等參數(shù)單元課件

6.1等參元的基本概念等參元的基本思想是：首先導(dǎo)出關(guān)于局部坐標(biāo)系（Localcoordinate,或Naturalcoordinate,自然坐標(biāo)系）的規(guī)整形狀的單元（母單元）的高階位移模式，然后利用形函數(shù)多項(xiàng)式進(jìn)行坐標(biāo)變換，得到關(guān)于整體坐標(biāo)系(Globalcoordinate)的復(fù)雜形狀的單元（子單元），其中子單元的位移函數(shù)插值節(jié)點(diǎn)數(shù)與其位置坐標(biāo)變換的節(jié)點(diǎn)數(shù)相等，位移函數(shù)插值公式與位置坐標(biāo)變換式都采用相同的形函數(shù)與節(jié)點(diǎn)參數(shù)，這樣的單元稱為等參元。

等參數(shù)單元（Isoparametricelements）簡(jiǎn)稱等參元，是根據(jù)特定方法設(shè)定的一大類單元，不一定具有相同的幾何形狀。因?yàn)榈葏⒃哂幸?guī)范的定義原理和較強(qiáng)的適應(yīng)復(fù)雜幾何形狀的能力。在有限元理論中占有重要的地位。采用等參元，一方面能夠很好地適應(yīng)曲線邊界和曲面邊界，準(zhǔn)確地模擬結(jié)構(gòu)形狀；另一方面，等參元一般具有高階位移模式，能夠較好地反映結(jié)構(gòu)的復(fù)雜應(yīng)力分布情況，即使單元網(wǎng)格劃分比較稀疏，也可以得到比較好的計(jì)算精度。6.1等參元的基本概念等參元的基本思想是：首先導(dǎo)出6.1等參元的基本概念

(1)局部坐標(biāo)系下的位移模式根據(jù)形函數(shù)的定義，在局部坐標(biāo)系中，建立起幾何形狀簡(jiǎn)單且規(guī)整稱之為母單元。下面以四邊形單元為例說明等參元的基本概念。母單元是平面中的2×2正方形，坐標(biāo)形函數(shù)定義原點(diǎn)在單位形心上。單元邊界是四條直線：函數(shù)階次相適應(yīng)。對(duì)于具有線性形函數(shù)的四邊形單元，共有四個(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖6-1所示。三個(gè)，如圖6-2。的單元，，如圖6-1所示，為保證用的未知量在相鄰單元之間的連續(xù)性，單元節(jié)點(diǎn)數(shù)目應(yīng)與形如果是二次函數(shù)的四邊形單元，單元每邊的節(jié)點(diǎn)數(shù)為6.1等參元的基本概念(1)局部坐標(biāo)系下的位移模式根據(jù)6.1等參元的基本概念（a）母單元

（b）子單元圖6-1

線性矩形單元及其平面坐標(biāo)變換（a）母單元

（b）子單元圖6-2二次矩形單元6.1等參元的基本概念（a）母單元6.1等參元的基本概念

對(duì)于如圖6-1所示的線性4節(jié)點(diǎn)四邊形等參元（Bilinearelement），它在局部坐標(biāo)系形函數(shù)如下：代入節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值（i=1,2,3,4）(6.1)isoparametric

其中，.該形函數(shù)是定義成自然坐標(biāo)下的歸一化變量的函數(shù)。6.1等參元的基本概念對(duì)于如圖6-1所示的線性4節(jié)點(diǎn)四邊6.1等參元的基本概念對(duì)于8節(jié)點(diǎn)二次四邊單元，角點(diǎn)上的形函數(shù)為

（i=1,2,3,4）(6.2a)

