，∴∠BED=∠BDE=80°，∴∠FAD=∠BED．在△DAF和△DEG中，∠DFA=∠∴△DAF≌△DEG（AAS），∴AD=ED．∵∠BED=∠C+∠EDC，∴80°=40+∠EDC，∴∠EDC=40°，∴∠EDC=∠C，∴DE=CE，∴AD=CE．∵BC=BE+CE，∴BC=BD+AD．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)合理添加輔助線是解答本題的關(guān)鍵．19．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，點(diǎn)C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作交y軸于點(diǎn)E．（1）如圖，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），試求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）如圖，若點(diǎn)C在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，且，其它條件不變，連接DO，求證：OD平分（3）若點(diǎn)C在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，試探索線段AD、OC、DC的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）（0，3）；（2）詳見解析；（3）AD=OC+CD【分析】（1）先根據(jù)AAS判定△AOE≌△BOC，得出OE=OC，再根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），得到OC=2=OE，進(jìn)而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）先過點(diǎn)O作OM⊥AD于點(diǎn)M，作ON⊥BC于點(diǎn)N，根據(jù)△AOE≌△BOC，得到S△AOE=S△BOC，且AE=BC，再根據(jù)OM⊥AE，ON⊥BC，得出OM=ON，進(jìn)而得到OD平分∠ADC；（3）在DA上截取DP=DC，連接OP，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求得∠PAO=30°，進(jìn)而得到∠OCB=60°，根據(jù)SAS判定△OPD≌△OCD，得OC=OP，∠OPD=∠OCD=60°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得PA=PO=OC，故AD=PA+PD=OC+CD．【詳解】（1）如圖①，∵AD⊥BC，BO⊥AO，∴∠AOE=∠BDE，又∵∠AEO=∠BED，∴∠OAE=∠OBC，∵A（-5，0），B（0，5），∴OA=OB=5，∴△AOE≌△BOC，∴OE=OC，又∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），∴OC=3=OE，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3）；（2）如圖②，過點(diǎn)O作OM⊥AD于點(diǎn)M，作ON⊥BC于點(diǎn)N，∵△AOE≌△BOC，∴S△AOE=S△BOC，且AE=BC，∵OM⊥AE，ON⊥BC，∴OM=ON，∴OD平分∠ADC；（3）如所示，在DA上截取DP=DC，連接OP，∵，∠ADC=90°∴∠PAO+∠OCD=90°，∴∠DAC==30°，∠DCA==60°∵∠PDO=∠CDO，OD=OD，∴△OPD≌△OCD，∴OC=OP，∠OPD=∠OCD=60°，∴∠POA=∠PAO=30°∴PA=PO=OC∴AD=PA+PD=OC+CD即：AD=OC+CD．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．20．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)且a，b滿足．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖（1），點(diǎn)C為x軸負(fù)半軸一動(dòng)點(diǎn)，，于D，交y軸于點(diǎn)E，求證：平分．（3）如圖（2），點(diǎn)F為的中點(diǎn)，點(diǎn)G為x正半軸點(diǎn)右側(cè)的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)F作的垂線，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)H，那么當(dāng)點(diǎn)G的位置不斷變化時(shí)，的值是否發(fā)生變化?若變化，請(qǐng)說明理由；若不變化，請(qǐng)求出相應(yīng)結(jié)果．【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）不變化，．【分析】（1）由非負(fù)性可求a，b的值，即可求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)O作于M，于N，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；（3）由于點(diǎn)F是等腰直角三角形AOB的斜邊的中點(diǎn)，所以連接OF，得出OF=BF．∠BFO=∠GFH，進(jìn)而得出∠OFH=∠BFG，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形面積公式解答即可．【詳解】解：（1）∵∴，∴，即．∴，．（2）如圖，過點(diǎn)O作于M，于N，根據(jù)題意可知．∵，∴，∴．∵，，∴OA＝OB＝6．在和中，，∴．∴，，．∴，∴，∴點(diǎn)O一定在∠CDB的角平分線上，即OD平分∠CDB．（3）如圖，連接OF，∵是等腰直角三角形且點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，∴，，OF平分∠AOB．∴．又∵，∴，∴．∵，∴．又∵，∴．在和中，∴．∴，∴．故不發(fā)生變化，且．【點(diǎn)睛】本題為三角形綜合題，考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，角平分線的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，