.中考數(shù)學(xué)圓壓軸題

.中考數(shù)學(xué)圓壓軸題1.推理運(yùn)算如圖，AB為O直徑，CD為弦，且CD垂直于AB，垂足為H。O于E，連結(jié)OE。證明：E為ADB的中點(diǎn)。解析：首先連接AC，因?yàn)镃D垂直于AB，所以∠OCD為直角，∠OCE為其一半，即∠OCE=45°。又因?yàn)椤螼CE=∠ADE，所以AE=ED，即E為ADB的中點(diǎn)。2.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中點(diǎn)，⊙O經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)，CB的延長線交⊙O于點(diǎn)E。(1)證明AE=CE；(2)EF與⊙O相切于點(diǎn)E，交AC的延長線于點(diǎn)F，若CD=CF=2cm，求⊙O的直徑；(3)若CD=n(n>0)，求sin∠CAB。解析：(1)由于D是AC的中點(diǎn)，所以AD=DC，又因?yàn)椤袿經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)，所以∠OAB=∠ODB=90°，所以四邊形AODB是一個(gè)矩形，因此AO=OD。又因?yàn)椤螼CE=∠OAE，所以AE=CE。(2)連接OE，因?yàn)椤螼CE=45°，所以∠OED=45°，又因?yàn)镋F與⊙O相切于點(diǎn)E，所以∠EOF=90°，所以∠OEF=45°，所以三角形OEF是一個(gè)等腰直角三角形，所以O(shè)E=EF=2cm。又因?yàn)镃D=CF=2cm，所以O(shè)D=1cm，所以O(shè)是直角三角形OCD的外心，所以O(shè)C=OD+CD/2=2cm，所以⊙O的直徑為4cm。(3)連接OB，因?yàn)椤螼AB=90°，所以三角形OAB是直角三角形，所以sin∠CAB=CD/AB=n/2。3.如圖，在半徑為4的⊙O中，AB，CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，DCM的延長線交⊙O于點(diǎn)E，且EM＞MC。(1)證明：AM×MB=EM×MC；(2)求EM的長度；(3)求sin∠EOB的值。解析：(1)連接CE和DE，因?yàn)镃D是⊙O的直徑，所以∠CDE=90°，又因?yàn)镸為OB的中點(diǎn)，所以DM=MC，所以∠DCE=∠EMC，所以三角形DCE∽三角形EMC，所以AM/EM=CD/CE，即AM×MB=EM×MC。(2)連接OE，因?yàn)椤螼CE=45°，所以∠OEC=45°，所以EM=OE×√2=4√2cm。(3)連接OB，因?yàn)椤螼AB=90°，所以sin∠EOB=OE/OB=2/4=1/2。4.如圖，已知⊙O的直徑AB=2，直線m與⊙O相切于點(diǎn)A，P為⊙O上一動點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），PO的延長線與⊙O相交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C的切線與直線m相交于點(diǎn)D。(1)證明：△APC∽△COD；(2)設(shè)AP=x，OD=y，試用含x的代數(shù)式表示y；(3)試探索x為何值時(shí)，△ACD是一個(gè)等邊三角形。解析：(1)連接OC，因?yàn)椤螼AC=90°，所以三角形OAC是直角三角形，所以∠OCA=∠OAC，又因?yàn)閙與⊙O相切于點(diǎn)A，所以∠ACD=∠OCA，又因?yàn)镃D是切線，所以∠OCD=∠ACD，所以△APC∽△COD。(2)連接BC，因?yàn)锳B=2，所以O(shè)B=1，又因?yàn)椤螼AB=90°，所以AO=√3，又因?yàn)閙與⊙O相切于點(diǎn)A，所以AC=2，所以O(shè)C=√3，又因?yàn)椤鰽PC∽△COD，所以AP/OD=AC/OC=2/√3，即OD=2√3x/(√3-2x)。(3)設(shè)△ACD為等邊三角形，所以∠ACD=60°，又因?yàn)镃D是切線，所以∠ACD=∠OCD，所以∠OCD=60°，又因?yàn)椤螼AB=90°，所以∠OBC=30°，所以∠OCD=30°，所以x=1/√3。5.如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，AB經(jīng)過圓心O，且與小圓相交于點(diǎn)A、與大圓相交于點(diǎn)B。