廣東省汕尾市赤石中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

廣東省汕尾市赤石中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（5分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，則△ABC的形狀為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確定參考答案：B【考點(diǎn)】：正弦定理．【專題】：解三角形．【分析】：由條件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形狀．解：△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，則由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形為直角三角形，故選B．【點(diǎn)評】：本題主要考查正弦定理以及兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．2.定義域?yàn)閇]的函數(shù)圖像的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，M(x，y)是圖象上任意一點(diǎn)，其中．已知向量，若不等式恒成立，則稱函數(shù)f(x)在[a，b]上“k階線性近似”．若函數(shù)在[1，2]上“k階線性近似”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(

)

A.[0，+∞)

B.

C.

D.參考答案：D3.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，=n2+n，數(shù)列的前n項(xiàng)和=則n=

A.1B.8C.9D.10參考答案：C略4.函數(shù)(其中)的圖象不可能是(

)A B C D參考答案：C對于A，當(dāng)時(shí)，，且，故可能；對于，當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，在為減函數(shù)，故可能；對于D,當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，在上為增函數(shù)，故可能，且C不可能.故選C.

5.已知點(diǎn)在上，

.則向量等于A．B．C．D．參考答案：B6.已知、、為互不重合的三個(gè)平面，命題若，，則；命題若上存在不共線的三點(diǎn)到的距離相等，則.對以上兩個(gè)命題，下列結(jié)論中正確的是（

） A．命題“且”為真 B．命題“或”為假 C．命題“或”為假 D．命題“且”為假參考答案：C略7.由直線與曲線所圍成的封閉圖形的面積為（）

A．

B．1

C．

D．參考答案：D略8.如果一個(gè)函數(shù)f（x）滿足：（1）定義域?yàn)镽；（2）任意x1，x2∈R，若x1+x2=0，則f（x1）+f（x2）=0；（3）任意x∈R，若t＞0，f（x+t）＞f（x）．則f（x）可以是(

)A．y=﹣x B．y=3x C．y=x3 D．y=log3x參考答案：C【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專題】證明題．【分析】先將已知條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)性質(zhì)，如條件（2）反映函數(shù)的奇偶性，條件（3）反映函數(shù)的單調(diào)性，再利用性質(zhì)進(jìn)行排除即可【解答】解：由條件（1）定義域?yàn)镽，排除D；由條件（2）任意x1，x2∈R，若x1+x2=0，則f（x1）+f（x2）=0，即任意x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，排除B由條件（3）任意x∈R，若t＞0，f（x+t）＞f（x）．即x+t＞x時(shí)，總有f（x+t）＞f（x），即函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)，排除A故選C【點(diǎn)評】本題考查了抽象函數(shù)表達(dá)式反映函數(shù)性質(zhì)的判斷方法，基本初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，排除法解選擇題9.已知是內(nèi)一點(diǎn),且若、、的面積分別為、,則的最小值是（

）A．9

B.16

C.18

D.20參考答案：C10.在△中，是邊中點(diǎn)，角的對邊分別是，若，則△的形狀為

A.直角三角形

B.鈍角三角形

C.等邊三角形

D.等腰三角形但不是等邊三角形.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為各項(xiàng)系數(shù)之和為則的值為

.參考答案：略12.過雙曲線的右焦點(diǎn)F作漸近線的垂線，垂足為P，且該直線與y軸的交點(diǎn)為Q，若(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線的離心率的取值范圍為

．參考答案：不妨設(shè)漸近線方程為，右焦點(diǎn)，則點(diǎn)到漸近線的距離為.又在方程中，令，得，所以.由|FP<OQ|，可得，可得，即得，又因?yàn)椋?13.（1+cosx）dx=．參考答案：π【考點(diǎn)】定積分．【分析】首先求出被積函數(shù)的原函數(shù)，代入積分上限和下限計(jì)算即可．【解答】解：原式=（x+sinx）|=π；故答案為：π．14.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐體積是

，四個(gè)面的面積中最大的是

．參考答案：試題分析:題設(shè)中提供的三視圖的圖形信息和數(shù)據(jù)信息可知該三棱錐的高是,底面是底為,高為的三角形,故其體積,其中面積最大是底為,斜高,其面積.故應(yīng)填答案.考點(diǎn)：三視圖的理解和識(shí)讀．15.在區(qū)間[﹣1，1]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，則滿足y≥x2﹣1的概率是．參考答案：【考點(diǎn)】CF：幾何概型．【分析】該題涉及兩個(gè)變量，故是與面積有關(guān)的幾何概型，分別表示出滿足條件的面積和整個(gè)區(qū)域的面積，最后利用概率公式解之即可【解答】解：由題意可得，在區(qū)間[﹣1，1]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，對應(yīng)的區(qū)域是邊長為2的正方形，如圖，面積為4，滿足y≥x2﹣1的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，面積為2+=2+（x﹣）|=∴滿足y≥x2﹣1的概率是．故答案為：；16.曲線與所圍成的圖形的面積是

.參考答案：略17.設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為9，則d=的最小值為__

___。參考答案：；三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某中學(xué)是走讀中學(xué)，為了讓學(xué)生更有效率利用下午放學(xué)后的時(shí)間，學(xué)校在本學(xué)期第一次月考后設(shè)立了多間自習(xí)室，以便讓學(xué)生在自習(xí)室自主學(xué)習(xí)、完成作業(yè)，同時(shí)每天派老師輪流值班．在本學(xué)期第二次月考后，高一某班數(shù)學(xué)老師統(tǒng)計(jì)了兩次考試該班數(shù)學(xué)成績優(yōu)良人數(shù)和非優(yōu)良人數(shù)，得到如下2×2列聯(lián)表：

