新教材數(shù)學(xué)人教B版練習(xí)11-1-6祖暅原理與幾何體的體積

祖暅原理與幾何體的體積必備知識基礎(chǔ)練進階訓(xùn)練第一層知識點一多面體的體積1．已知高為3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形，如圖所示，則三棱錐B1-ABC的體積為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6)D.eq\f(\r(3),4)2．棱臺的上、下底面面積分別是2,4，高為3，則棱臺的體積等于________．3．設(shè)四棱錐的底面是對角線長分別為2和4的菱形，四棱錐的高為3，則該四棱錐的體積為________.知識點二圓柱、圓錐、圓臺的體積4.圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側(cè)面積是16eq\r(2)π，則圓錐的體積是()A.eq\f(64π,3)B.eq\f(128π,3)C．64πD．128eq\r(2)π5．(多選)圓柱的側(cè)面展開圖是長12cm，寬8cm的矩形，則這個圓柱的體積可能是()A.eq\f(288,π)cm3B.eq\f(192,π)cm3C．288πcm3D．192πcm36．已知圓臺的上、下底面半徑和高的比為1：4：4，母線長為10，則圓臺的體積為________.知識點三球的體積7.一個球的表面積是16π，則它的體積是()A．64πB.eq\f(64π,3)C．32πD.eq\f(32π,3)8．若球的體積與其表面積數(shù)值相等，則球的半徑等于()A.eq\f(1,2)B．1C．2D．39．用與球心距離為2的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為()A.eq\f(20π,3)B.eq\f(20\r(5)π,3)C．20eq\r(5)πD.eq\f(100π,3)知識點四組合體的表面積和體積10.如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，截去三棱錐A1-ABD，求剩余的幾何體A1B1C1D1-DBC的表面積．11．如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一點到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積．關(guān)鍵能力綜合練進階訓(xùn)練第二層一、選擇題1．一個棱柱和一個棱錐的高相等，底面積之比為2：3，則棱柱與棱錐的體積之比為()A.eq\f(1,2)B．2C.eq\f(1,3)D．32．如圖，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，則該幾何體的體積為()A．5πB．6πC．20πD．10π3．如圖，ABC-A′B′C′是體積為1的三棱柱，則四棱錐C-AA′B′B的體積是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)4．(易錯題)已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.eq\f(2\r(2)π,3)B.eq\f(4\r(2)π,3)C．2eq\r(2)πD．4eq\r(2)π5．(探究題)如圖所示，三棱臺ABC-A1B1C1中，A1B1：AB＝1：2，則三棱錐B-A1B1C1與三棱錐A1-ABC的體積比為()A．1：2B．1：3C．1：eq\r(2)D．1：46．如圖，圓柱形容器內(nèi)盛有高度為6cm的水，若放入3個相同的鐵球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球，則球的半徑為()A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm二、填空題7．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1-EDF的體積為________．8．兩個半徑為1的實心鐵球，熔化成一個大球，這個大球的半徑是________．9．如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，截去一個三棱錐D1-ADC，則剩余部分的體積為________，點D到平面ACD1的距離為________．三、解答題10．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．學(xué)科素養(yǎng)升級練進階訓(xùn)練第三層1．(多選)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，側(cè)面AA1C1C中心為O，點E是側(cè)棱BB1上的一個動點，有下列判斷，正確的是()A．直三棱柱側(cè)面積是4＋2eq\r(2)B．直三棱柱體積是eq\f(1,3)C．三棱錐E-AA1O的體積為定值D．AE＋EC1的最小值為2eq\r(2)2．兩個相同的正四棱錐組成如圖①所示的幾何體，可放入棱長為1的正方體(如圖②)內(nèi)，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個面平行，且各頂點均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有()A．1個B．2個C．3個D．無窮多個3．(情境命題——生活情境)養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽(供融化公路上的積雪之用)，已建倉庫的底面直徑為12m，高4m．養(yǎng)路處擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽．現(xiàn)有兩種方案：一是新建倉庫的底面直徑比原來大4m(高不變)；二是高度增加4m(底面直徑不變)．(1)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積和表面積．(2)哪個方案更經(jīng)濟？11．祖暅原理與幾何體的體積必備知識基礎(chǔ)練1．答案：D解析：設(shè)三棱錐B1-ABC的高為h，則V三棱錐B1-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(3),4).2．答案：6＋2eq\r(2)解析：V棱臺＝eq\f(1,3)×(2＋4＋eq\r(2×4))×3＝eq\f(1,3)×3×(6＋2eq\r(2))＝6＋2eq\r(2).3．答案：4解析：由題意得四棱錐的底面積為S＝2×eq\f(1,2)×2×2＝4.故四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×4×3＝4.4．答案：A解析：作圓錐的軸截面，如圖所示：由題意知，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，則h＝r，PB＝eq\r(2)r.由S側(cè)＝π·r·PB＝16eq\r(2)π，得eq\r(2)πr2＝16eq\r(2)π，所以r＝4.則h＝4.故圓錐的體積V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(64,3)π.5．