【常考壓軸題】2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略（人教版）勾股定理應(yīng)用的四種考法全攻略（解析版）

勾股定理應(yīng)用的四考法全攻略類型一、最短距離問題例1．空心玻璃圓柱的底面圓的周長是，高是5，內(nèi)底面的點A有一只飛蟲，要吃到B點的食物，最短路徑的長是（

）A．6 B．7 C．13 D．10【答案】C【詳解】如圖所示，連接，∵空心玻璃圓柱的底面圓的周長是，∴，解得，∵，高是5，∴．∴最短路徑的長是13．故選：C．例2．如圖，長方體的長為，寬為，高為，點在棱上，點離點的距離為，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點爬到點，需要爬行的最短路程是______．【答案】【詳解】解：把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖1：∵長方體的寬為，高為，點離點的距離是，∴A；把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖2：長方體的寬為，高為，點離點的距離是，；把長方體的上表面剪開與后面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖3：長方體的寬為，高為，點離點的距離是，；，螞蟻爬行的最短距離是．故答案為：．【變式訓(xùn)練1】在一個長為米,寬為米的長方形草地上,如圖堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長平行且大于場地寬，木塊的主視圖是邊長為1米的正三角形，一只螞蟻從點處到處需要走的最短路程是______米．【答案】【詳解】解：如圖，將木塊展開，相當(dāng)于長方形草地的長多了正三角形的一個邊長，長方形的長為米，長方形的寬為3米，一只螞蟻從點處到處需要走的最短路程是對角線，米，故答案為．【變式訓(xùn)練2】如圖，臺階A處的螞蟻要爬到B處搬運食物，則它爬行的最短距離為_____．【答案】13m【詳解】解：如圖所示，臺階平面展開圖為長方形，，，則螞蟻沿臺階面爬行到點最短路程是此長方形的對角線長．由勾股定理得：，即，，故答案為：m．【變式訓(xùn)練3】棱長分別為兩個正方體如圖放置，點P在上，且，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點P，需要爬行的最短距離是______．【答案】cm．【詳解】解：如圖，有兩種展開方法：方法一∶，方法二∶．故需要爬行的最短距離是cm．故答案為：cm．【變式訓(xùn)練4】如圖，長方體中，P為中點，在P處有一滴蜂蜜，一只螞蟻從點A出發(fā)，沿長方體表面到點P處吃蜂蜜，那么它爬行的最短路程是________________．【答案】【詳解】解：如圖1，如圖2．【變式訓(xùn)練5】如圖，教室的墻面與地面垂直，點在墻面上．若米，點到的距離是6米，有一只螞蟻要從點爬到點，它的最短行程是________米．【答案】【詳解】解：如圖，將教室的墻面與地面展成一個平面，過P作于G，連接，∵米，米，∴(米)，∴米，∴（米）．故這只螞蟻的最短行程應(yīng)該是米．故答案為：．類型二、水杯中的筷子問題例．如圖，將一根長30cm的筷子，置于底面直徑為10cm，高24cm的裝滿水的無蓋圓柱形水杯中，設(shè)筷子浸沒在杯子里面的長度為hcm，則h的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖，當(dāng)筷子的底端在D點時，筷子浸沒在杯子里面的長度最短，∴h＝BD＝24（cm）；當(dāng)筷子的底端在A點時，筷子浸沒在杯子里面的長度最長，在Rt△ABD中，AD＝10cm，BD＝24cm，∴AB＝（cm），所以h的取值范圍是：24cm≤h≤26cm．故選：C．【變式訓(xùn)練1】如圖，玻璃杯的底面半徑為3cm，高為8cm，有一只長12cm的吸管任意斜放于杯中，則吸管露出杯口外的長度至少為（

