第11講阿氏圓最值模型(解析版) 2020年中考數(shù)學(xué)幾何模型能力提升篇(全國(guó)通用)

第11講阿氏圓最值模型(解析版)2020年中考數(shù)學(xué)幾何模型能力提升篇(全國(guó)通用)中考數(shù)學(xué)幾何模型11：阿氏圓最值模型，名師點(diǎn)睛在前面的“胡不歸”問(wèn)題中，我們已經(jīng)探討了“kPA+PB”的最值問(wèn)題，其中P點(diǎn)軌跡是直線。而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說(shuō)的“阿氏圓”問(wèn)題?！灸Ｐ蛠?lái)源】“阿氏圓”又稱為“阿波羅尼斯圓”。如下圖所示，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA：PB=k（k≠1），則滿足條件的所有點(diǎn)P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓。這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱為“阿氏圓”?！灸Ｐ徒ⅰ咳鐖D1所示，⊙O的半徑為R，點(diǎn)A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，已知R=OB。連接PA、PB，則當(dāng)“PA+kPB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？解決辦法：如圖2，在線段OB上截取OC使OC=R/k，則可說(shuō)明△BPO與△PCO相似，從而有PB=PC。因此，“PA+kPB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)。故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”的值最小。【技巧總結(jié)】計(jì)算PA+kPB的最小值時(shí)，利用兩邊成比例且?jiàn)A角相等構(gòu)造母子型相似三角形。問(wèn)題：在圓上找一點(diǎn)P使得PA+kPB的值最小，解決步驟具體如下：1.如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)與圓心相連即OP、OB。2.計(jì)算出這兩條線段的長(zhǎng)度比OP/OB=k。3.在OB上取一點(diǎn)C，使得OC=R/k，即構(gòu)造△POM∽△BOP，則PB/OP=k/PB/OC。4.則PA+kPB=PA+PC≥AC，當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)可得最小值?！镜漕}探究】啟迪思維探究重點(diǎn)例題：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓C，分別交AC、BC于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+kPB的最小值為多少？【分析】這個(gè)問(wèn)題最大的難點(diǎn)在于轉(zhuǎn)化PA。此處P點(diǎn)軌跡是圓，注意到圓C半徑為2，CA=4，連接CP，構(gòu)造包含線段AP的△CPA，在CA邊上取點(diǎn)M使得CM=2，連接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=PA。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為PM+PB≥BM最小值，故當(dāng)B，P，M三點(diǎn)共線時(shí)得最小值，直接連BM即可得13。變式練習(xí)>>>1.在RT三角形ABC中，角ACB為直角，CB=4，CA=6，圓C的半徑為2，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP和BP，求AP+11BP，2AP+BP，AP+BP，AP+3BP的最小值。答案：①=37，②=237，③=237/3，④=237。2.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A(6,-1)，M(4,4)，以M為圓心，22為半徑畫(huà)圓，O為原點(diǎn)，P是圓M上一動(dòng)點(diǎn)，則PO+2PA的最小值為10。答案：10。3.四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為4的正方形，圓B的半徑為2，P是圓B上一動(dòng)點(diǎn)，則PD+PC的最小值為5；PD+4PC的最小值為10。解答：①連接PB，在BC上取一點(diǎn)E，使得BE=1。因?yàn)镻B^2=4，BE×BC=4，所以PB^2=BE×BC。因此，△PBE∽△CBE，所以PE/PB=BC/BE，即PE=2。因?yàn)椤螾BE=∠CBE，所以∠PBE=45°。因此，PD+PC=PD+PE=5。因?yàn)镻E+PD≤DE，在直角三角形DCE中，DE=√15，所以PD+PC的最小值為5。②連接DB和PB，在BD上取一點(diǎn)E，使得BE=2。因?yàn)镻B^2=4，BE×BD=8，所以PB^2=BE×BD。因此，△PBE∽△DBP，所以PE/PB=BD/BE，即PE=2PB。因?yàn)椤螾BE=∠PBD，所以∠PBE=45°。因此，PD+4PC=4(PD+PC)=4(PE+PC)=10。