2020年高考真題及答案解析《數(shù)學(xué)》（江蘇卷上海卷、浙江卷共3套）

PAGE機密★啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)Ⅰ注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1．本試卷共4頁，均為非選擇題(第1題~第20題，共20題)。本卷滿分為160分，考試時間為120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3．請認真核對監(jiān)考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4．作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.參考公式：柱體的體積，其中是柱體的底面積，是柱體的高．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．1.已知集合，則_____.2.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實部是_____.3.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，則的值是_____.4.將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是_____.5.如圖是一個算法流程圖，若輸出的值為，則輸入的值是_____.6.在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線﹣=1(a＞0)的一條漸近線方程為y=x，則該雙曲線的離心率是____.7.已知y=f(x)是奇函數(shù)，當x≥0時，，則f(-8)的值是____.8.已知=，則的值是____.9.如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半輕為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm.10.將函數(shù)y=的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是____.11.設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項和，則d+q的值是_______．12.已知，則的最小值是_______．13.在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是________．14.在平面直角坐標系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個動點，滿足，則△PAB面積的最大值是__________．二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點．（1）求證：EF∥平面AB1C1；（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1．16.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點D，使得，求的值．17.某地準備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上、橋AB與MN平行，為鉛垂線(在AB上).經(jīng)測量，左側(cè)曲線AO上任一點D到MN的距離(米)與D到的距離a(米)之間滿足關(guān)系式；右側(cè)曲線BO上任一點F到MN的距離(米)與F到的距離b(米)之間滿足關(guān)系式.已知點B到的距離為40米.（1）求橋AB的長度；（2）計劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C，E在AB上(不包括端點).橋墩EF每米造價k(萬元)、橋墩CD每米造價(萬元)(k>0).問為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低?18.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF2⊥F1F2，直線AF1與橢圓E相交于另一點B．（1）求△AF1F2的周長；（2）在x軸上任取一點P，直線AP與橢圓E的右準線相交于點Q，求的最小值；（3）設(shè)點M在橢圓E上，記△OAB與△MAB的面積分別為S1，S2，若S2=3S1，求點M的坐標．19.已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．（1）若，求h(x)的表達式；（2）若，求k的取值范圍；（3）若求證：．20.已知數(shù)列的首項a1=1，前n項和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ–k”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“λ–1”數(shù)列，求λ的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列的通項公式；（3）對于給定的λ，是否存在三個不同的數(shù)列為“λ–3”數(shù)列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由，數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．[選修4-2：矩陣與變換]21.平面上點在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點．（1）求實數(shù)，的值；（2）求矩陣的逆矩陣．B．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22.在極坐標系中，已知點在直線上，點在圓上（其中，）．（1）求，的值（2）求出直線與圓的公共點的極坐標．C．[選修4-5：不等式選講]23.設(shè)，解不等式．【必做題】第24題、第25題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．24.在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點．（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點F在BC上，滿足BF=BC，設(shè)二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值．25.甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示)．機密★啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．1.已知集合，則_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)集合交集即可計算.【詳解】∵,∴故答案為：.【點睛】本題考查了交集及其運算，是基礎(chǔ)題型．2.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實部是_____.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，化簡即可求得實部的值.【詳解】∵復(fù)數(shù)∴∴復(fù)數(shù)的實部為3.故答案為：3.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，則的值是_____.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)的公式進行求解即可．【詳解】∵數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4∴，即.故答案為：2.【點睛】本題主要考查平均數(shù)的計算和應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．4.將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是_____.【答案】【解析】【分析】分別求出基本事件總數(shù)，點數(shù)和為5的種數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可．【詳解】根據(jù)題意可得基本事件數(shù)總為個.點數(shù)和為5的基本事件有，，，共4個.∴出現(xiàn)向上的點數(shù)和為5的概率為.故答案為：.