湖北省高中名校聯(lián)盟2024屆高三上學期第一次聯(lián)合測評數(shù)學試題含解析

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數(shù)學

本試卷共4頁，22題。滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

★祝考試順利★

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，用簽字筆或鋼筆將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合，，則（）

A.B.C.D.

2.已知復數(shù)z滿足，則（）

A.B.C.D.

3.從長度為2，4，6，8，10的5條線段中任取3條，則這3條線段能構(gòu)成一個三角形的概率是（）

A.B.C.D.

4.設(shè)命題p：若數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，則點必在一次函數(shù)圖象上；命題q：若正項數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，則點必在指數(shù)函數(shù)圖象上.下列說法正確的是（）

A.p、q均為真命題B.p、q均為假命題C.p真q假D.p假q真

5.某人從A地到B地，乘火車、輪船、飛機的概率分別為0.3，0.3，0.4，乘火車遲到的概率為0.2，乘輪船遲到的概率為0.3，乘飛機遲到的概率為0.4，則這個人從A地到B地遲到的概率是（）

A.0.16B.0.31C.0.4D.0.32

6.已知把物體放在空氣中冷卻時，若物體原來的溫度是，空氣的溫度是，則后物體的溫度滿足公式（其中k是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù)）.某天小明同學將溫度是的牛奶放在空氣中，冷卻后牛奶的溫度是，則下列說法正確的是（）

A.B.

C.牛奶的溫度降至還需D.牛奶的溫度降至還需

7.已知，分別是橢圓（）的左，右焦點，M，N是橢圓C上兩點，且，，則橢圓C的離心率為（）

A.B.C.D.

8.記，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）

A.B.C.D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知一組樣本數(shù)據(jù)，，…，（）均為正數(shù)，且.，若由生成一組新的數(shù)據(jù)，，…，，則這組新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的（）可能相等.

A.極差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.標準差

10.已知O為拋物線的頂點，直線l交拋物線于M，N兩點，過點M，N分別向準線作垂線，垂足分別為P，Q，則下列說法正確的是（）

A.若直線l過焦點F，則N，O，P三點不共線

B.若直線l過焦點F，則

C.若直線l過焦點F，則拋物線C在M，N處的兩條切線的交點在某定直線上

D.若，則直線l恒過點

11.已知正四面體的棱長為2，下列說法正確的是（）

A.正四面體的外接球表面積為

B.正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和為定值

C.正四面體的相鄰兩個面所成二面角的正弦值為

D.正四面體在正四面體的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動，則正四面體的體積最大值為

12.若是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，且對任意，，都有，則下列說法正確的是（）

A.一定為正數(shù)B.2是的一個周期

C.若，則D.若在上單調(diào)遞增，則

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.的展開式中的系數(shù)是______.

14.已知的兩條直角邊分別為3，4，以斜邊所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體體積是______.

15.小王準備在單位附近的某小區(qū)買房，若小王看中的高層住宅總共有n層（，），設(shè)第1層的“環(huán)境滿意度”為1，且第k層（，）比第層的“環(huán)境滿意度”多出；又已知小王有“恐高癥”，設(shè)第1層的“高層恐懼度”為1，且第k層（，）比第層的“高層恐懼度”高出倍.在上述條件下，若第k層“環(huán)境滿意度”與“高層恐懼度”分別為，，記小王對第k層“購買滿意度”為，且，則小王最想買第______層住宅.

（參考公式及數(shù)據(jù)：，，，）

16.已知，，過x軸上一點P分別作兩圓的切線，切點分別是M，N，當取到最小值時，點P坐標為______.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)是偶函數(shù)，求實數(shù)m的值；

（Ⅱ）若，使得.成立，求實數(shù)m的取值范圍.

18.（12分）

西梅以“梅”為名，實際上不是梅子，而是李子，中文正規(guī)名叫“歐洲李”，素有“奇跡水果”的美譽.因此，每批西梅進入市場之前，會對其進行檢測，現(xiàn)隨機抽取了10箱西梅，其中有4箱測定為一等品.

（Ⅰ）現(xiàn)從這10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；

（Ⅱ）以這10箱的檢測結(jié)果來估計這一批西梅的情況，若從這一批西梅中隨機抽取3箱，記表示抽到一等品的箱數(shù)，求的分布列和期望.

19.（12分）

如圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面均為矩形，，，，.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值.

20.（12分）

已知數(shù)列滿足，

（Ⅰ）判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則，請說明理由；

（Ⅱ）若數(shù)列的前10項和為361，記，數(shù)列的前n項和為，求證：.

21.（12分）

已知雙曲線與直線有唯一的公共點M.

（Ⅰ）若點在直線l上，求直線l的方程；

（Ⅱ）過點M且與直線l垂直的直線分別交x軸于，y軸于兩點.是否存在定點G，H，使得M在雙曲線上運動時，動點使得為定值.

22.（12分）

已知函數(shù).

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若兩個不相等的正實數(shù)a，b滿足，求證：；

（Ⅲ）若，求證：.

湖北省高中名校聯(lián)盟2024屆高三上學期第一次聯(lián)合測評

數(shù)學試卷參考答案與評分細則

題號123456789101112

答案ABACBDCDBCBCDABDBCD

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.A【解析】由，，得.故選A.

2.B【解析】，故選B.

3.A【解析】從5條線段中任取3條，可能的情況有：，，，，，，，，，共有10種可能，其中，能構(gòu)成三角形的只有，，共3種可能，所以，能構(gòu)成三角形的概率為.選A.

4.C【解析】若數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，則，故點必在一次函數(shù)圖像上，故p真；若，則數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，不恒在指數(shù)函數(shù)圖像上，故q假.故C正確.