題意：已知拋物線與直線交點(diǎn)A(-4,-4)、B(2,4)，直線AC與拋物線交于C點(diǎn)，求AC的方程。解法：首先可列出拋物線的方程為y=-x^2+bx+c，由已知可得-4=-16+4b+c，4=-4+2b+c，解得b=3，c=-5。將b、c代入方程得y=-x^2+3x-5。接著求直線AC的方程，由于C點(diǎn)在拋物線上，所以C點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足拋物線方程，即y=-x^2+3x-5。又因?yàn)镃點(diǎn)在直線AC上，所以其坐標(biāo)也應(yīng)滿足直線AC的方程，即y=-1/6x+2/3。聯(lián)立兩式解得C點(diǎn)坐標(biāo)為(6,-1)。最后，將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入點(diǎn)斜式公式得直線AC的方程為y+4=-1/10(x+4)。交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)E為直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸交AC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G。（1）求拋物線y=﹣x2+bx+c的表達(dá)式。解：由題意可知，點(diǎn)A（﹣4，﹣4），B（4，4）在拋物線y=﹣x2+bx+c上，因此代入點(diǎn)坐標(biāo)可得拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+4。（2）連接GB，EO，當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)。解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n過(guò)點(diǎn)A，B，代入點(diǎn)坐標(biāo)可得直線AB的解析式為y=2x+4。設(shè)E（m，2m+4），則G（m，﹣m2﹣2m+4）。因?yàn)樗倪呅蜧EOB是平行四邊形，所以EG=OB=4。代入坐標(biāo)可得﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，解得m=﹣2，因此G（﹣2，4）。（3）①在y軸上存在一點(diǎn)H，連接EH，HF，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)E，H的坐標(biāo)；②在①的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)M為⊙E上一動(dòng)點(diǎn)，求AM+CM的最小值。解：①如圖1，由（2）可知，直線AB的解析式為y=2x+4，因此設(shè)E（a，2a+4）。直線AC的解析式為y=﹣11x﹣6，因此F（a，﹣a﹣6），設(shè)H（0，p）。因?yàn)橐渣c(diǎn)A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，所以直線AB⊥AC，因此EF為對(duì)角線，可得（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6）。解得a=﹣2，p=﹣1，因此E（﹣2，0），H（0，﹣1）。②如圖2，由①可得E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4）。因此EH=5，AE=25，設(shè)AE交⊙E于G，取EG的中點(diǎn)P，因此PE=52，可得5（p+2）2=24，解得p=﹣53。因此P（3，﹣1），PC=2√10，因此AM+CM的最小值為2√10，當(dāng)M為圓E上與直線PC垂直的交點(diǎn)時(shí)。1.已知拋物線$y=ax^2+(a+3)x+3(a\neq0)$與$x$軸交于點(diǎn)$A(4,0)$，與$y$軸交于點(diǎn)$B(0,3)$，在$x$軸上有一動(dòng)點(diǎn)$E(m,0)\(m<4)$。過(guò)點(diǎn)$E$作$x$軸的垂線交直線$AB$于點(diǎn)$N$，交拋物線于點(diǎn)$P$，過(guò)點(diǎn)$P$作$PM\perpAB$于點(diǎn)$M$。（1）求$a$的值和直線$AB$的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)$\trianglePMN$的周長(zhǎng)為$C_1$，$\triangleAEN$的周長(zhǎng)為$C_2$，若$\dfrac{C_1}{C_2}=1$，求$m$的值；（3）如圖2，在（2）條件下，將線段$OE$繞點(diǎn)$O$逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到$OE'$，旋轉(zhuǎn)角為$\alpha\(0^\circ<\alpha<90^\circ)$，連接$E'A$、$E'B$，求$E'A+E'B$的最小值。2.如圖，在$\triangleABC$中，$\angleB=90^\circ$，$AB=CB=2$，以點(diǎn)$B$為圓心作圓與$AC$相切，圓$C$的半徑為$2$，點(diǎn)$P$為圓$B$上的一動(dòng)點(diǎn)，求$AP+\dfrac{1}{2}PC$的最小值。