湖南省衡陽市湘南實驗中學 2021年高一數(shù)學理上學期期末試題含解析

湖南省衡陽市湘南實驗中學2021年高一數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.化簡（▲）A．

B．

C．

D．參考答案：D略2.設全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，則A∩B等于（

）。A.{1}

B.{0，1}

C.{0，1，2，3}

D.{0，1，2，3，4}參考答案：A略3.設函數(shù)f（x）=ln（1+|x|）﹣，則使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的取值范圍是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞） B．（，1）C．（﹣，） D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）參考答案：B【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質；函數(shù)單調性的性質．【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調性之間的關系，將不等式進行轉化即可得到結論．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=ln（1+|x|）﹣為偶函數(shù)，且在x≥0時，f（x）=ln（1+x）﹣，導數(shù)為f′（x）=+＞0，即有函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調遞增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等價為f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，所求x的取值范圍是（，1）．故選：B．4.設集合A={x|0＜x＜4}，B={x|x＜a}若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A．{a|a≤0} B．{a|0＜a≤4} C．{a|a≥4} D．{a|0＜a＜4}參考答案：C【考點】集合的包含關系判斷及應用．【專題】計算題；數(shù)形結合；數(shù)形結合法；集合．【分析】由集合A={x|0＜x＜4}，B={x|x＜a}，A?B，由集合包含關系的定義比較兩個集合的端點可直接得出結【解答】解：∵集合A={x|0＜x＜4}，B={x|x＜a}，若A?B，∴a≥4實數(shù)a的取值范圍是[4，+∞）故選：C．【點評】本題考查集合關系中的參數(shù)取值問題解題的關鍵是根據(jù)題設中的條件作出判斷，得到參數(shù)所滿足的不等式，從而得到其取值范圍，此類題的求解，可以借助數(shù)軸，避免出錯．5.下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x相等的是（）A.

B.

C.

D.參考答案：B略6..若函數(shù)f(x)=loga(x+1)(a>0且a≠1)的定義域和值域都為[0,1]，則a的值是(

)

A.2

B.

C.

3

D參考答案：A略7.給出以下函數(shù)：①；②；③；其中偶函數(shù)的個數(shù)是（

）個A、1

B、2

C、3

D、4參考答案：A略8.在上是增函數(shù)，則的取值范圍是(

)A. B.

C.

D.參考答案：C略9.已知的三個內角A、B、C所對的邊分別為，則角B等于(

) A． B． C． D．參考答案：B略10.若，若,則等于

（

）

A．2

B．

C．8

D．

參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面直角坐標系中，已知單位圓與軸正半軸交于點，圓上一點

,則劣弧的弧長為

.參考答案：略12.經過直線和交點，且與平行的直線方程

參考答案：13.定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的（），有，且，則不等式的解集是

．

參考答案：(－∞,－2)∪(0,2)由題意：在區(qū)間（﹣∞，0]上，f（x）是減函數(shù)，又是偶函數(shù)，則在區(qū)間（0，+∞）上，f（x）是增函數(shù)．由＜0?＜0，則或，又f（2）=0，所以或，?x＜﹣2或0＜x＜2．故不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，2），故答案為：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．

14.若log4(x+2y)+log4(x－2y)=1，則|x|－|y|的最小值是_________.參考答案：。解析：

由對稱性只考慮y≥0，因為x>0，∴只須求x－y的最小值，令x－y=u，代入x2－4y2=4，有3y2－2uy+(4－u)2=0，這個關于y的二次方程顯然有實根，故△=16(u2－3)≥015.sin（﹣300°）=．參考答案：【考點】誘導公式的作用．【分析】由sin（α+2π）=sinα及特殊角三角函數(shù)值解之．【解答】解：sin（﹣300°）=sin（360°﹣300°）=sin60°=，故答案為．【點評】本題考查誘導公式及特殊角三角函數(shù)值．16.設是定義在上的奇函數(shù)，當時，則---------------_________.參考答案：-4略17.已知向量，且，則___________．參考答案：【分析】把平方，將代入，化簡即可得結果.【詳解】因為，所以，，故答案為.【點睛】本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知數(shù)列的首項．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，若，求最大正整數(shù)的值；（3）是否存在互不相等的正整數(shù)，使成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列？如果存在，請給予證明；如果不存在，請說明理由.參考答案：解：（1）因為，所以…………2分又因為，所以，所以數(shù)列為等比數(shù)列.………4分（2）由（1）可得，所以，，………6分若，則，所求最大正整數(shù)的值為100.…………8分（3）假設存在滿足題意的正整數(shù)，則，，………9分因為，所以，…………11分化簡得，，因為，…………13分當且僅當時等號成立，又互不相等，所以滿足題意的正整數(shù)不存在.…………14分略19.（本小題滿分12分）在銳角三角形△中，分別是角所對的邊，且．（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求的值．參考答案：解（1）由正弦定理得是銳角三角形，故

……6分（2）將代入得到則，即

……12分略20.（12分）某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn),以下四個式子的值都等于同一個常數(shù).（Ⅰ）試從上述四個式子中選擇一個,求出這個常數(shù)（Ⅱ）根據(jù)(Ⅰ)的計算結果,將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣成三角恒等式,并證明你的結論.參考答案：21.△ABC在內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB。（1）求B；（2）若b=2，求△ABC面積的最大值。參考答案：(1)由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．②由①，②和C∈(0，π)得sinB＝cosB.又B∈(0，π)，所以B＝.………………(6分)

(2)△ABC的面積S＝acsinB＝ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos.又a2＋c2≥2ac，故ac≤，當且僅當a＝c時，等號成立．因此△ABC面積的最大值為＋1.………………(12分)

22.愛心超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完根據(jù)往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份每天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574

（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的頻率；（2）當六月份有一天這種酸奶的進貨量為450瓶時，求這一天銷售這種酸奶的平均利潤（單位：元）參考答案：（1）；（2）460元.【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求得最高氣溫位于區(qū)間和最高氣溫低于20的天數(shù)，利用古典概型的概率計算公式，即可求得相應的概率；（2）分別求出溫度不低于25℃、溫度在，以及溫度低于20℃時的利潤及相應的概率，即可求解這一天銷售這種酸奶的平均利潤，得到答案．【詳解】（1）根據(jù)往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶，如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶，如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，得到最高氣溫位于區(qū)間和最高氣溫低于20的天數(shù)為，所以六月