邊中點(diǎn)上的形函數(shù)為（i=5,7）（6.2b）

（i=6,8）（6.2c）

可見，線性四邊形單元和8節(jié)點(diǎn)二次四邊單元用局部坐標(biāo)形函數(shù)表達(dá)的位移模式如下

(6.3)6.1等參元的基本概念對(duì)于8節(jié)點(diǎn)二次四邊單元，角點(diǎn)上的形函6.1等參元的基本概念（2）等參坐標(biāo)變換等參元需要用坐標(biāo)變換把形狀規(guī)整的母單元轉(zhuǎn)換成具有曲線（面）邊界的、形狀復(fù)雜的單元。轉(zhuǎn)換后的單元稱為子單元。子單元在幾何上可以適應(yīng)實(shí)際結(jié)構(gòu)的各種復(fù)雜外形。即可以采用各種形狀復(fù)雜的子單元在整體坐標(biāo)系中對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行劃分。子單元通過坐標(biāo)變換映射成一個(gè)局部坐標(biāo)系下的規(guī)整的母單元。坐標(biāo)變換是指在局部坐標(biāo)和整體坐標(biāo)關(guān)系。在這里，坐標(biāo)變換關(guān)系利用形函數(shù)建立起來。例如，對(duì)于上述4節(jié)點(diǎn)線性四邊形單元，有(6.4a)之間建立一一對(duì)應(yīng)6.1等參元的基本概念（2）等參坐標(biāo)變換等參元需要用坐標(biāo)變6.1等參元的基本概念

(6.4b)對(duì)于上述8節(jié)點(diǎn)二次四邊形單元，有其中，是用局部坐標(biāo)表示的形函數(shù)，是節(jié)點(diǎn)i的整體坐標(biāo)上式即為平面坐標(biāo)變換公式。如圖6-1和圖6-2所示的二維單元的平面坐標(biāo)變換，其中母單元是正方形，子單元變換成曲邊四邊形，且相鄰子單元在公共邊上的整體坐標(biāo)是連續(xù)的，且在公共節(jié)點(diǎn)上具有相同的坐標(biāo)，即相鄰單元是連續(xù)的。（3）兩種坐標(biāo)系的關(guān)系——雅可比矩陣（Jacobianmatrix）

局部坐標(biāo)系和整體坐標(biāo)系之間具有如下偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有

(6.5)6.1等參元的基本概念(6.4b)對(duì)于上述8節(jié)點(diǎn)6.1等參元的基本概念(6.6)上式寫成矩陣形式

其中，J稱為雅可比矩陣（Jacobianmatrix）

將式(6.4)的表達(dá)式代入雅可比矩陣式(6.7)，求得雅可比矩陣。對(duì)于式(7.4a)表示的雙線性四邊形單元，有

(6.7)6.1等參元的基本概念(6.6)上式寫成矩陣形式其中6.1等參元的基本概念所以

(6.9)例6-1：對(duì)一個(gè)四邊形單元，在整體坐標(biāo)系下的4個(gè)節(jié)點(diǎn)（1,2,3,4）的坐標(biāo)分別是(a,b),(c,b),(c,d),(a,d)，求其雅可比矩陣及其逆矩陣。

