4圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題(教師版)

第四講圓錐曲線中得定點(diǎn)定值問題一、直線恒過定點(diǎn)問題例1、已知動點(diǎn)在直線上,過點(diǎn)分別作曲線得切線, 切點(diǎn)為、,求證:直線恒過一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)得坐標(biāo);解:設(shè),x2 1過點(diǎn)A的拋物線切線方程為y--=—x(x—x)，:切線過E點(diǎn)整理得：\o"CurrentDocument"4 21 1同理可得：\o"CurrentDocument"/.x,x是方程x2-2ax-8=0的兩根/.x+x=2a,x-x=—8，又12 1 2 12,、例2、已知點(diǎn)就是橢圓上任意一點(diǎn)，直線得方程為， 直線過P點(diǎn)與直線垂直，點(diǎn)M(-1,0)關(guān)于直線得對稱點(diǎn)為N,直線PN恒過一定點(diǎn)G,求點(diǎn)G得坐標(biāo)、解：直線得方程為,即設(shè)關(guān)于直線得對稱點(diǎn)得坐標(biāo)為則,解得直線得斜率為從而直線得方程為：即從而直線恒過定點(diǎn)二、恒為定值問題例3、已知橢圓兩焦點(diǎn)、在軸上,短軸長為,離心率為,就是橢圓在第一 象限弧上一點(diǎn),且,過P作關(guān)于直線F1P對稱得兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)。(1)求P點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求證直線AB得斜率為定值；解：(1)設(shè)橢圓方程為,由題意可得,所以橢圓得方程為則,設(shè)

則點(diǎn)在曲線上,則從而,得,則點(diǎn)得坐標(biāo)為。(2)由(1)知軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù)，設(shè)PB斜率為，則PB得直線方程為：由得設(shè)則同理可得,則所以直線AB得斜率為定值、例4、已知動直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),已知點(diǎn),求證:為定值。解:將代入中得,,所以、課后作業(yè):1、在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓、如圖所示,斜率為且不 過原點(diǎn)得直線交橢圓于,兩點(diǎn),線段得中點(diǎn)為,射線交橢圓于點(diǎn),交直線于點(diǎn)、(I)求得最小值；(II)若?，求證:直線過定點(diǎn)；解：(1)由題意:設(shè)直線，由消y得:，設(shè)A、B,AB得中點(diǎn)E,則由韋達(dá)定理得：=,即,,所以中點(diǎn)E得坐標(biāo)為，因?yàn)镺、E、0三點(diǎn)在同一直線上，所以,即,解得,所以=,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號， 即得最小值為2。(II)證明：由題意知:n〉0,因?yàn)橹本€OD得方程為，所以由得交點(diǎn)G得縱坐標(biāo)為，又因?yàn)?，，?，所以，又由(I)知：，所以解得,所以直線得方程為，即有，令得,y=0,與實(shí)數(shù)k無關(guān)，所以直線過定點(diǎn)(—1,0)、2、 已知點(diǎn)為曲線上得一點(diǎn),若,就是否存在垂直軸得直線 被以為直徑得圓截得得弦長恒為定值?若存在,求出直線得方程;若不存在, 請說明理由。解:設(shè)得中點(diǎn)為,垂直于軸得直線方程為,以為直徑得圓交于兩點(diǎn),得中點(diǎn)為、所以,令,則對任意滿足條件得,都有（與無關(guān)）,即為定值、已知拋物線6=酎的焦點(diǎn)為F，A、E是拋物線上的兩動點(diǎn)，且萬=人而。>。），過A、E兩點(diǎn)分別作拋物級的切級，設(shè)其交點(diǎn)為M.（I）證明前一石為定值；（n）設(shè)色AEM的面積為S,寫出S=f（7.）的恚達(dá)式，并求S的最小值，革若；解：門）設(shè)A ，0），B丘二，y.，HS/yJ，隹直F（□，口，準(zhǔn)手方程為1-L，顯總必料率存在且過F（Q，1）力地官線方程為t=&k+］，聯(lián)立q?=/消去，用：2二qkK-q=ci，一■式占=利〔小+口>o.Z1+l2=4fc?芭13c2=-4于是曲紙dy二工？上任意一臣制軍為了'二:，則易得切緣LN，EM方程分別.為JT二￡；）（：x-K1）十yjy=t；】工2（ ）+y-■*其中4丫.=、4q兀=9;，聯(lián)立方程易解得交點(diǎn)M坐標(biāo)，W『上二Xsk，九=芋=-1，印劉44^，-□從而，兩'二t三*'7、，7s［工廠工.，y;-T-JFA/ （e--H￡z）<h2-z.}-2（7--7-3=方門「kJJ-31j〔n「k［巧］=0■（定值）命巽得證.速就浪用AE_LFIL（口》由<I）物在△研N中,FNXABn因而5=^|AB||FH|.,；方=%而{入>吐-￡］■1一了1）二k‘童■:，7-一!■），即，-.二%1-g=此々-4而■1丁.=h.'，dy-=H則k，=7，Max，,,工「：r7 1?=戶力因?yàn)閨即|、|BF分別等于。、E到拋糖姨難就y=-L的痘若，所以于是出網(wǎng)［FM|］印《〕"且當(dāng)k=j時，5取徨最小值■1-：2(Hd-東莞二橫)如圖?已知朝國二：(a>b>D)的離心率為,，以楠國匚的左頂點(diǎn)T為國。作回I：:(r>0)-設(shè)同I與腌同。交于點(diǎn)N與點(diǎn)H.L1求橢圓匚的方程：：2J京R??云的最小值，并求此時回I的方程；：3)設(shè)點(diǎn)P是鞘圖。上異于H，H的任理一點(diǎn)，目亙蛾MF，KF■分別與H軸交于卓氏,斗0為縷標(biāo)原點(diǎn)，求證：強(qiáng),I彘I為定值--解：tl)依用意I自好?，€二^?二￥，-"1c=j31b-J4-3=1?故插測匚的方程為2t>L=k…《3分》4'；2：'方也一：點(diǎn)H與點(diǎn)N關(guān)于苴軸對郡，世N(k1■?了/!Hf啊!!一〃，，不妨設(shè)%>口,由于點(diǎn)M在鞘回二上，斯心」二1一乜

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