）cmA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】解：如圖：玻璃杯的底面半徑為3cm，高為8cm，∵CD＝6，AD＝8，∴BD＝cm，露出杯口外的長度為＝12?10＝2cm，故選：B．【變式訓(xùn)練2】如圖，有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，求水的深度是（）尺A．8 B．10 C．13 D．12【答案】D【詳解】解：設(shè)蘆葦?shù)拈L為x尺，即BC=x尺，則AB=（x-1）尺，AC=5尺由題意可得：，∴，解得，∴尺故選D.【變式訓(xùn)練3】如圖，八年級一班的同學(xué)準(zhǔn)備測量校園人工湖的深度，他們把一根竹竿豎直插到水底，此時竹竿離岸邊點C處的距離米．竹竿高出水面的部分長0.2米，如果把竹竿的頂端A拉向岸邊點C處，竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則人工湖的深度為（）A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米【答案】A【詳解】解：設(shè)BD的長度為xm，則AB=BC=（x+0.2）m，在Rt△CDB中，0.82+x2=（x+0.2）2，解得x=1.5．故選：A．【變式訓(xùn)練4】我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲?，出水一尺．引葭赴岸（丈、尺是長度單位，1丈10尺）其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端B恰好到達(dá)池邊的水面D處，問水的深度是多少？【答案】12尺【詳解】解：設(shè)水深為h尺，則蘆葦長為(h+1)尺，根據(jù)勾股定理列方程，解出h即可．設(shè)水深為h尺，則蘆葦長為(h+1)尺，根據(jù)勾股定理，得(h+1)2-h2=52解得h=12，∴水深為12尺，故答案是：12尺．類型三、臺風(fēng)影響問題例．如圖，公路和公路在點處交匯，且，點A處有一所中學(xué)，．假設(shè)汽車行駛時，周圍以內(nèi)會受到噪音的影響，那么汽車在公路上沿方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由．如果受影響，已知汽車的速度為，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？【答案】學(xué)校會受到噪聲影響；理由見解析；學(xué)校受影響的時間為8秒【詳解】解：如圖，過點A作于點B，∵，，∴，∵，∴學(xué)校會受到噪音的影響；設(shè)從點E開始學(xué)校學(xué)到影響，點F結(jié)束，則，∵，∴，∴，由勾股定理得：，∴，∵汽車的速度為，∴受影響的時間為：．【變式訓(xùn)練2】臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米的范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強的破壞力，據(jù)氣象觀測，距沿海某城市的正南方向的處有一臺風(fēng)中心，該臺風(fēng)中心現(xiàn)在正以的速度沿北偏東方向移動，若在距離臺風(fēng)中心范圍內(nèi)都要受到影響．（結(jié)果精確到）（）(1)該城市是否會受到這次臺風(fēng)的影響？說明理由．(2)若會受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間有多長？【答案】(1)該城市會受到這次臺風(fēng)的影響，理由見解析(2)臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間有小時【詳解】（1）解：該城市會受到這次臺風(fēng)的影響．理由是：如圖，過A作于．在直角中，，，，，該城市會受到這次臺風(fēng)的影響；（2）如圖以A為圓心，為半徑作交于、．則．臺風(fēng)影響該市持續(xù)的路程為：．臺風(fēng)影響該市的持續(xù)時間（小時），臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間有小時．【變式訓(xùn)練3】如圖，臺風(fēng)中心位于點處，并沿東北方向（北偏東），以千米/小時的速度勻速移動，在距離臺風(fēng)中心千米的區(qū)域內(nèi)會受到臺風(fēng)的影響，在點的北偏東方向，距離千米的地方有一城市，問：市是否會受到此臺風(fēng)的影響？若受到影響，請求出受到影響的時間；若不受到影響，請說明理由．【答案】會受到影響，受到影響時間約為小時【詳解】解：會受到影響，影響時間約為小時．理由如下：由題意得，，，∴，如圖，過點作于點，∴，∵，∴會受到影響，如圖，，由題意知，臺風(fēng)從點開始影響城市到點影響結(jié)束，∵，∴，∴，∵風(fēng)速為，∴（小時），∴影響時間約為小時．【變式訓(xùn)練4】今年9月，第十五號臺風(fēng)登陸廣東，A市接到臺風(fēng)警報時，臺風(fēng)中心位于A市正南方向125km的B處，正以15km/h的速度沿方向移動，已知A市到的距離．