【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．5.如圖是一個算法流程圖，若輸出的值為，則輸入的值是_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷出，由此求得的值.【詳解】由于，所以，解得.故答案為：【點睛】本小題主要考查根據(jù)程序框圖輸出結(jié)果求輸入值，考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6.在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線﹣=1(a＞0)的一條漸近線方程為y=x，則該雙曲線的離心率是____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程求得，由此求得，進而求得雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線，故.由于雙曲線的一條漸近線方程為，即，所以，所以雙曲線的離心率為.故答案為：【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.7.已知y=f(x)是奇函數(shù)，當x≥0時，，則f(-8)的值是____.【答案】【解析】【分析】先求，再根據(jù)奇函數(shù)求【詳解】，因為為奇函數(shù)，所以故答案為：【點睛】本題考查根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.8.已知=，則的值是____.【答案】【解析】【分析】直接按照兩角和正弦公式展開，再平方即得結(jié)果.【詳解】故答案為：【點睛】本題考查兩角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.9.如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半輕為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm.【答案】【解析】【分析】先求正六棱柱體積，再求圓柱體積，相減得結(jié)果.【詳解】正六棱柱體積為圓柱體積為所求幾何體體積為故答案為：【點睛】本題考查正六棱柱體積、圓柱體積，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.10.將函數(shù)y=的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是____.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)圖象變換得解析式，再求對稱軸方程，最后確定結(jié)果.【詳解】當時故答案為：【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換、正弦函數(shù)對稱軸，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.11.設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項和，則d+q的值是_______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列前項和公式的特點，分別求得的公差和公比，由此求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意.等差數(shù)列的前項和公式為，等比數(shù)列的前項和公式為，依題意，即，通過對比系數(shù)可知，故.故答案為：【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和公式，屬于中檔題.12.已知，則的最小值是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得，可得，利用基本不等式即可求解.【詳解】∵∴且∴，當且僅當，即時取等號.∴的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.13.在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)，結(jié)合與三點共線，可求得，再根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】∵三點共線，∴可設(shè)，∵，∴，即，若且，則三點共線，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，設(shè)，，則，.∴根據(jù)余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的長度為.當時，，重合，此時的長度為，當時，，重合，此時，不合題意，舍去.故答案為：0或.【點睛】本題考查了平面向量知識的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用以及求解運算能力，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出．14.在平面直角坐標系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個動點，滿足，則△PAB面積的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件得,再用圓心到直線距離表示三角形PAB面積，最后利用導(dǎo)數(shù)求最大值.【詳解】設(shè)圓心到直線距離為，則所以令（負值舍去）當時，；當時，，因此當時，取最大值，即取最大值為，故答案為：【點睛】本題考查垂徑定理、利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點．（1）求證：EF∥平面AB1C1；（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1．【答案】（1）證明詳見解析；（2）證明詳見解析.【解析】【分析】（1）通過證明，來證得平面.（2）通過證明平面，來證得平面平面.【詳解】（1）由于分別是的中點，所以.由于平面,平面，所以平面.（2）由于平面，平面，所以.由于，所以平面,由于平面，所以平面平面.【點睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，屬于中檔題.16.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點D，使得，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.（2）根據(jù)的值，求得的值，由（1）求得的值，從而求得的值，進而求得的值.【詳解】（1）由余弦定理得，所以.由正弦定理得.（2）由于，，所以.由于，所以，所以所以.由于，所以.所以.【點睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等變換，屬于中檔題.17.某地準備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上、橋AB與MN平行，為鉛垂線(在AB上).經(jīng)測量，左側(cè)曲線AO上任一點D到MN的距離(米)與D到的距離a(米)之間滿足關(guān)系式；右側(cè)曲線BO上任一點F到MN的距離(米)與F到的距離b(米)之間滿足關(guān)系式.已知點B到的距離為40米.（1）求橋AB的長度；（2）計劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C，E在AB上(不包括端點).橋墩EF每米造價k(萬元)、橋墩CD每米造價(萬元)(k>0).問為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低?【答案】（1）120米（2）米【解析】【分析】（1）根據(jù)A,B高度一致列方程求得結(jié)果；（2）根據(jù)題意列總造價的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求最值，即得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得米（2）設(shè)總造價為萬元，，設(shè)，(0舍去)當時，；當時，，因此當時，取最小值，答：當米時，橋墩CD與EF的總造價最低.【點睛】本題考查實際成本問題、利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查基本分析求解能力，屬中檔題.18.