非優(yōu)良優(yōu)良總計(jì)未設(shè)立自習(xí)室251540設(shè)立自習(xí)室103040總計(jì)354580（1）能否在在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為設(shè)立自習(xí)室對提高學(xué)生成績有效；（2）設(shè)從該班第一次月考的所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中任取2個(gè)，取到優(yōu)良成績的個(gè)數(shù)為X，從該班第二次月考的所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中任取2個(gè)，取到優(yōu)良成績的個(gè)數(shù)為Y，求X與Y的期望并比較大小，請解釋所得結(jié)論的實(shí)際意義．下面的臨界值表供參考：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）參考答案：【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用；離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【分析】（1）求出K2，與臨界值比較，即可得出能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為設(shè)立自習(xí)室對提高學(xué)生成績有效；（2）求出期望，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）由題意，K2==＞7.879，∴能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為設(shè)立自習(xí)室對提高學(xué)生成績有效；（2）X的取值為0，1，2，則P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴E（X）=0×=．Y的取值為0，1，2，則：P（Y=0）==，P（Y=1）==，P（Y=2）==，E（Y）==．也即EX＜EY，其實(shí)際含義即表明設(shè)立自習(xí)室有效．19.如圖,在四棱錐中,底面ABCD,為直角,

EF分別為PC、CD的中點(diǎn)．（Ⅰ）試證：平面BEF；（Ⅱ）設(shè),且二面角

的平面角大于30°,求k的取值范圍．

參考答案：解法一：

（Ⅰ）證：由已知且∠DAB為直角，故ABFD是矩形，從而CD⊥BF.

又PA⊥底面ABCD,CD⊥AD,故由三垂線定理知CD⊥PD.

在△PDC中,E、F分

別為PC、CD的中點(diǎn)，故EF//PD，從而CD⊥EF，由此得CD⊥面BEF.

（Ⅱ）連接AC交BF于G，易知G為AC的中點(diǎn)，連接

EG，則在△PAC中易知EG//PA，又因

PA⊥底面ABCD，故EG⊥底面ABCD.

在底

面ABCD中，過G作GH⊥BD，垂足為H，連接

EH，由三垂線定理知EH⊥BD.

從而∠EHG為

二面角E—BD—C的平面角.

設(shè)AB=A，則在△PAC中，有

以下計(jì)算GH，考慮底面的平面圖（如答（20）圖2），連結(jié)GD，

因

故

在△ABD中，因AB=a，AD=2a，得

而，從而得

因此

由k>0知∠EHG是銳角，故要使∠EHG>30°，必須

解之得，k的取值范圍為

解法二：

（Ⅰ）如圖，以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=a，則易知點(diǎn)A，B，C，D，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為

A（0，0，0），B（a，0，0），C（2a，2a，0），

D（0，2a，0），F(xiàn)（a，2a，0）

從而，

設(shè)PA=B，則P（0，0，b），而E為PC中點(diǎn)，故

.

從而

由此得CD⊥面BEF.

（Ⅱ）設(shè)E在xOy平面上的投影為G,過G作為GH⊥BD垂足為H,由三垂線定理知EH⊥BD.

從而∠EHG為二面角E—BD—C的平面角.

由.

設(shè)，則，

由，即

①

又因，且的方向相同，故，即

②

由①②解得.

從而.

由k>0知∠EHG是銳角，由∠EHG>30°，得，即

故k的取值范圍為

20.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x﹣y+4=0，曲線C的參數(shù)方程（α為參數(shù)）（Ⅰ）已知在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)，判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q為曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值．參考答案：考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程．分析：（Ⅰ）首先把點(diǎn)的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)，進(jìn)一步利用點(diǎn)和方程的關(guān)系求出結(jié)果．（Ⅱ）進(jìn)一步利用點(diǎn)到直線的距離，利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)關(guān)系式變形成余弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出最值．解答： 解：（Ⅰ）把極坐標(biāo)系下的點(diǎn)化為直角坐標(biāo)，得P（﹣2，2）．…因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)（﹣2，2）滿足直線l的方程x﹣y+4=0，所以點(diǎn)P在直線l上．…（II）因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上，故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，…從而點(diǎn)Q到直線l的距離為==，…由此得，當(dāng)時(shí)，d取得最小值．…點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，點(diǎn)到直線的距離的公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的最值問題．21.（12分）如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)。（Ⅰ）求證AM∥平面BDE；（Ⅱ）求證AM⊥平面BDF；（Ⅲ）求二面角A—DF—B的大小；參考答案：解析:方法一(Ⅰ)記AC與BD的交點(diǎn)為O,連接OE,

∵O、M分別是AC、EF的中點(diǎn)，ACEF是矩形，∴四邊形AOEM是平行四邊形，∴AM∥OE?！咂矫鍮DE，平面BDE，∴AM∥平面BDE。(Ⅱ)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連結(jié)BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂線定理得BS⊥DF?！唷螧SA是二面角A—DF—B的平面角。在RtΔASB中，∴∴二面角A—DF—B的大小為60o。（Ⅲ）設(shè)CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD，∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF。在RtΔPQF中，∠FPQ=60o，PF=2PQ?！擀AQ為等腰直角三角形，∴又∵ΔPAF為直角三角形，∴，∴所以t=1或t=3(舍去)即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)。方法二

（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。

設(shè)，連接NE，

則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別是（、（0,0,1）,

∴NE=(,

又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別是

（）、（

∴AM=（∴NE=AM且NE與AM不共線，∴NE∥AM。又∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDF。（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∴AB⊥平面ADF?！酁槠矫鍰AF的法向量?！逳E·DB=（·=0，∴NE·NF=（·=0得NE⊥DB，NE⊥NF，∴NE為平面BDF的法向