答案：AB解析：當圓柱的高為8cm時，V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2π)))2×8＝eq\f(288,π)(cm3)，當圓柱的高為12cm時，V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2π)))2×12＝eq\f(192,π)(cm3)．6．答案：224π解析：設(shè)上底面半徑為r，則下底面半徑為4r，高為4r，如圖．∵母線長為10，∴102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2.∴下底面半徑R＝8，高h＝8，∴V圓臺＝eq\f(1,3)π(r2＋rR＋R2)h＝224π.7．答案：D解析：設(shè)球的半徑為R，則由題意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π.8．答案：D解析：設(shè)球的半徑為R，則4πR2＝eq\f(4,3)πR3，所以R＝3.9．答案：B解析：用一平面去截球所得截面的面積為π，所以小圓的半徑為1.已知球心到該截面的距離為2，所以球的半徑為r＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，所以球的體積為：eq\f(4,3)π(eq\r(5))3＝eq\f(20\r(5)π,3).故選B.10．解析：由圖可知△A1BD是邊長為eq\r(2)a的等邊三角形，其面積為eq\f(\r(3),2)a2，故所求幾何體A1B1C1D1-DBC的表面積S＝S△A1BD＋3S△DBC＋3S正方形A1B1C1D1＝eq\f(\r(3),2)a2＋3×eq\f(1,2)×a2＋3a2＝eq\f(\r(3)＋9,2)a2.11．解析：如圖，連接EB，EC，AC.V四棱錐E-ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱錐F-EBC＝V三棱錐C-EFB＝eq\f(1,2)V三棱錐C-ABE＝eq\f(1,2)V三棱錐E-ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)V四棱錐E-ABCD＝4.∴多面體的體積V＝V四棱錐E-ABCD＋V三棱錐F-EBC＝16＋4＝20.關(guān)鍵能力綜合練1．答案：B解析：設(shè)棱柱的高為h，底面積為S，則棱錐的高為h，底面積為eq\f(3,2)S，故二者的體積之比為eq\f(V1,V2)＝eq\f(Sh,\f(1,3)×\f(3,2)Sh)＝eq\f(2,1)＝2.2．答案：D解析：用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補成一個圓柱，如圖，則圓柱的體積為π×22×5＝20π，故所求幾何體的體積為10π.3．答案：C解析：∵V三棱錐C-A′B′C′＝eq\f(1,3)V三棱柱ABC-A′B′C′＝eq\f(1,3)，∴V四棱錐C-AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).4．答案：B解析：繞等腰直角三角形的斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體為兩個底面重合，等體積的圓錐，如圖所示．每一個圓錐的底面半徑和高都為eq\r(2)，故所求幾何體的體積V＝2×eq\f(1,3)×2π×eq\r(2)＝eq\f(4\r(2)π,3).5．答案：D解析：三棱錐B-A1B1C1與三棱錐A1-ABC的高相等，故其體積之比等于△A1B1C1與△ABC的面積之比，而△A1B1C1與△ABC的面積之比等于A1B1與AB比的平方，即1：4，故選D.6．答案：B解析：設(shè)球的半徑為r，依題意得三個球的體積和水的體積之和等于圓柱體的體積，∴3×eq\f(4,3)πr3＋πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3.故選B.7．答案：eq\f(1,6)解析：S△DD1E＝eq\f(1,2)DD1×1＝eq\f(1,2)，又點F到平面DD1E的距離為1，所以VD1-EDF＝VF-D1DE＝eq\f(1,3)S△DD1E×1＝eq\f(1,6).8．答案：eq\r(3,2)解析：設(shè)大球的半徑為R，則有eq\f(4,3)πR3＝2×eq\f(4,3)π×13，R3＝2，∴R＝eq\r(3,2).9．答案：eq\f(5,6)a3eq\f(\r(3),3)a解析：∵ABCD-A1B1C1D1為正方體，∴VABCD-A1B1C1D＝a3.由題意可知，D1D為三棱錐D1-DAC的高，∴VD1-ADC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×a2×a＝eq\f(1,6)a3.∴剩余部分的體積V＝a3－eq\f(1,6)a3＝eq\f(5,6)a3.∵正方體的棱長為a，∴AC＝AD1＝CD1＝eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)a，∴S△ACD1＝eq\f(1,2)(eq\r(2)a)2sin60°＝eq\f(\r(3),2)a2，又VD1-ADC＝VD-ACD1，∴eq\f(1,6)a3＝eq\f(1,3)S△ACD1h，∴h＝eq\f(\f(1,6)a3,\f(1,3)×\f(\r(3),2)a2)＝eq\f(\r(3),3)a，∴點D到平面ACD1的距離為eq\f(\r(3),3)a.10．解析：該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.該組合體的體積V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).學(xué)科素養(yǎng)升級練1．答案：ACD解析：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，底面ABC和A1B1C1是等腰直角三角形，側(cè)面全是矩形，所以其側(cè)面積為1×2×2＋eq\r(12＋12)×2＝4＋2eq\r(2)，故A正確；直三棱柱的體積為V＝S△ABC·AA1＝eq\f(1,2)×1×1×2＝1，故B不正確；由BB1∥平面AA1C1C，且點E是側(cè)棱BB1上的一個動點，∴三棱錐E-AA1O的高為定值eq\f(\r(2),2)，S△AA1O＝eq\f(1,4)×eq\r(2)×2＝eq\f(\r(2),2)，∴VE-AA1O＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,6)，故C正確；設(shè)BE＝x∈[0,2]，則B1E＝2－x，∴在Rt△ABC和Rt△EB1C1中，AE＋EC1＝eq\r(1＋x2)＋eq\r(1＋(2－x)2).由其幾何意義，即平面內(nèi)動點(x,1)與兩定點(0,0)，(2,0)距離和的最小值，由對稱可知，當E為BB1的中點時，其最小值為eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，故D正確．故選ACD.2．答案：D解析：沿正四棱錐的底面所在平面將正方體切開，截面如圖所示．可見正方形中內(nèi)接正方形的面積S不可能唯一，故V＝eq\f(1,3)×S×eq\f(1,2)×2不唯一．3．解析：(1)方案一中