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF2⊥F1F2，直線AF1與橢圓E相交于另一點B．（1）求△AF1F2的周長；（2）在x軸上任取一點P，直線AP與橢圓E的右準線相交于點Q，求的最小值；（3）設(shè)點M在橢圓E上，記△OAB與△MAB的面積分別為S1，S2，若S2=3S1，求點M的坐標．【答案】（1）6；（2）-4；（3）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓定義可得，從而可求出的周長；（2）設(shè)，根據(jù)點在橢圓上，且在第一象限，，求出，根據(jù)準線方程得點坐標，再根據(jù)向量坐標公式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可出最小值；（3）設(shè)出設(shè)，點到直線的距離為，由點到直線的距離與，可推出，根據(jù)點到直線的距離公式，以及滿足橢圓方程，解方程組即可求得坐標.【詳解】（1）∵橢圓的方程為∴,由橢圓定義可得：.∴的周長為（2）設(shè)，根據(jù)題意可得.∵點在橢圓上，且在第一象限，∴∵準線方程為∴∴，當且僅當時取等號.∴的最小值為.（3）設(shè)，點到直線的距離為.∵，∴直線的方程為∵點到直線的距離為，∴∴∴①∵②∴聯(lián)立①②解得，.∴或.【點睛】本題考查了橢圓的定義，直線與橢圓相交問題、點到直線距離公式的運用，熟悉運用公式以及根據(jù)推出是解答本題的關(guān)鍵.19.已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．（1）若，求h(x)的表達式；（2）若，求k的取值范圍；（3）若求證：．【答案】（1）；（2）；（3）證明詳見解析【解析】【分析】（1）求得與的公共點，并求得過該點的公切線方程，由此求得的表達式.（2）先由，求得的一個取值范圍，再由，求得的另一個取值范圍，從而求得的取值范圍.（3）先由，求得的取值范圍，由方程的兩個根，求得的表達式，利用導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.【詳解】（1）由題設(shè)有對任意的恒成立.令，則，所以.因此即對任意的恒成立，所以，因此.故.（2）令，.又.若，則在上遞增，在上遞減，則，即，不符合題意.當時，，符合題意.當時，在上遞減，在上遞增，則，即，符合題意.綜上所述，.由當，即時，在為增函數(shù)，因為，故存在，使，不符合題意.當，即時，，符合題意.當，即時，則需，解得.綜上所述，的取值范圍是.（3）因為對任意恒成立，對任意恒成立，等價于對任意恒成立.故對任意恒成立令，當，，此時，當，，但對任意的恒成立.等價于對任意的恒成立.的兩根為，則，所以.令，則.構(gòu)造函數(shù)，，所以時，，遞減，.所以，即.【點睛】本小題主要考查利用的導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.20.已知數(shù)列的首項a1=1，前n項和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ–k”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“λ–1”數(shù)列，求λ的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列的通項公式；（3）對于給定的λ，是否存在三個不同的數(shù)列為“λ–3”數(shù)列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由，【答案】（1）1（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)定義得，再根據(jù)和項與通項關(guān)系化簡得，最后根據(jù)數(shù)列不為零數(shù)列得結(jié)果；（2）根據(jù)定義得，根據(jù)平方差公式化簡得，求得，即得；（3）根據(jù)定義得，利用立方差公式化簡得兩個方程，再根據(jù)方程解的個數(shù)確定參數(shù)滿足的條件，解得結(jié)果【詳解】（1）（2），（3）假設(shè)存在三個不同的數(shù)列為數(shù)列.或或∵對于給定的，存在三個不同的數(shù)列為數(shù)列，且或有兩個不等的正根.可轉(zhuǎn)化為，不妨設(shè)，則有兩個不等正根，設(shè).①當時，，即，此時，，滿足題意.②當時，，即，此時，，此情況有兩個不等負根，不滿足題意舍去.綜上，【點睛】本題考查數(shù)列新定義、由和項求通項、一元二次方程實根分步，考查綜合分析求解能力，屬難題.數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．[選修4-2：矩陣與變換]21.平面上點在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點．（1）求實數(shù)，的值；（2）求矩陣的逆矩陣．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)變換寫出具體的矩陣關(guān)系式，然后進行矩陣的計算可得出實數(shù)的值；（2）設(shè)出逆矩陣，由定義得到方程，即可求解.【詳解】（1）∵平面上點在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點∴∴，解得（2）設(shè)，則∴，解得∴【點睛】本題考查矩陣變換的應(yīng)用，考查逆矩陣的求法，解題時要認真審題，屬于基礎(chǔ)題．B．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22.在極坐標系中，已知點在直線上，點在圓上（其中，）．（1）求，的值（2）求出直線與圓的公共點的極坐標．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)將A,B點坐標代入即得結(jié)果；（2）聯(lián)立直線與圓極坐標方程，解得結(jié)果.【詳解】（1）以極點為原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，，因為點為直線上，故其直角坐標方程為，又對應(yīng)的圓的直角坐標方程為：，由解得或，對應(yīng)的點為，故對應(yīng)的極徑為或.（2），，當時；當時，舍；即所求交點坐標為當【點睛】本題考查極坐標方程及其交點，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.C．[選修4-5：不等式選講]23.設(shè)，解不等式．【答案】【解析】【分析】根據(jù)絕對值定義化為三個方程組，解得結(jié)果【詳解】或或或或所以解集為【點睛】本題考查分類討論解含絕對值不等式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.【必做題】第24題、第25題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．24.在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點．（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點F在BC上，滿足BF=BC，設(shè)二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量數(shù)量積求直線向量夾角，即得結(jié)果；（2）先求兩個平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.詳解】（1）連以為軸建立空間直角坐標系，則從而直線與所成角的余弦值為（2）設(shè)平面一個法向量為令設(shè)平面一個法向量為令因此【點睛】本題考查利用向量求線線角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題.25.甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接根據(jù)操作，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果；（2）根據(jù)操作，依次求，即得遞推關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列求得，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求結(jié)果.【詳解】（1），，（2），，因此，從而，即.又的分布列為012故.【點睛】本題考查古典概型概率、概率中遞推關(guān)系、構(gòu)造法求數(shù)列通項、數(shù)學(xué)期望公式，考查綜合分析求解能力，屬難題.

