《數(shù)學(xué)歸納法》(好)課件

數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法1

：由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法結(jié)論一定可靠結(jié)論不一定可靠考察全體對象,得到一般結(jié)論的推理方法考察部分對象,得到一般結(jié)論的推理方法歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法歸納法：由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方2思考：歸納法有什么優(yōu)點和缺點？優(yōu)點：可以幫助我們從一些具體事例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律缺點：僅根據(jù)有限的特殊事例歸納得到的結(jié)論有時是不正確的思考：歸納法有什么優(yōu)點和缺點？優(yōu)點：可以幫助我們從一些具體事3解:猜想數(shù)列的通項公式為驗證:同理得啊,有完沒完啊?

正整數(shù)無數(shù)個!對于數(shù)列｛｝，已知，（1）求出數(shù)列前4項,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正確的嗎？情境二解:猜想數(shù)列的通項公式為驗證:同理得啊,有完沒完啊?正整數(shù)4（一）視頻播放你見過多米諾骨牌游戲嗎?對我們解決本題證明有什么啟示？二、引導(dǎo)探究，尋求解決方法（一）視頻播放你見過多米諾骨牌游戲嗎?二、引導(dǎo)探究，尋求解決51、第一塊骨牌倒下2、任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下條件（2）事實上給出了一個遞推關(guān)系，換言之就是假設(shè)第K塊倒下，則相鄰的第K+1塊也倒下請同學(xué)們思考所有的骨牌都一一倒下只需滿足哪幾個條件(二)師生互助1、第一塊骨牌倒下2、任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致6多米諾骨牌游戲原理（1）第一塊骨牌倒下。（2）若第k塊倒下時，則相鄰的第k+1塊也倒下。根據(jù)（1）和（2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。（1）當(dāng)n=1時，猜想成立根據(jù)（1）和（2），可知對任意的正整數(shù)n，猜想都成立。通項公式為的證明方法（2）若當(dāng)n=k時猜想成立，即，則當(dāng)n=k+1時猜想也成立，即。三、類比問題，師生合作探究（一）類比歸納多米諾骨牌游戲原理（1）第一塊骨牌倒下。（2）若第k塊倒下時7當(dāng)一個命題滿足上述（1）、（2）兩個條件時，我們能把證明無限問題用有限證明解決嗎?（二）理解升華當(dāng)一個命題滿足上述（1）、（2）（二）理解升華8一般的，證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：（1）【歸納奠基】證明當(dāng)n取第一個值n0(n0∈N*

)時命題成立;（2）【歸納遞推】假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥n0)時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立.從而就可以斷定命題對于n0開始的所有正整數(shù)n都成立。

這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。（四）提煉概念一般的，證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：（1）9對于數(shù)列｛｝，已知，寫出數(shù)列前4項,并猜想其通項公式;同學(xué)們,你能驗證你的猜想是不是正確嗎?四、例題研討，學(xué)生實踐應(yīng)用（一）典例析剖對于數(shù)列｛｝，已知，寫出數(shù)列前4項,并猜想其10（二）變式精煉用數(shù)學(xué)歸納法證明

（二）變式精煉用數(shù)學(xué)歸納法證明111＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝用數(shù)學(xué)歸納法證明n2即當(dāng)n=k+1時等式也成立。根據(jù)（1）和（2）可知，等式對任何都成立。證明：1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］那么當(dāng)n=k+1時（2）假設(shè)當(dāng)n＝k時，等式成立，即（1）當(dāng)n=1時，左邊＝1，右邊＝1，等式成立。1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝k2＝

+[2(k+1)－1］k2＝

＋2k＋1k2＝（k+1）2（假設(shè)）（利用假設(shè)）注意：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。證明傳遞性（湊結(jié)論）1＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝用數(shù)學(xué)歸納法證明n2即當(dāng)12（三）能力提升用數(shù)學(xué)歸納法證明

（三）能力提升用數(shù)學(xué)歸納法證明13證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊=12=1右邊=1等式成立(2)假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立,即那么,當(dāng)n=k+1時即當(dāng)n=k+1等式也成立根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何都成立.湊出目標(biāo)用到歸納假設(shè)證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊=12=1右邊=1等式成立(2)14數(shù)學(xué)歸納法步驟，用框圖表示為：驗證n=n0時命題成立。若n=k(k≥n0)

時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立。命題對從n0開始的所有的正整數(shù)n都成立。歸納奠基歸納遞推

注：兩個步驟,一個結(jié)論,缺一不可數(shù)學(xué)歸納法步驟，用框圖表示為：驗證n=n0時命題成立。若n15思考1：試問等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立嗎？某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法給出了如下的證明，請問該同學(xué)得到的結(jié)論正確嗎？解:設(shè)n＝k時成立，即這就是說，n＝k+1時也成立2+4+6+…+2k＝k2+k+1則當(dāng)n=k+1時2+4+6+…+2k+2(k+1)＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1

所以等式對任何n∈N*都成立事實上，當(dāng)n＝1時，左邊＝2，右邊＝3左邊≠右邊，等式不成立該同學(xué)在沒有證明當(dāng)n=1時，等式是否成立的前提下，就斷言等式對任何n∈N*都成立，為時尚早思考1：試問等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立嗎？某16證明：①當(dāng)n=1時，左邊＝右邊＝②假設(shè)n=k時，等式成立，那么n=k+1時等式成立這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何n∈N＊都成立即第二步的證明沒有在假設(shè)條件下進行，因此不符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求思考2：下面是某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立的過程,它符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求嗎？為什么？（n∈N＊）nn2112121212132-=＋＋＋＋L證明：①當(dāng)n=1時，左邊＝右邊＝②假設(shè)n=k時，等式成立，那17

因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個步驟，缺一不可。第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)。缺了第一步遞推失去基礎(chǔ)；缺了第二步，遞推失去依據(jù)，因此無法遞推下去。因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個步驟，181.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)

條時，第一步檢驗n等于(

)A.1

B.2C.3D.0解析：因為n≥3，所以，第一步應(yīng)檢驗n＝3.答案：C1.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(192.用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)，

在驗證n＝1時，等式左端計算所得的項是(

)A.1B.1＋aC.1＋a＋a2D.1＋a＋a2＋a3解析：因為當(dāng)n＝1時，an＋1＝a2，所以驗證n＝1時，等式左端計算所得的項是1＋a＋a2.答案：C2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝203.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”時，從“n＝k”變到“n＝k＋1”時，左邊應(yīng)增乘的因式是(

)A.2k＋1B.2(2k＋1)C.D.3.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝21解析：當(dāng)n＝k(k∈N*)時，左式為(k＋1)(k＋2)…(k＋k)；當(dāng)n＝k＋1時，左式為(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，則左邊應(yīng)增乘的式子是＝2(2k＋1).答案：B解析：當(dāng)n＝k(k∈N*)時，左式為(k＋1)(k＋2)…(224.用數(shù)學(xué)歸納法證明：，

第一步應(yīng)驗證左式是

，右式是

.解析：令n＝1則左式為1－，右式為 .答案：4.用數(shù)學(xué)歸納法證明：235.記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和

f(k＋1)＝f(k)＋

.解析：由凸k邊形變?yōu)橥筴＋1邊形時，增加了一個三角形，故f(k＋1)＝f