無窮級數(shù)與函數(shù)逼近

無窮級數(shù)與函數(shù)逼近

孫永健制作二○○四年二月

無窮級數(shù)與函數(shù)逼近

級數(shù)和的演示

函數(shù)冪級數(shù)展開

傅立葉級數(shù)定義

稱為級數(shù)的前n項和(n=1,2,···).簡稱部分和.由此可由無窮級數(shù)，得到一個部分和數(shù)列若存在，則稱級數(shù)收斂，并稱此極限值S為級數(shù)的和，記為.若不存在，則稱級數(shù)發(fā)散.

例1：觀察的部分和序列的變化趨勢，并求和。級數(shù)和的演示解：程序1S[n_]:=Sum[1/k^2,{k,n}]data=Table[S[n],{n,100}];ListPlot[data]運行后的圖象圖1程序1

再求出其和來S[n_]:=Sum[1/k^2,{k,n}]data=Table[S[n],{n,100}];ListPlot[data]N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}]]運行后得其和的近似值為

1.644934066848例2求的和程序2

s[n_]:=Sum[(-1)^k/k^2,{k,n}]d=Table[s[n],{n,100}];ListPlot[d]N[Sum[(-1)^n/n^2,{n,1,Infinity}]]圖2圖3運行后得其和的近似值為

-0.82246703342411321例3求冪級數(shù)的和。程序3

Sum[x^n/(n*3^n),{n,1,Infinity}]運行后的結(jié)果函數(shù)冪級數(shù)展開

例4寫出函數(shù)f(x)=sinx的冪級數(shù)展開式，并利用圖形考察冪級數(shù)部分和逼近函數(shù)的情況。解：冪級數(shù)展開必為：即為Maclaurin級數(shù)展開式為故sinx可展開為程序4f[x_]:=Sin[x]g[n_,x_]=D[f[x],{x,n}];s[n_,x_]:=Sum[g[k,0]*x^k/k!,{k,0,n}]程序4f[x_]:=Sin[x]g[n_,x_]=D[f[x],{x,n}];s[n_,x_]:=Sum[g[k,0]*x^k/k!,{k,0,n}]Do[Plot[{s[n,x],Sin[x]},{x,-Pi,Pi},PlotRange->{-1.1,1.1},PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],RGBColor[1,0,0]}],{n,1,9,2}]運行后的圖象

圖4圖5圖6圖7圖8結(jié)論1 從這些圖可以比較清晰地看到冪級數(shù)展開式前n項部分和逼近函數(shù)的情況，這里n=9，在區(qū)間[-π,π]上冪級數(shù)與函數(shù)本身看起來已沒有什么差異。我們再來看分別在閉區(qū)間[-π,π]和

[-2π,2π]上在同一個坐標(biāo)系中這些圖象的情況程序4f[x_]:=Sin[x]g[n_,x_]=D[f[x],{x,n}];s[n_,x_]:=Sum[g[k,0]*x^k/k!,{k,0,n}]Do[Plot[{s[n,x],Sin[x]},{x,-Pi,Pi},PlotRange->{-1.1,1.1},PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],RGBColor[1,0,0]}],{n,1,9,2}]t=Table[s[n,x],{n,1,9,2}];Plot[Evaluate[t],{x,-Pi,Pi}]Plot[Evaluate[t],{x,-2Pi,2Pi}]運行后的圖象圖9圖10圖11結(jié)論2

從圖中可看到，函數(shù)的冪級數(shù)展開式的前n項部分和函數(shù)逼近函數(shù)的程度，隨著n的增大而提高。但對于確定n而言，它只在展開點附近的一個局部范圍內(nèi)才有較好的近似精確度。傅立葉級數(shù)

自然界中許多現(xiàn)象是周期性重復(fù)的，例如，聲波是空氣粒子周期性振動而產(chǎn)生的，人們呼吸時肺部的運動和心臟的跳動也是周期性的，交流電也體現(xiàn)了周期變化。對自然界的這種周期變化現(xiàn)象可以用周期函數(shù)近似地描述。在數(shù)學(xué)上也就是用三角多項式逼近函數(shù)的問題，傅立葉級數(shù)就是一種逼近的方法以2π為周期的周期函數(shù)f(x)的傅立葉級數(shù)由下式所定義：其中例5設(shè)周期為2π的周期函數(shù)f(x)在一個周期內(nèi)的表達(dá)式為試生成f(x)的傅立葉級數(shù)，并從圖上觀察該函數(shù)的部分和逼近f(x)的情況。程序5f[x_]:=Which[x<0,0,x<Pi,1,x<2Pi,0,x<3Pi,1,x<4Pi,0]a[n_]:=Integrate[Cos[n*t],{t,0,Pi}]/Pib[n_]:=Integrate[Sin[n*t],{t,0,Pi}]/Pis[x_]:=a[0]/2+Sum[a[k]*Cos[k*x]+b[k]*Sin[k*x],{k,1,n}]Do[Plot[Evaluate[{s[x],f[x]}],{x,-Pi,3Pi},PlotPoints