機密★啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷）數(shù)學(xué)一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．已知集合，2，，集合，4，，則．2．計算：．3．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），則．4．已知函數(shù)，是的反函數(shù)，則．5．已知、滿足，則的最大值為．6．已知行列式，則．7．已知有四個數(shù)1，2，，，這四個數(shù)的中位數(shù)是3，平均數(shù)是4，則．8．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，則．9．從6個人挑選4個人去值班，每人值班一天，第一天安排1個人，第二天安排1個人，第三天安排2個人，則共有種安排情況．10．已知橢圓的右焦點為，直線經(jīng)過橢圓右焦點，交橢圓于、兩點（點在第二象限），若點關(guān)于軸對稱點為，且滿足，求直線的方程是．11．設(shè)，若存在定義域為的函數(shù)同時滿足下列兩個條件：（1）對任意的，的值為或；（2）關(guān)于的方程無實數(shù)解，則的取值范圍是．12．已知，，，，，是平面內(nèi)兩兩互不相等的向量，滿足，且，（其中，2，，2，，，則的最大值是．二、選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13．下列等式恒成立的是A． B． C． D．14．已知直線方程的一個參數(shù)方程可以是A．為參數(shù)） B．為參數(shù)） C．為參數(shù)） D．為參數(shù)）15．在棱長為10的正方體中，為左側(cè)面上一點，已知點到的距離為3，到的距離為2，則過點且與平行的直線相交的面是A． B． C． D．16．命題：存在且，對于任意的，使得（a）；命題單調(diào)遞減且恒成立；命題單調(diào)遞增，存在使得，則下列說法正確的是A．只有是的充分條件 B．只有是的充分條件 C．，都是的充分條件 D．，都不是的充分條件三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）已知是邊長為1的正方形，正方形繞旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱．（1）求該圓柱的表面積；（2）正方形繞逆時針旋轉(zhuǎn)至，求線段與平面所成的角．18．（14分）已知函數(shù)，．（1）的周期是，求，并求的解集；（2）已知，，，，求的值域．19．（14分）在研究某市場交通情況時，道路密度是指該路段上一定時間內(nèi)通過的車輛數(shù)除以時間，車輛密度是該路段一定時間內(nèi)通過的車輛數(shù)除以該路段的長度，現(xiàn)定義交通流量為，為道路密度，為車輛密度．．（1）若交通流量，求道路密度的取值范圍；（2）已知道路密度，交通流量，求車輛密度的最大值．20．（16分）已知雙曲線與圓交于點，（第一象限），曲線為、上取滿足的部分．（1）若，求的值；（2）當，與軸交點記作點、，是曲線上一點，且在第一象限，且，求；（3）過點斜率為的直線與曲線只有兩個交點，記為、，用表示，并求的取值范圍．21．（18分）已知數(shù)列為有限數(shù)列，滿足，則稱滿足性質(zhì)．（1）判斷數(shù)列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性質(zhì)，請說明理由；（2）若，公比為的等比數(shù)列，項數(shù)為10，具有性質(zhì)，求的取值范圍；（3）若是1，2，3，，的一個排列，符合，2，，，、都具有性質(zhì)，求所有滿足條件的數(shù)列．

參考答案1．，【解析】因為，2，，，4，，則，．故答案為：，．2．【解析】，故答案為：．3．【解析】由，得．故答案為：．4．【解析】由，得，把與互換，可得的反函數(shù)為．故答案為：．5．-1【解析】由約束條件作出可行域如圖陰影部分，化目標函數(shù)為，由圖可知，當直線過時，直線在軸上的截距最大，聯(lián)立，解得，即．有最大值為．故答案為：．6．2【解析】行列式，可得，解得．故答案為：2．7．36【解析】因為四個數(shù)的平均數(shù)為4，所以，因為中位數(shù)是3，所以，解得，代入上式得，所以，故答案為：36．8．【解析】根據(jù)題意，等差數(shù)列滿足，即，變形可得，所以．故答案為：．9．180【解析】根據(jù)題意，可得排法共有種．故答案為：180．10．【解析】橢圓的右焦點為，直線經(jīng)過橢圓右焦點，交橢圓于、兩點（點在第二象限），若點關(guān)于軸對稱點為，且滿足，可知直線的斜率為，所以直線的方程是：，即．故答案為：．11．，，，【解析】根據(jù)條件（1）可得或（1），又因為關(guān)于的方程無實數(shù)解，所以或1，故，，，，故答案為：，，，．12．6【解析】如圖，設(shè)，，由，且，，分別以，為圓心，以1和2為半徑畫圓，其中任意兩圓的公共點共有6個．故滿足條件的的最大值為6．故答案為：6．13．B【解析】．顯然當，時，不等式不成立，故錯誤；．，，，故正確；．顯然當，時，不等式不成立，故錯誤；．顯然當，時，不等式不成立，故錯誤．故選：．14．B【解析】為參數(shù)）的普通方程為：，即，不正確；為參數(shù)）的普通方程為：，即，正確；為參數(shù)）的普通方程為：，即，不正確；為參數(shù)）的普通方程為：，即，不正確；故選：．15．D【解析】如圖，由點到的距離為3，到的距離為2，可得在△內(nèi)，過作，且于，于，在平面中，過作，交于，則平面平面．連接，交于，連接，平面平面，平面平面，平面平面，．在中，過作，且于，則．線段在四邊形內(nèi)，在線段上，在四邊形內(nèi)．過點且與平行的直線相交的面是．故選：．16．