一歐式空間的定義及性質(zhì)課件

一歐式空間的定義及性質(zhì)ppt課件1一、歐式空間的定義及性質(zhì)1、向量的內(nèi)積在中，內(nèi)積具有下列性質(zhì)：對(duì)稱性：線性性：

一、歐式空間的定義及性質(zhì)1、向量的內(nèi)積在中，內(nèi)積具有下列性22、線性空間的內(nèi)積定義1設(shè)V是R上線性空間，定義一個(gè)V到R的代數(shù)運(yùn)算.

V對(duì)稱性：2、線性空間的內(nèi)積定義1設(shè)V是R上線性空間，定義一個(gè)V到32)線性性：

3)恒正性：

當(dāng)

則稱這個(gè)代數(shù)運(yùn)算為V的一個(gè)內(nèi)積,且稱為向量的內(nèi)積,實(shí)線性空間V叫做對(duì)這個(gè)內(nèi)積來(lái)說的一個(gè)歐幾里得空間.(歐氏空間)3、舉例

2)線性性：3)恒正性：當(dāng)則稱這個(gè)代數(shù)運(yùn)算為4規(guī)定

規(guī)定5向量空間,

成的我

例3令是定義在上一切連續(xù)實(shí)函數(shù)所[a,b]向量空間,成的我例3令是定義6一歐式空間的定義及性質(zhì)ppt課件7歐氏空間V的內(nèi)積具有以下基本性質(zhì).(2)證證歐氏空間V的內(nèi)積具有以下基本性質(zhì).(2)證證8例是歐氏空間的n個(gè)向量，行列式設(shè)例是歐氏空間的n個(gè)向量，行列式設(shè)9

叫做的格蘭姆（Gram）行列式.證明:=0，必要且只要線性相交.證必要性：=0知齊次線性方程組由叫做的格蘭姆（Gram）行列式.證明:=0，必要且只要線性10必有非零解，設(shè)為其一組非零解則有二、向量的長(zhǎng)度、兩非零向量的夾角定義2設(shè)是歐氏空間的一個(gè)向量，非負(fù)實(shí)數(shù)的算術(shù)根叫做的長(zhǎng)度.必有非零解，設(shè)為其一組非零解則有二、向量的長(zhǎng)度、兩非零向量的11定理7.1.1

定理7.1.112即

于是這就是著名的柯西-施瓦茲不等式.也可表示為即于是這就是著名的柯西-施瓦茲不等式.也可表示為13例6考慮例1的歐式空間由不等式(6)推出,對(duì)于任意實(shí)數(shù)

例6考慮例1的歐式空間由不等式(6)推出,對(duì)于14有不等式

有不等式15例7考慮例3的歐氏空間C[a,b]，由不等式（6）推出，對(duì)于定義在[a,b]上的任意連續(xù)函數(shù)有不等式

（8）(8)式稱為施瓦茲(Schwarz)不等式.

（7）和（8）在歐氏空間的不等式（6）里被統(tǒng)一起來(lái).因此通常把(6)式稱為柯西-施瓦茲不等式.例7考慮例3的歐氏空間C[a,b]，由不等式（6）有不等16一歐式空間的定義及性質(zhì)ppt課件17三向量的正交記作:三向量的正交記作:18所以證設(shè)因?yàn)?所以證設(shè)因?yàn)?19根據(jù)柯西-施瓦茲不等式,我們有下面的三角形不等式.思考題1：設(shè)

是n維歐氏空間V中兩個(gè)不同的向量,且

證因?yàn)樗宰C明:

根據(jù)柯西-施瓦茲不等式,我們有下面的三思考題20