小圓的切線AC與大圓相交于點(diǎn)D，且CO平分∠ACB。(1)判斷BC所在直線與小圓的位置關(guān)系，并說明理由；(2)判斷線段AC、AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)若AB=8cm，BC=10cm，求大圓與小圓圍成的圓環(huán)的面積。（結(jié)果保留π）解析：(1)連接OC和BD，因?yàn)镃O平分∠ACB，所以∠OCA=∠OCB，又因?yàn)锳C是小圓的切線，所以∠OCA=90°，所以∠OCB=90°，所以BC所在直線與小圓相切于點(diǎn)C。(2)連接OB和CD，因?yàn)锳B經(jīng)過圓心O，所以∠OAB=90°，所以∠OBC=∠OBA，又因?yàn)锽C與小圓相切于點(diǎn)C，所以∠OCA=∠OBC，所以∠OBA=∠OCA，又因?yàn)椤螼AB=∠OCD，所以△OAB∽△OCD，所以AC/CD=AB/OD=8/OD，所以AC<CD，所以AC<AD<BD<BC。(3)連接OA，因?yàn)锳B=8cm，BC=10cm，所以O(shè)C=1cm，所以O(shè)D=3cm，所以AD=√(OA^2-OD^2)=√(64-9)=7cm，所以小圓的半徑為1cm，大圓的半徑為4cm，所以所求圓環(huán)的面積為π(4^2-1^2)=15π。6.在Rt△ABC中，BC=9，CA=12，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，DE⊥DB交AB于點(diǎn)E。(1)設(shè)⊙O是△BDE的外接圓，證明AC是⊙O的切線；(2)設(shè)⊙O交BC于點(diǎn)F，連結(jié)EF，求EF的值。解析：(1)連接BO和OD，因?yàn)椤螼BD=∠OED，所以三角形OBD∽三角形OED，所以O(shè)B^2=OE×OD，又因?yàn)椤螼AB=90°，所以O(shè)A^2=OB^2+AB^2=OB^2+BC^2=OE×OD+BC^2，又因?yàn)锽D平分∠ABC，所以AD=DC=6，所以AC=18，又因?yàn)镺A=√(AB^2+OB^2)=5，所以AC^2=OA^2-2×OA×OD+OD^2，所以O(shè)D=3，所以O(shè)E=8/3，所以⊙O的半徑為8/3，所以AC是⊙O的切線。(2)連接OF，因?yàn)椤螼EF=∠OED=90°，所以O(shè)EFD是一個(gè)矩形，所以EF=OD=3。1.(1)設(shè)點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的距離為d，時(shí)間為t，則函數(shù)表達(dá)式為d=kt，其中k為速度常數(shù)。2.在△ABC中，由BM平分∠ABC可得BM=MC，又由AM為⊙A的半徑可得AN=NM，因此，由三角形相似可得?AKM與?MTB相似，即AK/MT=BM/AB，又因?yàn)锽M=MC，AB=AM+MB=AM+MC，所以AK/MT=MC/(AM+MC)，即AK=MT。連接AD，并設(shè)AD與BC的交點(diǎn)為E，則∠ABD=∠AMB=90°，所以ABMD為矩形，即AM=BD。由于∠ANM=∠ABM=90°，所以ANMD為菱形，即AM=DN。因此，AM=BD=DN，所以AD⊥BC。由于AK=MT，所以AK/AB=MT/AB，即sin∠AMB=sin∠MTC。因?yàn)椤螦MB和∠MTC都是銳角，所以∠AMB=∠MTC，所以∠KMB=∠TCM。因?yàn)锽M平分∠ABC，所以∠ABM=∠CBM，所以∠KMB=∠TCM=∠CBM，所以BK∥CT。由于∠ABP=∠AKP=90°，所以AP是⊙A的切線，又因?yàn)锽K∥AP，所以BK也是⊙A的切線。因此，BP/BM=BP/BK=∠BKP/∠BKM=sin∠KBM/sin∠KMB=sin∠CBM/sin∠CBK=AC/BC，即BP/BM=AC/BC。3.三條與BC有關(guān)的結(jié)論為：（1）∠ACB=90°；（2）CD是BC的中線；（3）AD=BD=BC/2。當(dāng)∠D=30°時(shí)，由于CD是BC的中線，所以BD=BC/2=0.5。又因?yàn)镺C=OD=1，所以O(shè)D=CD=√3/2。因此，圓中陰影部分的面積為1/4π-√3/8。4.(1)CG不是O的切線。因?yàn)椤螼GC=∠AOC=90°，所以O(shè)G是O的半徑，而CG與OG不重合，所以CG不是O的切線。(2)因?yàn)镺E是O的半徑，所以O(shè)E=OA=OB，即E是OB的中點(diǎn)。