C【解析】對于命題：當單調(diào)遞減且恒成立時，當時，此時，又因為單調(diào)遞減，所以又因為恒成立時，所以（a），所以（a），所以命題命題，對于命題：當單調(diào)遞增，存在使得，當時，此時，（a），又因為單調(diào)遞增，所以，所以（a），所以命題命題，所以，都是的充分條件，故選：．17．【解析】（1）該圓柱的表面由上下兩個半徑為1的圓面和一個長為、寬為1的矩形組成，．故該圓柱的表面積為．（2）正方形，，又，，，且、平面，平面，即在面上的投影為，連接，則即為線段與平面所成的角，而，線段與平面所成的角為．18．【解析】（1）由于的周期是，所以，所以．令，故或，整理得或．故解集為或，．（2）由于，所以．所以由于，，所以．，故，故．所以函數(shù)的值域為．19．【解析】（1），越大，越小，是單調(diào)遞減函數(shù)，，當時，最大為85，于是只需令，解得，故道路密度的取值范圍為．（2）把，代入中，得，解得．，當時，單調(diào)遞增，；當時，是關(guān)于的二次函數(shù)，開口向下，對稱軸為，此時有最大值，為．故車輛密度的最大值為．20．【解析】（1）由，點為曲線與曲線的交點，聯(lián)立，解得，；（2）由題意可得，為曲線的兩個焦點，由雙曲線的定義可得，又，，所以，因為，則，所以，在△中，由余弦定理可得，由，可得；（3）設(shè)直線，可得原點到直線的距離，所以直線是圓的切線，設(shè)切點為，所以，并設(shè)與圓聯(lián)立，可得，可得，，即，注意直線與雙曲線的斜率為負的漸近線平行，所以只有當時，直線才能與曲線有兩個交點，由，可得，所以有，解得或（舍去），因為為在上的投影可得，，所以，則，．21．【解析】（1）對于數(shù)列3，2，5，1，有，，，滿足題意，該數(shù)列滿足性質(zhì)；對于第二個數(shù)列4、3、2、5、1，，，．不滿足題意，該數(shù)列不滿足性質(zhì)．（2）由題意：，可得：，，3，，，兩邊平方可得：，整理可得：，當時，得此時關(guān)于恒成立，所以等價于時，，所以，，所以，或，所以取，當時，得，此時關(guān)于恒成立，所以等價于時，，所以，所以，所以取．當時：，當為奇數(shù)時，得，恒成立，當為偶數(shù)時，，不恒成立；故當時，矛盾，舍去．當時，得，當為奇數(shù)時，得，恒成立，當為偶數(shù)時，，恒成立；故等價于時，，所以，所以或，所以取，綜上，．（3）設(shè)，，4，，，，因為，可以取，或，可以取，或，如果或取了或，將使不滿足性質(zhì)；所以的前5項有以下組合：①，；；；；②，；；；；③，；；；；④，；；；；對于①，，，，與滿足性質(zhì)矛盾，舍去；對于②，，，，與滿足性質(zhì)矛盾，舍去；對于③，，，，與滿足性質(zhì)矛盾，舍去；對于④，，，與滿足性質(zhì)矛盾，舍去；所以，4，，，，均不能同時使、都具有性質(zhì)．當時，有數(shù)列，2，3，，，滿足題意．當時，有數(shù)列，，，3，2，1滿足題意．當時，有數(shù)列，1，3，，，滿足題意．當時，有數(shù)列，，，，，3，2，1滿足題意．所以滿足題意的數(shù)列只有以上四種。

絕密★考試結(jié)束前2020年普通高校招生全國統(tǒng)一考試（浙江卷）數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題）.1．已知集合P＝{x|1＜x＜4}，Q＝{x|2＜x＜3}，則P∩Q＝（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|2＜x＜3} C．{x|3≤x＜4} D．{x|1＜x＜4}2．已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i為虛數(shù)單位）是實數(shù)，則a＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣23．若實數(shù)x，y滿足約束條件，則z＝x+2y的取值范圍是（）A．（﹣∞，4] B．[4，+∞） C．[5，+∞） D．（﹣∞，+∞）4．函數(shù)y＝xcosx+sinx在區(qū)間[﹣π，+π]的圖象大致為（）A． B． C． D．5．某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）A． B． C．3 D．66．已知空間中不過同一點的三條直線m，n，l，則“m，n，l在同一平面”是“m，n，l兩兩相交”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，公差d≠0，≤1．記b1＝S2，bn+1＝Sn+2﹣S2n，n∈N*，下列等式不可能成立的是（）A．2a4＝a2+a6 B．2b4＝b2+b6 C．a(chǎn)42＝a2a8 D．b42＝b2b88．已知點O（0，0），A（﹣2，0），B（2，0）．設(shè)點P滿足|PA|﹣|PB|＝2，且P為函數(shù)y＝3圖象上的點，則|OP|＝（）A． B． C． D．9．已知a，b∈R且ab≠0，若（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b）≥0在x≥0上恒成立，則（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)＞0 C．b＜0 D．b＞010．設(shè)集合S，T，S?N*，T?N*，S，T中至少有兩個元素，且S，T滿足：①對于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②對于任意x，y∈T，若x＜y，則∈S；下列命題正確的是（）A．若S有4個元素，則S∪T有7個元素 B．若S有4個元素，則S∪T有6個元素 C．若S有3個元素，則S∪T有4個元素 D．若S有3個元素，則S∪T有5個元素二、填空題：本大題共7小題，共36分。多空題每小題4分；單空題每小題4分。11．已知數(shù)列{an}滿足an＝，則S3＝．12．設(shè)（1+2x）5＝a1+a2x+a3x2+a4x3+a5x4+a6x5，則a5＝；a1+a2+a3＝．13．已知tanθ＝2，則cos2θ＝；tan（θ﹣）＝．