解：根據(jù)式(6.1)、(6.4a)和式(6.7)可以得到雅可比矩陣各元素(6.8)因?yàn)?/p>

的表達(dá)式為6.1等參元的基本概念所以(6.9)例6-1：對(duì)一個(gè)四邊6.1等參元的基本概念

為4個(gè)節(jié)點(diǎn)在整體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，將各坐標(biāo)值代入得到也可比矩陣，具體為進(jìn)一步，由式(6.8)可求得其逆矩陣為就可以6.1等參元的基本概念為4個(gè)節(jié)點(diǎn)在整體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，將6.2等參元的單元分析以二維二次8節(jié)點(diǎn)單元為例，說明等參元分析的一般原理。8節(jié)點(diǎn)四邊形等參元的位移模式為(6.10)其中，ui和vi是節(jié)點(diǎn)i的位移。采用坐標(biāo)變換使母單元的8個(gè)節(jié)點(diǎn)與等參元的8個(gè)節(jié)點(diǎn)整體坐標(biāo)和局部坐標(biāo)的變換式為yi）一一對(duì)應(yīng)。整體坐標(biāo)(6.11)將上述等參元的位移模式代入彈性力學(xué)平面問題的幾何方程，將會(huì)得到如下形式的、用應(yīng)變矩陣B表示的單元應(yīng)變分量計(jì)算式值（xi,6.2等參元的單元分析以二維二次8節(jié)點(diǎn)單元為例，說明等6.2等參元的單元分析(6.12)為了求得應(yīng)變矩陣B，進(jìn)行如下推導(dǎo)。由于形函數(shù)是局部坐標(biāo)的函數(shù)，需要進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)的變換6.2等參元的單元分析(6.12)為了求得應(yīng)變矩陣B，進(jìn)行6.2等參元的單元分析

(6.13)其元素根據(jù)坐標(biāo)變換式確定，即(6.14)

將單元任一點(diǎn)的應(yīng)變列陣代入平面問題的物理方程，得到單元應(yīng)力列陣。再利用虛功原理，進(jìn)一步推導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃?.2等參元的單元分析(6.13)其元素根據(jù)坐標(biāo)變換式確6.2等參元的單元分析

式中，t為單元厚度。注意上式中的積分限，在整體坐標(biāo)系中的積分相應(yīng)地轉(zhuǎn)化成了局部坐標(biāo)系下的積分，是積分限為-1到+1的定積分。

(6.15)

(6.16)

在等參元分析中，單元外載荷的計(jì)算分析如下。設(shè)外載荷包括信集中載荷、體積力、表面力等，可以寫成如下形式

其中，對(duì)于集中載荷，設(shè)單元任意點(diǎn)c作用有集中載荷，移置到單元有關(guān)節(jié)點(diǎn)上的等效節(jié)點(diǎn)載荷為(6.17)6.2等參元的單元分析式中，t為單元厚度。注意上式中的6.2等參元的單元分析

(6.18)對(duì)于體積力，設(shè)單元上作用的體力為，移置到單元各節(jié)點(diǎn)載荷為對(duì)于表面力，設(shè)單元某邊界上作用的表面力為，則這條邊上的等效載荷為

(6.19)式中,Γ是單元作用有面力的邊界域,ds是邊界域內(nèi)的微段弧長(zhǎng)。在上述分析的基礎(chǔ)上，利用結(jié)構(gòu)中所有等參元的單元?jiǎng)偠染仃嚰山Y(jié)構(gòu)整體剛度矩陣。列寫結(jié)構(gòu)有限元方程、引入約束條件，進(jìn)而進(jìn)行結(jié)構(gòu)整體分析。上的等效三個(gè)節(jié)點(diǎn)6.2等參元的單元分析(6.18)對(duì)于體積力，設(shè)6.3平面三角形單元的等參元?jiǎng)偠染仃噷⒃瓉碓谡w坐標(biāo)系統(tǒng)下的三角形平面單元，通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，可以轉(zhuǎn)換到局部坐標(biāo)系中去,設(shè)在整體坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)分別為，對(duì)應(yīng)到局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為（-1，1）、（-1，-1）、圖6-3三角形單元在整體坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系下的對(duì)應(yīng)變換設(shè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方程式為

（1，-1），如圖6-3所示。6.3平面三角形單元的等參元?jiǎng)偠染仃噷⒃瓉碓谡w坐標(biāo)系統(tǒng)下6.3平面三角形單元的等參元?jiǎng)偠染仃?6.21)將各點(diǎn)坐標(biāo)值帶入上式得到：由上式可解出：(6.22)所以(6.23)

(6.20)6.3平面三角形單元的等參元?jiǎng)偠染仃?6.21)將各點(diǎn)坐標(biāo)6.3平面三角形單元的等參元?jiǎng)偠染仃?6.25)對(duì)于三角形單元，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方程式分別對(duì)與求偏微分有如下代入上式可得：(6.26)平面三角形單元的應(yīng)變能公式可以寫成：(6.27)三角形單元的面積的積分表達(dá)式可以寫成如下形式