(3)由于AB是O的直徑，所以O(shè)A=OB=4。又因?yàn)镺E=OA=4，所以三角形OCE為等邊三角形，即CE=4。因?yàn)镺F⊥AC，所以O(shè)F=CF*cos∠AFC=CE*cos∠AFC=4*cos30°=2。又因?yàn)镺C=4，所以CF=√(OC^2-OF^2)=√(4^2-2^2)=2√3。因此，CD=BC-BD=AB/2-BD=4-2=2。5.(1)∠ACO與∠BCA相等。(2)當(dāng)點(diǎn)C在⊙P上時(shí)，直線CA與⊙O相切。因?yàn)镺C是⊙O的半徑，所以∠OCA=90°，又因?yàn)椤螦CO=∠BCA，所以∠OCA=∠ACB，所以直線CA與⊙O相切。(3)當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，兩圓半徑相等。因?yàn)椤螦CB=60°，所以∠AOB=120°，所以弧AB的度數(shù)為120°，即弧AB為⊙O的優(yōu)弧。又因?yàn)椤裀經(jīng)過圓心O，所以弧AB為⊙P的劣弧，即弧AB為⊙P的一部分。因此，AB是⊙P的弦，且BC是⊙P的切線，所以∠BCA=∠ACB，即?ABC為等邊三角形，所以AP=BP=CP，即兩圓半徑相等。6.(1)因?yàn)锳B=AC，所以∠ABC=∠ACB，又因?yàn)锽M平分∠ABC，所以∠ABM=∠CBM，所以∠ADB=∠E。(2)當(dāng)點(diǎn)D在弧BC上時(shí)，DE是⊙O的切線。因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以∠ADB=90°，又因?yàn)椤螦DB=∠E，所以∠EDB=90°，即DE⊥BD。又因?yàn)锽D是弦，所以∠OBD=∠ODB，即OD=OB，所以DE是⊙O的切線。(3)因?yàn)锳B=AC，所以∠ABC=∠ACB，又因?yàn)锽M平分∠ABC，所以∠ABM=∠CBM，所以∠AMB=2∠ABM=2∠CBM=∠ACB，所以∠AOC=2∠ACB=120°。因此，弧BC的度數(shù)為60°，所以弧BC=1/6圓周長，即BC=2πr/6=πr/3。又因?yàn)锳B=2r，所以AC=AB/√2=r√2，所以BC=AC-AB/2=r(√2-1)。因此，r=AB/2=5/2，所以⊙O的半徑為r=5/2?！唷鰽DE≌△EFA（RHS）．∴AD=EF，DE=EA，∠AED=∠FEA．又∵∠BAC=30°，∴∠EAB=60°，∠EBA=30°，∴△OEB為30°-60°-90°三角形，OE=EB/2．又∵DE=EA，∴OD=OE．∴△AOD和△EOB為全等三角形，∠DAO=∠EBO=30°．又∵∠ACB=90°，∴∠OCA=60°，∴OC/AC=sin60°=√3/2，∴AC=2OC/√3=2/√3，又∵OD=OE=EB/2=AC/2√3=1/√3，∴OP=OA-PD=OA-AD/2=11/22-3/4=1/44．解析：①第一段話為數(shù)學(xué)公式，需要重新排版，正確的應(yīng)該是：$\triangleADE\sim\triangleEFA$，$AE=AD$，$AF=AE/2$，$\because$$AE$是$\odotO$直徑，$\therefore$$\angleADE=\angleAEF=90^{\circ}$，$\therefore$$\triangleADE\sim\triangleEFA$，$\therefore$$AE/AD=AF/EF$，代入數(shù)據(jù)可得$AE=23$。②第二段話為數(shù)學(xué)公式，需要重新排版，正確的應(yīng)該是：$\because$$AE$是$\odotO$直徑，$EF$是$\odotO$的切線，$\therefore$$\angleADE=\angleAEF=90^{\circ}$，$\therefore$$\triangleADE\sim\triangleEDF$，$\therefore$$AD/DE=DE/DF$，代入數(shù)據(jù)可得$n=2$。③第三段話需要重新排版和改寫，正確的應(yīng)該是：設(shè)$CD=x$，則$CF=nx$，$DF=(1+n)x=3x$，$DE=1+nCD=5x$，根據(jù)勾股定理可得$CE^2=CD^2+DE^2$，代入數(shù)據(jù)可得$CE=3\sqrt{10}$。④第四段話需要重新排版和改寫，正確的應(yīng)該是：根據(jù)正弦定理可得$\sin\angleCAB=\sin\angleDEC$，代入數(shù)據(jù)可得$\sin\angleCAB=3/5$。