14．已知圓錐展開圖的側(cè)面積為2π，且為半圓，則底面半徑為．15．設(shè)直線l：y＝kx+b（k＞0），圓C1：x2+y2＝1，C2：（x﹣4）2+y2＝1，若直線l與C1，C2都相切，則k＝；b＝．16．一個盒子里有1個紅1個綠2個黃四個相同的球，每次拿一個，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出黃球的個數(shù)為ξ，則P（ξ＝0）＝；E（ξ）＝．17．設(shè)，為單位向量，滿足|2﹣|≤，＝+，＝3+，設(shè)，的夾角為θ，則cos2θ的最小值為．三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。18．在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2bsinA＝a．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．19．如圖，三棱臺DEF﹣ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC．（Ⅰ）證明：EF⊥DB；（Ⅱ）求DF與面DBC所成角的正弦值．20．已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，a1＝b1＝c1＝1，cn+1＝an+1﹣an，cn+1＝?cn（n∈N*）．（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比q＞0，且b1+b2＝6b3，求q與an的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差d＞0，證明：c1+c2+…+cn＜1+．21．如圖，已知橢圓C1：+y2＝1，拋物線C2：y2＝2px（p＞0），點A是橢圓C1與拋物線C2的交點，過點A的直線l交橢圓C1于點B，交拋物線C2于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若p＝，求拋物線C2的焦點坐標；（Ⅱ）若存在不過原點的直線l使M為線段AB的中點，求p的最大值．22．已知1＜a≤2，函數(shù)f（x）＝ex﹣x﹣a，其中e＝2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）證明：函數(shù)y＝f（x）在（0，+∞）上有唯一零點；（Ⅱ）記x0為函數(shù)y＝f（x）在（0，+∞）上的零點，證明：（?。躼0≤；（ⅱ）x0f（）≥（e﹣1）（a﹣1）a．參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合P＝{x|1＜x＜4}，Q＝{x|2＜x＜3}，則P∩Q＝（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|2＜x＜3} C．{x|3≤x＜4} D．{x|1＜x＜4}【分析】直接利用交集的運算法則求解即可．解：集合P＝{x|1＜x＜4}，Q＝{x|2＜x＜3}，則P∩Q＝{x|2＜x＜3}．故選：B．2．已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i為虛數(shù)單位）是實數(shù)，則a＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】利用復(fù)數(shù)的虛部為0，求解即可．解：a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i為虛數(shù)單位）是實數(shù)，可得a﹣2＝0，解得a＝2．故選：C．3．若實數(shù)x，y滿足約束條件，則z＝x+2y的取值范圍是（）A．（﹣∞，4] B．[4，+∞） C．[5，+∞） D．（﹣∞，+∞）【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域；作出目標函數(shù)對應(yīng)的直線；結(jié)合圖象判斷目標函數(shù)z＝x+2y的取值范圍．解：畫出實數(shù)x，y滿足約束條件所示的平面區(qū)域，如圖：將目標函數(shù)變形為﹣x+＝y(tǒng)，則z表示直線在y軸上截距，截距越大，z越大，當目標函數(shù)過點A（2，1）時，截距最小為z＝2+2＝4，隨著目標函數(shù)向上移動截距越來越大，故目標函數(shù)z＝2x+y的取值范圍是[4，+∞）．故選：B．4．函數(shù)y＝xcosx+sinx在區(qū)間[﹣π，+π]的圖象大致為（）A． B． C． D．【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再判斷函數(shù)值的特點．解：y＝f（x）＝xcosx+sinx，則f（﹣x）＝﹣xcosx﹣sinx＝﹣f（x），∴f（x）為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，故排除B，D，當x＝π時，y＝f（π）＝πcosπ+sinπ＝﹣π＜0，故排除B，故選：A．5．某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）A． B． C．3 D．6【分析】畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可．解：由題意可知幾何體的直觀圖如圖，下部是直三棱柱，底面是斜邊長為2的等腰直角三角形，棱錐的高為2，上部是一個三棱錐，一個側(cè)面與底面等腰直角三角形垂直，棱錐的高為1，所以幾何體的體積為：＝．故選：A．6．已知空間中不過同一點的三條直線m，n，l，則“m，n，l在同一平面”是“m，n，l兩兩相交”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】由m，n，l在同一平面，則m，n，l相交或m，n，l有兩個平行，另一直線與之相交，或三條直線兩兩平行，根據(jù)充分條件，必要條件的定義即可判斷．