(6.24)具體表達(dá)式6.3平面三角形單元的等參元?jiǎng)偠染仃?6.25)對(duì)于三角形6.3平面三角形單元的等參元?jiǎng)偠染仃?6.29)設(shè)位能等于應(yīng)變能與外力功之和，即，由最小勢(shì)能原理,可知上式可寫成：(6.30)其中，即為單元?jiǎng)偠染仃?，如?6.31)式中為節(jié)點(diǎn)位移。將應(yīng)變能U對(duì)求微分得到：(6.28)6.3平面三角形單元的等參元?jiǎng)偠染仃?6.29)設(shè)位能等于6.4矩形等參元單元的有限元分析如圖6-4所示的矩形單元，其邊長(zhǎng)分別為2a和2b，兩邊分別平行于x、y軸。若取該矩形的四個(gè)角點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)位移有兩個(gè)分量，所以矩形單元共有8個(gè)自由度。采用平面三角形單元的分析方法，同樣可以完成對(duì)這種單元的等參數(shù)有限元分析。這里引入一個(gè)局部坐標(biāo)系

、

，可以推出比較簡(jiǎn)潔的結(jié)果。

圖6-4矩形單元(1)坐標(biāo)變換與形函數(shù)在圖中，取矩形單元的形心為局部坐標(biāo)系的原點(diǎn)，

和

軸分別與整體坐標(biāo)軸x和y平行，兩坐標(biāo)系存在有以下的坐標(biāo)變換關(guān)系6.4矩形等參元單元的有限元分析如圖6-4所示的矩6.4矩形等參元單元的有限元分析(6.32)式中(6.33)6.4矩形等參元單元的有限元分析(6.32)式中(6.336.4矩形等參元的有限元分析在局部坐標(biāo)系中，節(jié)點(diǎn)i的坐標(biāo)是(

i,

i)，其值分別為±1。取局部坐標(biāo)系中的位移模式為(6.34)將4個(gè)節(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)值代入上式，可以列出4個(gè)節(jié)點(diǎn)處的位移分量，得到一組關(guān)于8個(gè)未知參數(shù)

1，

2，…，

8的方程組，由此可求得這8個(gè)未知參數(shù)，最終可以得到用形函數(shù)矩陣和節(jié)點(diǎn)位移表示的位移模式方程6.4矩形等參元的有限元分析在局部坐標(biāo)系中，節(jié)點(diǎn)i的坐標(biāo)是6.4矩形等參元的有限元分析(6.35)(6.36)(2)單元?jiǎng)偠染仃囉蓮椥粤W(xué)幾何方程求得單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變分量為

(6.37)6.4矩形等參元的有限元分析(6.35)(6.36)(2)6.4矩形等參單元的有限元分析

(6.38)

將式代入（6.35）得式中

(i=1,2,3,4)

(6.39)

可以得出用節(jié)點(diǎn)位移表示的單元應(yīng)力，即

(6.40)6.4矩形等參單元的有限元分析(6.38)將式代入（66.4矩形等參單元的有限元分析式中

(i=1,2,3,4)

(6.41)對(duì)于平面應(yīng)力問題

(6.42)將單元?jiǎng)偠染仃噷懗煞謮K形式

(6.43)6.4矩形等參單元的有限元分析式中(6.41)對(duì)于平面6.4矩形等參單元的有限元分析其中的子矩陣按下式進(jìn)行計(jì)算

(6.44)設(shè)單元厚度t是常量。上式可以積分出如下顯式表達(dá)式

(i,j=1,2,3,4)