(1)臺風(fēng)中心從B點移到D點經(jīng)過多長時間？(2)如果在距臺風(fēng)中心40km的圓形區(qū)域內(nèi)都將受到臺風(fēng)影響，那么A市受到臺風(fēng)影響的時間是多長？【答案】(1)臺風(fēng)中心從B點移到D點需要8小時；(2)A市受臺風(fēng)影響的時間為小時．【詳解】（1）解：由題意得，在中，，∴，∴時間為小時，即臺風(fēng)中心從B點移到D點需要8小時；（2）解：以A為圓心，以40km為半徑畫弧，交于P、Q，則A市在P點開始受到影響，Q點恰好不受影響（如圖），由題意，，在中，，∵，∴，∴，時間為(小時)．即A市受臺風(fēng)影響的時間為小時．類型四、汽車超速問題例．如圖，，是兩條公路相交成，沿公路方向離點米的點A處有一所學(xué)校，當(dāng)重型運輸卡車沿道路方向行駛時，在以重型運輸卡車所在的點P為圓心、長為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到卡車噪聲的影響，且點P與點A的距離越近噪聲影響越大．假設(shè)重型運輸卡車沿著道路方向行駛的速度為18千米/小時．(1)求對學(xué)校的噪聲影響最大時，卡車與學(xué)校之間的距離（保留根號）；(直角三角形中銳角所對的直角邊等于斜邊的一半)．(2)求卡車沿道路方向行駛一次給學(xué)校帶來噪聲影響的時間．【答案】(1)40米(2)卡車沿道路方向行駛一次給學(xué)校帶來噪聲影響的時間為12秒【詳解】（1）解：過點A作于H，∵，米，∴米，∴對學(xué)校的噪聲影響最大時，卡車與學(xué)校之間的距離為40米；（2）解：如圖，當(dāng)米時，則卡車在CD段對學(xué)校A有影響，由（1）知米，∴（米），∵，∴（米），∵重型運輸卡車行駛的速度為18千米/小時，即米/秒，∴（秒），∴卡車沿道路方向行駛一次給學(xué)校帶來噪聲影響的時間為12秒．【變式訓(xùn)練1】“某市道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城市道路上行駛速度不得超過60千米時，如圖，一輛小汽車在一條城市道路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面對車速檢測儀正前方24米的處，過了1.5秒后到達(dá)處（），測得小汽車與車速檢測儀間的距離為40米，判斷這輛小汽車是否超速？若超速，則超速了多少？若沒有超速，說明理由．【答案】超速，超速千米時【詳解】解：小汽車已超速，理由如下：根據(jù)題意得：米，米，，在中，根據(jù)勾股定理得：（米），小汽車1.5秒行駛32米，小汽車行駛速度為76.8千米時，，小汽車已超速，超速（千米時）．【變式訓(xùn)練2】超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同學(xué)在幸福大道段，嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速，觀測點設(shè)在到公路l的距離為的P處．這時，一輛紅旗轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為，并測得，，(1)求AP的長？(2)試判斷此車是否超過了/的限制速度？（）【答案】(1)AP的長為200m(2)此車超過了80/的限制速度【詳解】（1）解：，；（2）解：在中，，

，在中，，∴，∴，，∴此車超過的限制速度．【變式訓(xùn)練3】如圖，公路AB和公路CD在點P處交匯，點E處有一所學(xué)校，EP＝160米，點E到公路AB的距高EF＝80米，假若拖拉機行駛時，周圍100米內(nèi)會受到噪音影響，那么拖拉機在公路AB上沿方向行駛時，學(xué)校是否受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是18千米/小時，那么學(xué)校受到影響的時間為多少？【答案】0.4分鐘【詳解】：∵EF=80＜100，∴學(xué)校是否受到影響，設(shè)拖拉機在公路AB上行駛時，從點M到點N學(xué)校受到影響，在Rt△MEF中，∵EM=100，EF=80，∴MF==60，∴MN=2MP=120，∵拖拉機的速度是18千米/小時，∴=0.4（分鐘），答：學(xué)校受到影響的時間為0.4分鐘．【變式訓(xùn)練4】根據(jù)道路交通管理條例的規(guī)定，在某段筆直的公路l上行駛的車輛，限速60千米/時．已知測速點M到測速區(qū)間的端點A，B的距離分別為50米、34米，M距公路l的距離（即MN的長）為30米．現(xiàn)測得一輛汽車從A到B所用的時間為5秒，通過計算判