3.如圖，等邊$\triangleABC$的邊長(zhǎng)為$6$，內(nèi)切圓記為$\odotO$，$P$是$\odotO$上一動(dòng)點(diǎn)，則$2PB+PC$的最小值為$\underline{\qquad\qquad}$。4.已知直角三角形ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，以C為圓心的圓的半徑為2，點(diǎn)P是在AC上的動(dòng)點(diǎn)，則AP+PB的最小值為多少？答案：$\sqrt{37}$。6.如圖，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以C為頂點(diǎn)的正方形CDEF可以繞點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且CD=1，連接AF，BD。（1）證明：△BDC≌△AFC；（2）當(dāng)正方形CDEF有頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)，直接寫(xiě)出BD+AD的值；（3）直接寫(xiě)出正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BD+AD的最小值。解答：（1）如圖1，連接CF，DE，則CF=CD=1，DE=DF=DC=1，且∠DCF=∠ACB=90°，∠AFC=∠DCB，AC=BC，因此△FCA≌△DCB（SAS），從而△BDC≌△AFC（對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)邊相等）。（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D、E在AB邊上時(shí)，AC=BC=2，∠ACB=90°，因此AB=2，CD⊥AB，AD=BD=√2，從而B(niǎo)D+AD=√2+√2=2√2。（3）如圖3，取AC的中點(diǎn)M，連接DM，BM。由于CD=1，CM=1/2，CA=2，因此CD^2=CM×CA，從而CD=√2/2。又因?yàn)椤螪CM=∠ACD，所以△DCM∽△ACD，從而DM=AD×CM/CD=√2/2×1/2/√2=1/2。因此BD+AD=BD+DM+DM+AD=BM+MD+AD，而B(niǎo)M+MD=BD，故BD+AD=2BD+DM。BD+DM的最小值為BD+DM=BD+CM-CD=BD+1/2-√2/2，當(dāng)B、D、M共線時(shí)，BD的長(zhǎng)度最小，此時(shí)BD=√2/2，從而B(niǎo)D+DM=√2/2+1/2-√2/2=1。7.如圖，（1）在等腰三角形ABC中，BD是AC邊上的中線，請(qǐng)用尺規(guī)作圖做出AB邊上的中線CE，并證明BD=CE；（2）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)部，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，且PA=3，求PC+PD的最小值；（3）如圖，在矩形ABCD中，AB=18，BC=25，點(diǎn)M是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，MA=15，當(dāng)MC+MD最小時(shí)，畫(huà)出點(diǎn)M的位置，并求出MC+MD的最小值。解答：（1）如圖1，作線段AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)E，連接BE。則BE=AE，∠EBD=∠EAC，因此△EBD≌△EAC（SAS），從而B(niǎo)D=CE。（2）如圖2，設(shè)PC=x，PD=y，則由勾股定理得：$$(x-3)^2+y^2=9$$$$x^2+(y-3)^2=9$$化簡(jiǎn)得：$$x^2-6x+y^2=0$$$$x^2+y^2-6y=0$$聯(lián)立解得：$$x=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$$$y=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$因此PC+PD=3√2。（3）如圖3，取點(diǎn)N使得MN⊥AB，連接BN，ND。由于MN=15，AB=18，BC=25，因此BN=√(15^2-9^2)=12，ND=25-15=10。設(shè)MC=x，則MD=15-x，由勾股定理得：$$x^2+12^2=(15-x)^2+10^2$$化簡(jiǎn)得：$$x^2-30x+119=0$$解得：$$x=5,24$$當(dāng)MC=5時(shí)，MD=10，MC+MD=15；當(dāng)MC=24時(shí)，MD=9，MC+MD=33。因此MC+MD的最小值為15。在圖2中，我們需要在AD上截取一段AE，使得AE的長(zhǎng)度等于9。根據(jù)題意，我們可以得到PA2=9，以及AE×AD=6×9=54。由此可得PA2=AE×AD，即AE=9。同時(shí)，根據(jù)角度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們可以得到△PAE∽△DAP，因此PE=PD。因此，PC+PD=PC+PE。由于PC+PE≥EC，所以PC+PD的最小值為EC的長(zhǎng)度。在直角△CDE中，我們可以得到EC=√(6^2+9^2)