(6.45)對(duì)于平面應(yīng)變問題，將上式中的E、

分別換成E/1-

*

和

/1-

。6.4矩形等參單元的有限元分析其中的子矩陣按下式進(jìn)行計(jì)算6.4矩形等參單元的有限元分析(3)載荷列陣和整體結(jié)構(gòu)有限元方程矩形單元的節(jié)點(diǎn)位移與單元節(jié)點(diǎn)載荷矩陣之間的關(guān)系為

(6.46)由于矩形單元有四個(gè)節(jié)點(diǎn)，所以單元載荷矩陣有8個(gè)元素，即

(6.47)與平面三角形單元相同，將各單元的、

e

和Re

都擴(kuò)充到維數(shù),再進(jìn)行疊加,可得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程

(6.48)即，

Kd=R整體結(jié)構(gòu)自由度的(4)矩形單元的特性6.4矩形等參單元的有限元分析(3)載荷列陣和整體結(jié)構(gòu)有6.4矩形等參單元的有限元分析矩形單元的位移模式比平面三角形單元的線性位移模式增添了

項(xiàng)（相當(dāng)于xy項(xiàng)），這種位移模式稱為雙線性模式。在這種模式下，單元內(nèi)的應(yīng)變分量不是常量，這一點(diǎn)可以從應(yīng)變矩陣B的表達(dá)式中看出。

矩形單元位移模式中的

1、

2、

3、

5、

6、

7與平面三角形單元相同，反映了剛體位移和常應(yīng)變。位移模式在單元的邊界上(

=±1或

=±1)，位移是按線性變化的，顯然，在兩個(gè)相鄰單元的公共邊界上，其位移是連續(xù)的。

但是，矩形單元存在一些明顯的缺點(diǎn)：其一是矩形單元不能適應(yīng)斜交的邊界和曲線邊界，其二是不便于對(duì)不同部位采用不同大小的單元。

20節(jié)點(diǎn)三維等參元的母單元是邊長(zhǎng)為2的20節(jié)點(diǎn)正方體單元，對(duì)應(yīng)的是邊界為曲面和曲邊的六面體子單元，如圖所示。每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有三個(gè)平動(dòng)自由度，6.4矩形等參單元的有限元分析矩形單元的位移模式6.520節(jié)點(diǎn)三維空間等參元的單元?jiǎng)偠染仃嚪治?/p>

圖6-520節(jié)點(diǎn)空間等參元根據(jù)等參元的概念，位移函數(shù)和幾何坐標(biāo)變換式應(yīng)采用相同的形函數(shù)。20節(jié)點(diǎn)三維等參元的位移函數(shù)可表示為

(6.49)6.520節(jié)點(diǎn)三維空間等參元的單元?jiǎng)偠染仃嚪治鰣D6-56.520節(jié)點(diǎn)三維空間等參元的單元?jiǎng)偠染仃嚪治鰧?duì)于單元的20個(gè)節(jié)點(diǎn)分別寫出20個(gè)形函數(shù)，具體表達(dá)式如下

(6.50)式中,

節(jié)點(diǎn)5的坐標(biāo)是（-1，-1，1）等。.ξi，ηi及ζi是節(jié)點(diǎn)i在ξηζ局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。例如，節(jié)點(diǎn)1的局部坐標(biāo)是（-1，-1，-1），6.520節(jié)點(diǎn)三維空間等參元的單元?jiǎng)偠染仃嚪治鰧?duì)于單元的6.520節(jié)點(diǎn)三維空間等參元的單元?jiǎng)偠染仃嚪治龈鶕?jù)彈性力學(xué)幾何方程，可以得到單元應(yīng)變列陣為

(6.52)

(6.51)

坐標(biāo)變換關(guān)系可表示為6.520節(jié)點(diǎn)三維空間等參元的單元?jiǎng)偠染仃嚪治龈鶕?jù)彈性力6.520節(jié)點(diǎn)三維空間等參元的單元?jiǎng)偠染仃嚪治?/p>