⑤第五段話需要重新排版和改寫，正確的應(yīng)該是：根據(jù)勾股定理可得$DC^2=8^2+15^2=289$，$\thereforeDC=17$，根據(jù)中線定理可得$AM=6$，$BM=2$，設(shè)$EM=x$，則$CM=7-x$，代入$AM\cdotMB=EM\cdotMC$可得$x=4$，但是$EM>MC$，所以$EM=4$。⑥第六段話需要?jiǎng)h除，因?yàn)闆]有明顯的問題。綜上所述，改寫后的文章如下：已知$\odotO$的直徑$AB=8$，$CD$是$\odotO$的直徑，$AE$是$\odotO$的直徑且$AE=AD$，$EF$是$\odotO$的切線，$CF$與$CD$成比例，$AD=CD$，求$CE$的長度。首先根據(jù)題目中的條件，可以得到以下結(jié)論：$\triangleADE\sim\triangleEFA$，$AE=23$，$\triangleADE\sim\triangleEDF$，$n=2$，$\sin\angleCAB=3/5$，$CE=3\sqrt{10}$。接下來，根據(jù)勾股定理可得$DC=17$，根據(jù)中線定理可得$AM=6$，$BM=2$，設(shè)$EM=x$，則$CM=7-x$，代入$AM\cdotMB=EM\cdotMC$可得$x=4$，但是$EM>MC$，所以$EM=4$。綜上所述，$CE=3\sqrt{10}$。證明：已知DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圓，因此BE是⊙O的直徑，點(diǎn)O是BE的中點(diǎn)，連結(jié)OD。由于∠C=90，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，得到∠DBC+∠BDC=90。又因?yàn)锽D是∠ABC的平分線，所以∠ABD=∠DBC。由于OB=OD，因此∠ABD=∠ODB。因此，∠ODB+∠BDC=90，即∠ODC=90。又因?yàn)镺D是⊙O的半徑，所以AC是⊙O的切線。解：設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得到AB=15。由于∠A=∠A，∠ADO=∠C=90，因此△ADO∽△ACB。設(shè)OD=x，則AO=15-x。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得到AO/AC=OD/BC，即(15-x)/r=x/12。解得r=84/15，因此BE=2r=168/15。解：(1)當(dāng)1≤t≤5.5時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為d=11-2t；當(dāng)t>5.5時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為d=2t-11。(2)兩圓相切可分為如下四種情況：①當(dāng)兩圓第一次外切，由題意，可得11-2t=1+t+1，解得t=3；②當(dāng)兩圓第一次內(nèi)切，由題意，可得11-2t=1+t-1，解得t=3；③當(dāng)兩圓第二次內(nèi)切，由題意，可得2t-11=1+t-1，解得t=11；④當(dāng)兩圓第二次外切，由題意，可得2t-11=1+t+1，解得t=13。因此，點(diǎn)A出發(fā)后3秒、7秒、11秒、13秒兩圓相切。證明：（1）因?yàn)锽M平分∠ABC，且∠BAC=90°，MT⊥BC，所以AM=MT。又因?yàn)锳M=AK，所以AK=MT。又因?yàn)锽M平分∠ABC，所以∠ABM=∠CBM。因?yàn)锳M=AN，所以∠AMN=∠ANM。又因?yàn)椤螦NM=∠BND，所以∠AMN=∠BND。因?yàn)椤螧AC=90°，所以∠ABM+∠AMB=90°。因此，∠CBM+∠BND=90°，所以∠BDN=90°。因此，AD⊥BC。（2）因?yàn)锽NM和BPK為⊙A的割線，所以BN·BM=BP·BK，即BNBK=BPBM。因?yàn)锳K=BD，AK=MT，所以BD=MT。因?yàn)锳D⊥BC，MT⊥BC，所以∠ADB=∠MTC=90°，所以∠C+∠CMT=90°。因?yàn)椤螧AC=90°，所以∠C+∠ABC=90°，所以∠ABC=∠CMT。在△ABD和△CMT中，有AB=MC、BD=MT、∠ABD=∠CMT、∠ADB=∠CTM。因此，△ABD≌△CMT，所以AB+AK=MC+AM，即BK=AC。因此，BNAC=BPBM。解