5.B【解析】設(shè)事件A表示“乘火車”，事件B表示“乘輪船”，事件C表示“乘飛機”，事件D表示“遲到”，則，，，，，，，由全概率公式得：.選B.

6.D【解析】由條件及公式，得，故，AB錯誤；又由，，得，故牛奶的溫度從降至需，從降至還需.故選D.

7.C【解析】連接，設(shè)，則，，

在中

，，

，

在中，，

，又，，故選C.

8.D【解析】設(shè)，則在R上單調(diào)遞增，故，即；設(shè)，，則，

在.單調(diào)遞減，故，即；綜上得，，故D正確.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.BC【解析】極差分別為和，，，故A錯誤；由知，當時，平均數(shù)相等，故B正確；當時，中位數(shù)分別為與，同理可知當時，中位數(shù)相等，當時，中位數(shù)分別為與，同理可知當時，中位數(shù)相等，故C正確；由.，知，，標準差不可能相等，故D錯誤.綜上，選BC.

10.BCD【解析】設(shè)直線，聯(lián)立方程，得

設(shè)，，則

選項A若直線l過焦點F，則

，，

又

，，三點共線，A錯

選項B由拋物線的定義和平行線的性質(zhì)知：

，

又，，所以B對；

選項C拋物線C在點M處的切線為

拋物線C在點N處的切線為，聯(lián)立得

解得：

拋物線在點M，N處的切線的交點在定直線上，所以C對

選項D因為，，

將韋達定理代入得：

所以直線l恒過點，所以D對

11.ABD【解析】A.棱長為2的正四面體的外接球與棱長為的正方體的外接球半徑相同，設(shè)為R，則：，所以，所以A對

B.設(shè)四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離分別為，，，，設(shè)四面體的高為

d，由等體積法可得：，所以為定值.所以B對

C.設(shè)中點為D，連接，，則為求，，所以正弦值為，所以C錯

D.要使正四面體在四面體的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動，則正四面體的外接球在四面體內(nèi)切球內(nèi)部，當正四面體的外接球恰好為四面體內(nèi)切球時，正四面體的體積最大值，由于正四面體的外接球與內(nèi)切球半徑之比為，所以正四面體的外接球半徑為，設(shè)正四面體為a，則，所以，故體積，所以D對

因此：正確答案為ABD

12.BCD【解析】因為符合條件，故A.錯誤；因為偶函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，故B正確；因為對任意，，都有，所以對任意，取得；若，即，故，由2是的周期得，故C正確；假設(shè)，由及，，得，，故.這與在.上單調(diào)遞增矛盾，故D正確.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.-40【解析】，所以的系數(shù)為

14.【解析】由勾股定理知斜邊為5，斜邊上的高為，該幾何體為兩個同底面的圓錐，底面半徑為，兩個圓錐的高之和為5，所以該幾何體體積為

15.10

【解析】依題意，，且，；，所以

.

【注】利用，（）求解更易.

，故小王對第k層住宅的購買滿意度.

【方法一】由.即解得，所以同理有，小王最想購買第10層住宅.

【方法二】設(shè)，，則故時單調(diào)遞增；時單調(diào)遞減.由于，故最大，小王最想購買第10層住宅.

16.【解析】設(shè)

則，

取，

則

此時，直線：

令，則，

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.【解析】（Ⅰ）由函數(shù)是偶函數(shù)知，.

故，即，

化簡得，恒成立.

故，實數(shù)m的值為1.

（Ⅱ）若，使得，則，

即，能成立.

于是，，

由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，得

故實數(shù)m的取值范圍為.

【方法二】若，使得，則，

即，能成立.

于是，，，

由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，得

解得，故實數(shù)m的取值范圍為.

18.【解析】（1）設(shè)抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品為事件，

則；因此，從這10箱中任取3箱，恰好有1箱是一等品的概率為，

（2）由題意可知，從這10箱中隨機抽取1箱恰好是一等品的概率，

由題可知的所有可能取值為0，1，2，3，則

，，

，，

所以的分布列為

0123

P

.

19.（Ⅰ）證明：四邊形和四邊形均為矩形，

，

又平面

平面，

，.

（Ⅱ）設(shè)，

，

，，

過C點作垂直交于點M，由（1）可知平面，

平面

，

平面，設(shè)與平面所成的角為，

又，

平面，到平面的距離等于3

在平行四邊形中，

，

，

與平面所成角的正弦值，

20.【解析】（Ⅰ）數(shù)列成等比數(shù)列.

根據(jù)得；

，，，即數(shù)列成等比數(shù)列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，

故

由，得.

顯然，，單調(diào)遞增，且，

故，，.

，，

當時，

綜上，知.

21.【解析】（1）聯(lián)立，則

又點在直線上，所以：，

時，，則：

所以：，即，則

當時，；所以：直線l的方程：

（Ⅱ）聯(lián)立，則，

因為，M是雙曲線與直線的唯一公共點，

所以，化簡得，

解得點M的坐標為，即為

于是，過點M且與l垂直的直線為，

可得，，，

即，，

于是

即P的軌跡方程為：

所以存在定點，，使得當點M運動時，為定值13

22.【解析】（Ⅰ）函數(shù)的定義域是.

由，得在上單調(diào)遞減；

由，得在上單調(diào)遞增，

綜上知，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得在的值域為，

在上的值域為.注意到，.

不妨設(shè)則欲證，即證.

由于由（Ⅰ）得在上單調(diào)遞增，

故只需證，

由已知，即證，也即

【方法一】令，.

，

由，在單調(diào)遞增，得

單調(diào)遞增且.

由于，故滿足.

由單調(diào)遞增知：

當時，.單調(diào)遞減，值域為；

當時，單調(diào)遞增，值域為；

設(shè)，，則，單調(diào)遞減，

故，即，

取，得