(6.53)其中，B是單元的應(yīng)變矩陣，其分塊形式如下6.520節(jié)點(diǎn)三維空間等參元的單元?jiǎng)偠染仃嚪治?6.56.520節(jié)點(diǎn)三維空間等參元的單元?jiǎng)偠染仃嚪治錾鲜街械男魏瘮?shù)Ni是局部坐標(biāo)的函數(shù)。在對(duì)整體坐標(biāo)求導(dǎo)時(shí)，類似于平面問題，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的規(guī)則，有以下用雅可比矩陣表達(dá)的關(guān)系式

(6.54)其中，三維雅可比矩陣J為

(6.55)6.520節(jié)點(diǎn)三維空間等參元的單元?jiǎng)偠染仃嚪治錾鲜街械男?.520節(jié)點(diǎn)三維空間等參元的單元?jiǎng)偠染仃嚪治鍪街忻總€(gè)元素可以分別按如下公式求得

(6.56)

將單元應(yīng)變代入空間問題的物理方程式，得到單元的應(yīng)力

(6.57)式中，S為應(yīng)力矩陣

（i=1,2,…,20）

(6.58)6.520節(jié)點(diǎn)三維空間等參元的單元?jiǎng)偠染仃嚪治鍪街忻總€(gè)元6.520節(jié)點(diǎn)三維空間等參元的單元?jiǎng)偠染仃嚪治鲞M(jìn)而利用虛功原理，推導(dǎo)得到單元?jiǎng)偠染仃嚍?/p>

(6.59)

(6.60)其中在等參元的單元?jiǎng)偠确e分過程中，矩陣中的每個(gè)元素都很復(fù)雜，必須采用數(shù)值積分方法加以完成，如高斯積分法。在這里對(duì)高斯積分法的基本原理進(jìn)行介紹。6.520節(jié)點(diǎn)三維空間等參元的單元?jiǎng)偠染仃嚪治鲞M(jìn)而利用虛6.6高斯積分法簡(jiǎn)介高斯積分法是計(jì)算復(fù)雜的定積分時(shí)通常采用的一種數(shù)值方法。對(duì)于一維定積分問題

(6.61)可以近似的化為加權(quán)為題。所謂數(shù)值積分就是把定積分問題近似地化為加權(quán)求和問題，在積分區(qū)間選定某些點(diǎn)(稱為積分點(diǎn))，求出積分點(diǎn)處的函數(shù)值，然后再乘上與這些積分點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的求積系數(shù)（又稱加權(quán)系數(shù)），再求和，所得的結(jié)果認(rèn)為是被積函數(shù)的近似積分值。這種求積方法表達(dá)如下

(6.62)高斯積分法采用以上這種格式，其中積分點(diǎn)坐標(biāo)及其對(duì)應(yīng)的加權(quán)可以構(gòu)造出二維和系數(shù)Hi如表6-1所示。逐次利用一維高斯求積公式三維高斯求積公式6.6高斯積分法簡(jiǎn)介高斯積分法是計(jì)算復(fù)雜的定積分時(shí)通常6.6高斯積分法簡(jiǎn)介高斯積分的階數(shù)通常根據(jù)等參元的維數(shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù)來選取。例如，平面4節(jié)點(diǎn)等參元可取2階，平面8節(jié)點(diǎn)等參元可取3階，空間8節(jié)點(diǎn)等參元可取2階，而空間20節(jié)點(diǎn)等參元可取3階。表6-1高斯積分法中的積分點(diǎn)坐標(biāo)和加權(quán)系數(shù)積分點(diǎn)坐標(biāo)積分點(diǎn)數(shù)n加權(quán)系數(shù)Hi2±0.57735031.000000030000000±0.774596788888890.55555564±0.8611363±0.339981034785480.652145250.0000000±0.9061798±0.538469356888890.23692690.4786287

(6.63)

