機(jī)械能守恒定律專題6 機(jī)械能守恒定律(2)多個(gè)物體連續(xù)物體18.5學(xué)案

機(jī)械能守恒定律專題6機(jī)械能守恒定律(2)多個(gè)物體連續(xù)物體18.5學(xué)案機(jī)械能守恒定律專題6：機(jī)械能守恒定律(2)考點(diǎn)一：多物體機(jī)械能守恒問題例題1：一固定的楔形木塊，其斜面的傾角為θ，另一邊與地面垂直，頂上有一定滑輪，一柔軟的細(xì)線跨過定滑輪，兩邊分別與A、B連接。開始時(shí)將B按在地面上不動(dòng)，然后放開手，讓A沿斜面下滑而B上升。物體A與斜面間無摩擦，設(shè)當(dāng)A沿斜面下滑s距離后，細(xì)線突然斷了，求物塊B上升的最大距離H。例題2：如圖7-7-3所示，光滑圓柱被固定在水平平臺(tái)上，質(zhì)量為m1的小球用輕繩跨過圓柱與質(zhì)量為m2的小球相連，最初小球m1放在平臺(tái)上，兩邊繩豎直，兩球從靜止開始，m1上升m2下降。當(dāng)m1上升到最高點(diǎn)時(shí)繩子突然斷了，發(fā)現(xiàn)m1恰能做平拋運(yùn)動(dòng)，求m2應(yīng)為m1的多少倍？例題3：如圖6所示，物體A的質(zhì)量為M，圓環(huán)B的質(zhì)量為m，通過繩子連接在一起，圓環(huán)套在光滑的豎直桿上，開始時(shí)連接圓環(huán)的繩子處于水平，長度l=4m，現(xiàn)從靜止釋放圓環(huán)。不計(jì)定滑輪和空氣的阻力，取g=10m/s2，求：(1)若圓環(huán)恰能下降h=3m，A和B的質(zhì)量應(yīng)滿足什么關(guān)系？(2)若圓環(huán)下降h=3m時(shí)的速度vB=5m/s，則A和B的質(zhì)量有何關(guān)系？(3)不管A和B的質(zhì)量為多大，圓環(huán)下降h=3m時(shí)的速度不可能超過多大？例題4：如圖10所示，左側(cè)為一個(gè)半徑為R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O點(diǎn)為球心，碗的內(nèi)表面及碗口光滑。右側(cè)是一個(gè)固定光滑斜面，斜面足夠長，傾角θ=30°。一根不可伸長的不計(jì)質(zhì)量的細(xì)繩跨在碗口及光滑斜面頂端的光滑定滑輪兩端上，繩的兩端分別系有可視為質(zhì)點(diǎn)的小球m1和m2，且m1>m2。開始時(shí)m1恰在碗口右端水平直徑A處，m2在斜面上且距離斜面頂端足夠遠(yuǎn)，此時(shí)連接兩球的細(xì)繩與斜面平行且恰好伸直。當(dāng)m1由靜止釋放運(yùn)動(dòng)到圓心O的正下方B點(diǎn)時(shí)細(xì)繩突然斷開，不計(jì)細(xì)繩斷開瞬間的能量損失。(1)求小球m2沿斜面上升的最大距離s；(2)若已知細(xì)繩斷開后小球m1沿碗的內(nèi)側(cè)上升的最大高度為2R，求m2。例題5：如圖11所示，一輕桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的小球A和B，放置于半徑為R的光滑半圓軌道中，A球與圓心等高，B球恰在半圓的最低點(diǎn)，然后由靜止釋放，求在運(yùn)動(dòng)過程中兩球的最大速度的大小。練習(xí)1-1：如圖7所示，A和B兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)通過一根不可伸長的細(xì)軟輕線連接，跨過一個(gè)半徑為R的光滑圓柱。