解：空間中不過同一點的三條直線m，n，l，若m，n，l在同一平面，則m，n，l相交或m，n，l有兩個平行，另一直線與之相交，或三條直線兩兩平行．故m，n，l在同一平面”是“m，n，l兩兩相交”的必要不充分條件，故選：B．7．已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，公差d≠0，≤1．記b1＝S2，bn+1＝Sn+2﹣S2n，n∈N*，下列等式不可能成立的是（）A．2a4＝a2+a6 B．2b4＝b2+b6 C．a(chǎn)42＝a2a8 D．b42＝b2b8【分析】由已知利用等差數(shù)列的通項公式判斷A與C；由數(shù)列遞推式分別求得b2，b4，b6，b8，分析B，D成立時是否滿足公差d≠0，≤1判斷B與D．解：在等差數(shù)列{an}中，an＝a1+（n﹣1）d，，，b1＝S2＝2a1+d，bn+1＝Sn+2﹣S2n＝．∴b2＝a1+2d，b4＝﹣a1﹣5d，b6＝﹣3a1﹣24d，b8＝﹣5a1﹣55d．A.2a4＝2（a1+3d）＝2a1+6d，a2+a6＝a1+d+a1+5d＝2a1+6d，故A正確；B.2b4＝﹣2a1﹣10d，b2+b6＝a1+2d﹣3a1﹣24d＝﹣2a1﹣22d，若2b4＝b2+b6，則﹣2a1﹣10d＝﹣2a1﹣22d，即d＝0，不合題意，故B錯誤；C．若a42＝a2a8，則，即，得，∵d≠0，∴a1＝d，符合≤1，故C正確；D．若，則，即，則有兩不等負根，滿足≤1，故D正確．∴等式不可能成立的是B．故選：B．8．已知點O（0，0），A（﹣2，0），B（2，0）．設(shè)點P滿足|PA|﹣|PB|＝2，且P為函數(shù)y＝3圖象上的點，則|OP|＝（）A． B． C． D．【分析】求出P滿足的軌跡方程，求出P的坐標，即可求解|OP|．解：點O（0，0），A（﹣2，0），B（2，0）．設(shè)點P滿足|PA|﹣|PB|＝2，可知P的軌跡是雙曲線的右支上的點，P為函數(shù)y＝3圖象上的點，即在第一象限的點，聯(lián)立兩個方程，解得P（，），所以|OP|＝＝．故選：D．9．已知a，b∈R且ab≠0，若（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b）≥0在x≥0上恒成立，則（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)＞0 C．b＜0 D．b＞0【分析】設(shè)f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b），求得f（x）的零點，根據(jù)f（0）≥0恒成立，討論a，b的符號，結(jié)合三次函數(shù)的圖象，即可得到結(jié)論．解：設(shè)f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b），可得f（x）的圖象與x軸有三個交點，即f（x）有三個零點a，b，2a+b且f（0）＝﹣ab（2a+b），由題意知，f（0）≥0恒成立，則ab（2a+b）≤0，a＜0，b＜0，可得2a+b＜0，ab（2a+b）≤0恒成立，排除B，D；我們考慮零點重合的情況，即中間和右邊的零點重合，左邊的零點在負半軸上．則有a＝b或a＝2a+b或b＝b+2a三種情況，此時a＝b＜0顯然成立；若b＝b+2a，則a＝0不成立；若a＝2a+b，即a+b＝0，可得b＜0，a＞0且a和2a+b都在正半軸上，符合題意，綜上b＜0恒成立．故選：C．10．設(shè)集合S，T，S?N*，T?N*，S，T中至少有兩個元素，且S，T滿足：①對于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②對于任意x，y∈T，若x＜y，則∈S；下列命題正確的是（）A．若S有4個元素，則S∪T有7個元素 B．若S有4個元素，則S∪T有6個元素 C．若S有3個元素，則S∪T有4個元素 D．若S有3個元素，則S∪T有5個元素【分析】利用特殊集合排除選項，推出結(jié)果即可．解：取：S＝{1，2，4}，則T＝{2，4，8}，S∪T＝{1，2，4，8}，4個元素，排除C．S＝{2，4，8}，則T＝{8，16，32}，S∪T＝{2，4，8，16，32}，5個元素，排除D；S＝{2，4，8，16}則T＝{8，16，32，64，128}，S∪T＝{2，4，8，16，32，64，128}，7個元素，排除B；故選：A．二、填空題：本大題共7小題，共36分。多空題每小題4分；單空題每小題4分。11．已知數(shù)列{an}滿足an＝，則S3＝10．【分析】求出數(shù)列的前3項，然后求解即可．解：數(shù)列{an}滿足an＝，可得a1＝1，a2＝3，a3＝6，所以S3＝1+3+6＝10．故答案為：10．13．已知tanθ＝2，則cos2θ＝；tan（θ﹣）＝．【分析】利用二倍角公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解第一問，利用兩角和與差的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解第二問．解：tanθ＝2，則cos2θ＝＝＝＝﹣．tan（θ﹣）＝＝＝．故答案為：﹣；．14．已知圓錐展開圖的側(cè)面積為2π，且為半圓，則底面半徑為1．【分析】利用圓錐的側(cè)面積，求出母線長，求解底面圓的周長，然后求解底面半徑．解：∵圓錐側(cè)面展開圖是半圓，面積為2π，設(shè)圓錐的母線長為a，則a2π＝2π，∴a＝2，∴側(cè)面展開扇形的弧長為2π，設(shè)圓錐的底面半徑OC＝r，則2πr＝2π，解得r＝1．故答案為：1．15．設(shè)直線l：y＝kx+b（k＞0），圓C1：x2+y2＝1，C2：（x﹣4）2+y2＝1，若直線l與C1，C2都相切，則k＝；b＝﹣．【分析】根據(jù)直線l與兩圓都相切，分別列出方程d1＝＝1，d2＝＝1，解得即可．