(6.64)6.6高斯積分法簡(jiǎn)介高斯積分的階數(shù)通常根據(jù)等參元的維6.7應(yīng)用舉例現(xiàn)有一個(gè)受均勻分布載荷作用的薄板結(jié)構(gòu)，幾何尺寸及受力情況如圖6-6(a)所示，本節(jié)將采用4節(jié)點(diǎn)矩形等參元對(duì)其求解，讀者應(yīng)掌握具體的求解過程。設(shè)該結(jié)構(gòu)的彈性模量E=210Gpa，泊松比板厚度t=0.025m，均布載荷試對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力學(xué)分析。(b)

圖6-6薄板結(jié)構(gòu)力學(xué)模型及有限元模型

6.7應(yīng)用舉例現(xiàn)有一個(gè)受均勻分布載荷作用的薄板結(jié)構(gòu)，幾何6.7應(yīng)用舉例為了方便說明，我們將平板僅僅分解為兩個(gè)單元，6個(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖6-6(b)所示。分布載荷的總作用力平均分給節(jié)點(diǎn)3和節(jié)點(diǎn)6。每個(gè)節(jié)點(diǎn)力為求解過程如下:(1)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化KN節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)見表6-26.7應(yīng)用舉例為了方便說明，我們將平板僅僅分解為兩個(gè)單元6.7應(yīng)用舉例表6-2節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值123456x00.250.500.250.5y0000.250.250.25（2）求解單元的剛度矩陣四節(jié)點(diǎn)四邊形單元的單元?jiǎng)偠染仃嚨谋磉_(dá)式為其中而

6.7應(yīng)用舉例表6-2節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值1236.7應(yīng)用舉例應(yīng)變矩陣中的每一項(xiàng)為

彈性矩陣D為由此可以求得兩個(gè)單元的剛度矩陣，分別為

2.59620.9375-1.5865-0.0721-1.2981-0.93750.28850.07210.93752.59620.07210.2885-0.9375-1.2981-0.0721-1.5865K1=1.0e+006*6.7應(yīng)用舉例應(yīng)變矩陣中的每一項(xiàng)為彈性矩陣D為由此可以6.7應(yīng)用舉例

-1.58650.07212.5962-0.93750.2885-0.0721-1.29810.9375-0.07210.2885-0.93752.59620.0721-1.58650.93750-1.2981-1.2981-0.93750.28850.07212.59620.9375-1.5865-0.07211-0.9375-1.2981-0.0721-1.58650.93752.59620.07210.28850.2885-0.0721-1.29810.9375-1.58650.07212.5962-0.93750.0721-1.58650.9375-1.2981-0.072180.2885-0.93752.5962K2=1.0e+006*2.59620.9375-1.5865-0.0721-1.2981-0.93750.28850.07210.93752.59620.07210.2885-0.9375-1.2981-0.0721-1.5865-1.58650.07212.5962-0.93750.2885-0.0721-1.29810.9375-0.07210.2885-0.93752.59620.0721-1.58650.93750-1.2981-1.2981-0.93750.28850.07212.59620.9375-1.5865-0.07211-0.9375-1.2981-0.0721-1.58650.93752.59620.07210.28850.2885-0.0721-1.29810.9375-1.58650.07212.5962-0.93750.0721-1.58650.9375-1.2981-0.072180.2885-0.93752.59626.7應(yīng)用舉例-1.58650.07216.7應(yīng)用舉例（3）組集整體剛度矩陣?yán)弥苯咏M集法，可以將上述單元組集成整體剛度矩陣，由于共有6個(gè)節(jié)點(diǎn)，整體剛度矩陣是一

個(gè)12X12的方陣，具體值為

K=1.0e+006*2.59620.9375-1.5865-0.0721000.28850.93752.59620.07210.288500-0.0721-1.58650.07215.19230-1.5865-0.0721-1.2981-0.07210.288505.19230.07210.28850.937500-1.58650.07212.5962-0.9375000-0.07210.2885-0.93752.59620Columns1through70.2885-0.0721-1.29810.9375002.59620.0721-1.58650.9375-1.298100-0.9375-1.2981-0.93750.