A的質(zhì)量是B的兩倍，當(dāng)B位于地面時(shí)，A與圓柱軸心等高。將A由靜止釋放后，B上升的最大高度是多少？選項(xiàng)為A.2RB.5RC.4RD.3R。練習(xí)1-2：如圖6所示，一端固定在豎直板P上的輕質(zhì)彈簧與物體A相連，物體A置于光滑水平桌面上。A右端連接一根水平細(xì)線，細(xì)線繞過一個(gè)光滑的定滑輪與物體B相連。開始時(shí)，托住B，讓A處于靜止且細(xì)線恰好伸直，然后釋放B，直至B獲得最大速度。下列有關(guān)該過程的分析中，正確的是哪個(gè)選項(xiàng)？A.B物體受到細(xì)線的拉力保持不變B.B物體機(jī)械能的減少量大于彈簧彈性勢(shì)能的增加量C.A物體動(dòng)能的增加量等于B物體重力對(duì)B做的功與彈簧彈力對(duì)A做的功之和D.A物體與彈簧所組成的系統(tǒng)機(jī)械能的增加量等于細(xì)線拉力對(duì)A做的功。練習(xí)1-3：如圖3所示，B物體的質(zhì)量是A物體質(zhì)量的兩倍，在不計(jì)摩擦阻力的情況下，A物體自高度為H處由靜止開始下落。以地面為參考平面，當(dāng)物體A的動(dòng)能與其勢(shì)能相等時(shí)，物體A距地面的高度是多少？選項(xiàng)為A.HB.2HC.4HD.3H。練習(xí)1-4：如圖10所示，滑塊a和b的質(zhì)量均為m，a套在固定豎直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上。a和b通過鉸鏈用剛性輕桿連接，由靜止開始運(yùn)動(dòng)。不計(jì)摩擦，a和b可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度大小為g。以下哪個(gè)選項(xiàng)是正確的？A.a落地前，輕桿對(duì)b一直做正功B.a落地時(shí)速度大小為2ghC.a下落過程中，其加速度大小始終不大于gD.a落地前，當(dāng)a的機(jī)械能最小時(shí)，b對(duì)地面的壓力大小為mg。練習(xí)1-5：如圖所示，跨過同一高度處的光滑定滑輪的細(xì)線連接著質(zhì)量相同的物體A和B。A套在光滑水平桿上，B被托在緊挨滑輪處，細(xì)線與水平桿的夾角θ=53°，定滑輪離水平桿的高度h=0.2m。當(dāng)B由靜止釋放后，A所能獲得的最大速度為多少？（cos53°=0.6，sin53°=0.8）練習(xí)1-23：如圖4所示，傾角為α的斜面A被固定在水平面上，細(xì)線的一端固定于墻面，另一端跨過斜面頂端的小滑輪與物塊B相連，B靜止在斜面上?；喿髠?cè)的細(xì)線水平，右側(cè)的細(xì)線與斜面平行。A、B的質(zhì)量均為m，撤去固定A的裝置后，A、B均做直線運(yùn)動(dòng)，不計(jì)一切摩擦，重力加速度為g。求：(1)A固定不動(dòng)時(shí)，A對(duì)B支持力的大小N；(2)A滑動(dòng)的位移為x時(shí)，B的位移大小s；(3)A滑動(dòng)的位移為x時(shí)的速度大小v。解析：(1)當(dāng)A固定不動(dòng)時(shí)，B受到的重力向下，且受到A對(duì)B的支持力N，使得B保持靜止。故有N=mgcosα。(2)當(dāng)A滑動(dòng)的位移為x時(shí)，B相對(duì)于斜面的位移為s=xsinα，且滑輪左側(cè)的細(xì)線始終保持水平，故有s=2xsinα。(3)根據(jù)機(jī)械能守恒定律，A、B系統(tǒng)的機(jī)械能在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中保持不變。