四川省自貢市三多寨中學2021年高三數(shù)學理模擬試卷含解析

四川省自貢市三多寨中學2021年高三數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若復數(shù)為純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），則實數(shù)m等于（）A．﹣1 B． C． D．1參考答案：D【考點】A5：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，由實部為0且虛部不為0列式求得m值．【解答】解：∵為純虛數(shù)，∴，得m=1．故選：D．2.已知O為△ABC內(nèi)一點且滿足，若△AOC的面積為且，則(

)A. B. C. D.參考答案：A【分析】由得O為重心，進而得的面積，結(jié)合面積公式及數(shù)量積求解即可【詳解】，∴O為重心，故，故，則故選：A【點睛】本題考查向量的簡單應(yīng)用，面積公式，向量的數(shù)量積，考查基本公式是基礎(chǔ)題

3.一個底面為正三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，則該棱柱體積的最大值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B設(shè)該三棱柱的底面邊長為，高為，則底面正三角形的外接圓半徑是，依題意有，即，，當且僅當，即，時取等號，此時取得最大值，因此該棱柱的體積的最大值是.4.設(shè)變量x、y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=2x+y的最小值為(

) A．2 B．3 C．4 D．9參考答案：B考點：簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用．專題：計算題；數(shù)形結(jié)合．分析：本題主要考查線性規(guī)劃的基本知識，先畫出約束條件的可行域，再求出可行域中各角點的坐標，將各點坐標代入目標函數(shù)的解析式，分析后易得目標函數(shù)Z=2x+y的最小值．解答： 解：設(shè)變量x、y滿足約束條件，在坐標系中畫出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），則目標函數(shù)z=2x+y的最小值為3，故選B點評：在解決線性規(guī)劃的問題時，我們常用“角點法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域?②求出可行域各個角點的坐標?③將坐標逐一代入目標函數(shù)?④驗證，求出最優(yōu)解．5.已知集合A＝{x||x|＜3}，B＝{x|x－1≤0}，則A∪B等于

（A）(－∞，3] （B）(－∞，3)

（C）[2，3] （D）(－3，2]參考答案：B略6.已知在等比數(shù)列{an}中，a1+a3=10，a4+a6=，則等比數(shù)列{an}的公比q的值為(

)A． B． C．2 D．8參考答案：B考點：等比數(shù)列的性質(zhì)．專題：計算題．分析：先設(shè)公比為q，用a4+a6除以a1+a3正好等于q3進而求得q．解答：解：依題意，設(shè)公比為q，由于a1+a3=10，a4+a6=，所以q3==，∴q=，故選B點評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．7.若，則下列不等式中成立的是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C8.已知雙曲線的離心率為2，若拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線的方程為A.

B.C.

D.參考答案：B試題分析：雙曲線的其中一條漸近線方程為，離心率，得，由于得，拋物線的焦點坐標到漸近線的距離，整理得得，因此拋物線方程，故答案為B.考點：雙曲線和拋物線的標準方程和性質(zhì)應(yīng)用.9.已知點的坐標，滿足，則的最大值是、

、

、

、參考答案：C10.有解的區(qū)域是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等比數(shù)列的前項和為,公比不為1。若,且對任意的都有,則_________。參考答案：11略12.

圓柱的內(nèi)切球與圓柱的上下底面和周壁都相切．若圓柱內(nèi)切球的體積為，則

圓柱的表面積為

.參考答案：13.對于實數(shù)x，將滿足“0≤y<l且x－y為整數(shù)”的實數(shù)y稱為實數(shù)x的小數(shù)部分，用符號表示。對于實數(shù)a，無窮數(shù)列{an}滿足如下條件：

①；

②。 （1）當時，數(shù)列{an}的通項公式為 。 （2）當時，對任意的都有，則a的值為 。參考答案：略14.若數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當時，數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列；類比上述性質(zhì)，若數(shù)列{cn}是等差數(shù)列，則當dn=時，數(shù)列{dn}也是等差數(shù)列．參考答案：略15.設(shè)為等比數(shù)列的前項和，已知，，則公比