解：由條件得C1（0，0），r1＝1，C2（4，0），r2＝1，因為直線l與C1，C2都相切，故有d1＝＝1，d2＝＝1，則有＝，故可得b2＝（4k+b）2，整理得k（2k+b）＝0，因為k＞0，所以2k+b＝0，即b＝﹣2k，代入d1＝＝1，解得k＝，則b＝﹣，故答案為：；﹣．16．一個盒子里有1個紅1個綠2個黃四個相同的球，每次拿一個，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出黃球的個數(shù)為ξ，則P（ξ＝0）＝；E（ξ）＝1．【分析】由題意知隨機變量ξ的可能取值為0，1，2；分別計算P（ξ＝0）、P（ξ＝1）和P（ξ＝2），再求E（ξ）的值．解：由題意知，隨機變量ξ的可能取值為0，1，2；計算P（ξ＝0）＝+＝；P（ξ＝1）＝+＝；P（ξ＝2）＝+＝；所以E（ξ）＝0×+1×+2×＝1．故答案為：，1．17．設(shè)，為單位向量，滿足|2﹣|≤，＝+，＝3+，設(shè)，的夾角為θ，則cos2θ的最小值為．【分析】設(shè)、的夾角為α，由題意求出cosα≥；再求，的夾角θ的余弦值cos2θ的最小值即可．解：設(shè)、的夾角為α，由，為單位向量，滿足|2﹣|≤，所以4﹣4?+＝4﹣4cosα+1≤2，解得cosα≥；又＝+，＝3+，且，的夾角為θ，所以?＝3+4?+＝4+4cosα，＝+2?+＝2+2cosα，＝9+6+＝10+6cosα；則cos2θ＝＝＝＝﹣，所以cosα＝時，cos2θ取得最小值為﹣＝．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。18．在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2bsinA＝a．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．【分析】（Ⅰ）根據(jù)正弦定理可得sinB＝，結(jié)合角的范圍，即可求出，（Ⅱ）根據(jù)兩角和差的余弦公式，以及利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出．解：（Ⅰ）∵2bsinA＝a，∴2sinBsinA＝sinA，∵sinA≠0，∴sinB＝，∵＜B＜，∴B＝，（Ⅱ）∵△ABC為銳角三角形，B＝，∴C＝﹣A，∴cosA+cosB+cosC＝cosA+cos（﹣A）+cos＝cosA﹣cosA+sinA+＝cosA+sinA+＝sin（A+）+，△ABC為銳角三角形，0＜A＜，0＜C＜，解得＜A＜，∴＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，∴+＜sin（A+）+1≤，∴cosA+cosB+cosC的取值范圍為（，]．19．如圖，三棱臺DEF﹣ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC．（Ⅰ）證明：EF⊥DB；（Ⅱ）求DF與面DBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）題根據(jù)已知條件，作DH⊥AC，根據(jù)面面垂直，可得DH⊥BC，進一步根據(jù)直角三角形的知識可判斷出△BHC是直角三角形，且∠HBC＝90°，則HB⊥BC，從而可證出BC⊥面DHB，最后根據(jù)棱臺的定義有EF∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得EF⊥DB；（Ⅱ）題先可設(shè)BC＝1，根據(jù)解直角三角形可得BH＝1，HC＝，DH＝，DC＝2，DB＝，然后找到CH與面DBC的夾角即為∠HCG，根據(jù)棱臺的特點可知DF與面DBC所成角與CH與面DBC的夾角相等，通過計算∠HCG的正弦值，即可得到DF與面DBC所成角的正弦值．解：（Ⅰ）證明：作DH⊥AC，且交AC于點H，∵面ADFC⊥面ABC，DH?面ADFC，∴DH⊥BC，∴在Rt△DHC中，CH＝CD?cos45°＝CD，∵DC＝2BC，∴CH＝CD＝?2BC＝?BC，∴＝，即△BHC是直角三角形，且∠HBC＝90°，∴HB⊥BC，∴BC⊥面DHB，∵BD?面DHB，∴BC⊥BD，∵在三棱臺DEF﹣ABC中，EF∥BC，∴EF⊥DB．（Ⅱ）設(shè)BC＝1，則BH＝1，HC＝，在Rt△DHC中，DH＝，DC＝2，在Rt△DHB中，DB＝＝＝，作HG⊥BD于G，∵BC⊥HG，∴HG⊥面BCD，∵GC?面BCD，∴HG⊥GC，∴△HGC是直角三角形，且∠HGC＝90°，設(shè)DF與面DBC所成角為θ，則θ即為CH與面DBC的夾角，且sinθ＝sin∠HCG＝＝，∵在Rt△DHB中，DH?HB＝BD?HG，∴HG＝＝＝，∴sinθ＝＝＝．20．已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，a1＝b1＝c1＝1，cn+1＝an+1﹣an，cn+1＝?cn（n∈N*）．（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比q＞0，且b1+b2＝6b3，求q與an的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差d＞0，證明：c1+c2+…+cn＜1+．【分析】本題第（Ⅰ）題先根據(jù)等比數(shù)列的通項公式將b2＝q，b3＝q2代入b1+b2＝6b3，計算出公比q的值，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義化簡cn+1＝?cn可得cn+1＝4cn，則可發(fā)現(xiàn)數(shù)列{cn}是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，從而可得數(shù)列{cn}的通項公式，然后將通項公式代入cn+1＝an+1﹣an，可得an+1﹣an＝cn+1＝4n，再根據(jù)此遞推公式的特點運用累加法可計算出數(shù)列{an}的通項公式；第（Ⅱ）題通過將已知關(guān)系式cn+1＝?cn不斷進行轉(zhuǎn)化可構(gòu)造出數(shù)列{bnb