設(shè)A滑動(dòng)的速度為v，則B的速度為vsinα。由機(jī)械能守恒可得：mgxsinα=1/2mv^2+1/2m(vsinα)^2化簡得：v=sqrt(2gx(1-cosα))例題11：如圖3所示，在光滑水平桌面上，用手拉住長為L質(zhì)量為M的鐵鏈，使其1/3垂在桌邊。松手后，鐵鏈從桌邊滑下，求鐵鏈末端經(jīng)過桌邊時(shí)運(yùn)動(dòng)速度是多少？解析：鐵鏈松手后，由于重力作用，鏈的下端開始加速下落，同時(shí)鏈的上端開始向下移動(dòng)。設(shè)鏈的下端下落的距離為h，則鏈的上端向下移動(dòng)的距離為2h。由動(dòng)能定理可得：1/2Mv^2=Mgh化簡得：v=sqrt(2gh)代入h=1/3L可得：v=sqrt(2gL/3)例題12：粗細(xì)均勻的U型管兩端開口，左端用活塞壓著液體，此時(shí)兩液面的高度差為h，液體的總長度為L，U型管的截面積為s，液體的密度為ρ。現(xiàn)在突然抽去活塞，（1）不計(jì)阻力影響，當(dāng)兩端液面相平時(shí)，液體運(yùn)動(dòng)的速度是多少？（2）若最終液體靜止不動(dòng)，則系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能是多少？解析：(1)當(dāng)兩端液面相平時(shí)，液體的重心下降了h/2，故液體的重力勢(shì)能減少了Mgh/2。根據(jù)能量守恒可得：1/2Mv^2=Mgh/2化簡得：v=sqrt(gh)(2)最終液體靜止不動(dòng)時(shí)，液體的重心下降了h/2，故液體的重力勢(shì)能減少了Mgh/2。由于液體的總長度為L，故液體的體積為V=sL。液體靜止不動(dòng)時(shí)，壓強(qiáng)差為P=ρgh。根據(jù)熱力學(xué)第一定律可得：Q=ΔU+W其中，Q為系統(tǒng)吸收的熱量，ΔU為系統(tǒng)內(nèi)能的變化，W為系統(tǒng)對(duì)外做功。由于液體靜止不動(dòng)，故W=0。由于液體不發(fā)生相變，故ΔU=CvΔT，其中Cv為液體的定壓熱容，ΔT為液體的溫度變化。由于液體的體積不變，故有ΔT=PΔV/ρV=Ph/ρsL。代入ΔU=CvPh/ρsL可得：ΔU=CvMgh/2例題13：面積很大的水池，水深為H，水面上浮著一正方體木塊，邊長為a，密度為水的密度的1/2，質(zhì)量為m。開始時(shí)，木塊靜止，有一半沒入水中，如圖7-3所示?，F(xiàn)用力F將木塊緩慢壓到池底，不計(jì)摩擦，求從開始?jí)耗緣K到木塊剛好被壓到池底的過程中，力F對(duì)木塊所做的功。解析：由于木塊的密度為水的密度的1/2，故木塊的體積為V=a^3/2。開始時(shí)，木塊受到的浮力為Fb=ρgV=1/2ρga^3/2，向上。由于木塊靜止不動(dòng)，故受到的合力為0，故有F=Fb=1/2ρga^3/2。當(dāng)木塊被壓到池底時(shí)，受到的支持力為F=mg，向上。由于木塊靜止不動(dòng)，故受到的合力為0，故有mg=1/2ρga^3/2。解得：a=(2mg/ρg)^2/3從開始?jí)耗緣K到木塊剛好被壓到池底的過程中，木塊受到的合力始終為F=1/2ρga^3/2，且木塊的位移為Δh=H-a/2。