參考答案：416.方程的解可視為函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像交點的橫坐標.若方程的各個實根所對應(yīng)的點（=1,2,…，k）均在直線的同側(cè)（不包括在直線上），則實數(shù)的取值范圍是______.參考答案：或17.已知，且與垂直，則的值為__________.參考答案：因為與垂直，所以，即，所以，整理得，解得或。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某學校高三年級800名學生在一次百米測試中，成績?nèi)吭?2秒到17秒之間，抽取其中50個樣本，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組[12，13），第二組[13，14），…，第五組[16，17]，如圖是根據(jù)上述分組得到的頻率分布直方圖．（1）若成績小于13秒被認為優(yōu)秀，求該樣本在這次百米測試中成績優(yōu)秀的人數(shù)；（2）請估計本年級800名學生中，成績屬于第三組的人數(shù)；（3）若樣本中第一組只有一名女生，第五組只有一名男生，現(xiàn)從第一、第五組中各抽取1名學生組成一個實驗組，求所抽取的2名同學中恰好為一名男生和一名女生的概率．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】（1）由頻率分布直方圖，得成績小于13秒的頻率為0.06，由此能求出該樣本在這次百米測試中成績優(yōu)秀的人數(shù)．（2）由頻率分布直方圖，得第三組[14，15）的頻率為0.38，由此能估計本年級800名學生中，成績屬于第三組的人數(shù)．（2）由頻率分布直方圖及題設(shè)條件得到第一組中有1名女生2名男生，第五組中有3名女生1名男生，由此能求出所抽取的2名同學中恰好為一名男生和一名女生的概率．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖，得成績小于13秒的頻率為0.06，∴該樣本在這次百米測試中成績優(yōu)秀的人數(shù)為：0.06×50=3（人）．（2）由頻率分布直方圖，得第三組[14，15）的頻率為0.38，∴估計本年級800名學生中，成績屬于第三組的人數(shù)為：800×0.38=304（人）．（2）由頻率分布直方圖，得第一組的頻率為0.06，第五組的頻率為0.08，∴第一組有50×0.06=3人，第五組有50×0.08=4人，∵樣本中第一組只有一名女生，第五組只有一名男生，∴第一組中有1名女生2名男生，第五組中有3名女生1名男生，現(xiàn)從第一、第五組中各抽取1名學生組成一個實驗組，基本事件總數(shù)n==12，所抽取的2名同學中恰好為一名男生和一名女生，包含的基本事件個數(shù)m==7，∴所求概率為p=．【點評】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意頻率分布直方圖的性質(zhì)和等可能事件概率計算公式的合理運用．19.（本題滿分12分）已知是正項數(shù)列，，且點（）在函數(shù)的圖像上.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若列數(shù)滿足，，求證：.參考答案：（Ⅰ）由已知得，即，又，所以數(shù)列是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列，故.…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，從而.

.………8分因為∴.……………………12分20..設(shè)函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)f(x)有兩個極值點m,n，求證：.參考答案：（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析【分析】（Ⅰ）求導得到，討論，，三種情況得到單調(diào)區(qū)間.（Ⅱ）設(shè)，要證，即證，，設(shè)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到證明.【詳解】（Ⅰ），令，，（1）當，即時，，，在上單調(diào)遞增；

（2）當，即時，設(shè)的兩根為（），，①若，，時，，所以在和上單調(diào)遞增，時，，所以在上單調(diào)遞減，②若，，時，，所以在上單調(diào)遞減，時，，所以在上單調(diào)遞增.綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（Ⅱ）不妨設(shè)，要證，即證，即證，由（Ⅰ）可知，，，可得，，所以有，令，，所以在單調(diào)遞增，所以，因為，所以，所以.【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性，證明不等式，意在考查學生的分類討論能力和計算能力.21.選修4-5：不等式選講已知，.（1）求不等式的解集；（2）若對任意的，，恒成立，求m的取值范圍.參考答案：（1）不等式，即.可得，或或，解得或，所以不等式的解集為.（2）依題意可知，由（1）知，，所以，故得的取值范圍是.

22.（本小題滿分14分）

已知數(shù)列的前項和為，通項滿足（是常數(shù)，且）。

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）當時，證明；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，若對都成立，求正整數(shù)的值。參考答案：解：（Ⅰ）由題意，得

所以…1分

當時，，所以

……………2分

故數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列

所以

……………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時，

所以

………7分（Ⅲ）因為所以