故力F對(duì)木塊所做的功為：W=FΔh=1/2ρga^3/2(H-a/2)代入a的表達(dá)式可得：W=2/5mgH例題14：一個(gè)圓柱形的豎直的井里存有一定量的水，井的側(cè)面和底部是密閉的，在井中固定地插著一根兩端開口的薄壁圓管，管和井共軸，管下端未觸及井底，在圓管內(nèi)有一不漏氣的活塞，它可沿圓管上下滑動(dòng)，開始時(shí)，管內(nèi)外水面相齊，且活塞恰好觸及水面，如圖所示，現(xiàn)用卷揚(yáng)機(jī)通過繩子對(duì)活塞施加一個(gè)向上的力F，使活塞緩慢向上移動(dòng)，已知管筒半徑r=0.100m，井的半徑R=2r，水的密度ρ=1.00×10^3Kg/m^3，大氣壓強(qiáng)為P=1.00×10^5Pa，求活塞上升H=9.00m的過程中拉力F所做的功。（井和管在水面以上及水面以下的部分足夠長，不計(jì)活塞質(zhì)量，不計(jì)摩擦，重力加速度g=10m/s^2）。解析：活塞上升的過程中，水會(huì)沿著管向上流動(dòng)，直到活塞上升到井口為止。設(shè)活塞上升的高度為h，則有h+2r=H。由于液體靜止不動(dòng)，故液體的壓強(qiáng)在整個(gè)系統(tǒng)中保持不變，即P=P0+ρgh，其中P0為大氣壓強(qiáng)。由于管和井共軸，故液體的壓強(qiáng)沿著管的高度是均勻的。設(shè)液體在管內(nèi)的高度為y，則液體的壓強(qiáng)為P=P0+ρg(H-y-2r)。由于液體靜止不動(dòng)，故液體在管內(nèi)的壓強(qiáng)沿著管的橫截面是均勻的。設(shè)液體在管內(nèi)的壓強(qiáng)為p，則有p=P0+ρg(H-y-2r)?；钊仙倪^程中，液體的體積不變，故有：pπr^2=F由于液體的密度和管的截面積均為常數(shù)，故液體在管內(nèi)的質(zhì)量也是常數(shù)。設(shè)液體在管內(nèi)的質(zhì)量為m，則有：m=ρπr^2y液體在管內(nèi)的重力勢(shì)能和活塞上升的高度成正比，故有：ΔU=mgh=ρπr^2gy代入y的表達(dá)式可得：ΔU=ρπr^2g(H-2r)h由于拉力F對(duì)活塞所做的功等于ΔU，故有：W=Fh=ρπr^2g(H-2r)h代入已知量可得：W=4.50×10^4J練習(xí)2-2：一條總長為L的光滑勻質(zhì)鐵鏈跨過一個(gè)光滑的輕小滑輪，開始時(shí)底端相齊。當(dāng)鏈的一端略有擾動(dòng)時(shí)，鐵鏈剛脫離滑輪的瞬間速度是多少？練習(xí)2-3：一條均勻的鐵鏈子搭在小定滑輪上，左端占總長的2/5?，F(xiàn)將鐵鏈由靜止釋放，當(dāng)鐵鏈子剛剛離開滑輪時(shí)，鏈子的運(yùn)動(dòng)速度是多少？練習(xí)2-4：游樂列車由許多節(jié)車廂組成，全長為L，圓形軌道半徑為R（R遠(yuǎn)大于一節(jié)車廂的高度h和長度l，但L>2πR）。已知列車的車輪是卡在導(dǎo)軌上的光滑槽中，只能使列車沿著圓周運(yùn)動(dòng)而不能脫軌。試問：列車在水平軌道上應(yīng)具有多大初速度v，才能使列車通過圓形軌道？練習(xí)2-5：一條長為L的均勻金屬鏈條，一半長度在光滑斜面上，另一半長度沿豎直方向下垂在空中，斜面傾角為θ。當(dāng)鏈條從靜止開始釋放后，求鏈條剛好全部滑出斜面時(shí)的速度是多大？練習(xí)2-6：面積很大的水池，水深為H，水面上浮著一正方體木塊，木塊邊長為a，密度為水的1/2，質(zhì)量為m。開始時(shí)，木塊靜止，有一半沒入水中?，F(xiàn)用力將木塊緩慢地壓到池底。在這一過程中，水池中水的機(jī)械能是否增加了2mg(H-)？練習(xí)2-7：容器A、B各有一個(gè)可以自由移動(dòng)的活塞，活塞截面積分別為SA、SB，活塞下面是水，