2017-2021年北京高考數(shù)學(xué)真題分類匯編之排列組合與概率統(tǒng)計(jì)

2017-2021年北京高考數(shù)學(xué)真題分類匯編之排列組合與概率統(tǒng)計(jì)

一.選擇題（共1小題）

1.（2020?北京）在（?-2）5的展開(kāi)式中，*的系數(shù)為（）

A.-5B.5C.-10D.10

二.填空題（共1小題）

2.（2021?北京）在（/-」-）4的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是.（用數(shù)字作答）

X

三.解答題（共8小題）

3.（2021?北京）在核酸檢測(cè)中，'“合1"混采核酸檢測(cè)是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一

起進(jìn)行1次檢測(cè)，如果這上個(gè)人都沒(méi)有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的

檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束；如果這A個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，

此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè)，得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束.

現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確.

（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢

測(cè).

（i）如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù)：

（ii）已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為」一.設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù)，求X

11

的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.

（II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè).設(shè)

y是檢測(cè)的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望EY與（I）中EX的大小.（結(jié)論不要求證明）

4.（2020?北京）某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案；方案一、

方案二.為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如

表:

男生女生

支持不支持支持不支持

方案一200人400人300人100人

方案二350人250人150人250人

假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.

（I）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；

（II）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2

人支持方案一的概率；

（山）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為po.假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300

名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為0.試比較po與0的

大小.（結(jié)論不要求證明）

5.（2019?北京）改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來(lái)，移動(dòng)支付已成

為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A,8兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全

校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中

僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

（元）(0,1000](1000,2000]大于2000

支付嬴j7-

僅使用A18人9人3人

僅使用B10人14人1人

（I）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A,8兩種支付方式都使用的概率;

（II）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月

支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（III）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，

隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本

僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由.

6.（2019?北京）改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來(lái)，移動(dòng)支付已成

為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全

校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的

有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

不大于2000元大于2000元

支付嬴J'''''

僅使用A27人3人

僅使用B24人1人

（I）估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月4,B兩種支付方式都使用的人數(shù)；

（II）從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的

概率；

（III）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化.現(xiàn)從樣本僅使用8的學(xué)生中隨

機(jī)抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元.結(jié)合（II）的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅

使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由.

7.（2018?北京）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表:

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類

電影部數(shù)14050300200800510

好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1

好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立.

（I）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的

概率；

（II）從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率；

（III）假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等.用“&=1”

表示第％類電影得到人們喜歡a=0”表示第k類電影沒(méi)有得到人們喜歡（4=1，2,3,

4,5,6）.寫出方差。小，比2,優(yōu)3，a4,優(yōu)5,。孑6的大小關(guān)系.

8.（2018?北京）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類

電影部數(shù)14050300200800510

好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1

好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

（1）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的

概率；

（II）隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒(méi)有獲得好評(píng)的概率；

（III）電影公司為增加投資回報(bào)，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率發(fā)

生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評(píng)率增加

0.1,哪類電影的好評(píng)率減少0.1,使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比

值達(dá)到最大？（只需寫出結(jié)論）

9.（2017?北京）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一

組服藥，另一組不服藥.一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制

成如圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.

（1）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；

（2）從圖中A,B,C,。四人中隨機(jī)選出兩人，記彳為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于

1.7的人數(shù)，求《的分布列和數(shù)學(xué)期望E（9；

（3）試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)），數(shù)據(jù)的方差的大

小.（只需寫出結(jié)論）

t指標(biāo)y

指標(biāo)x

10.（2017?北京）某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用

分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：［20,

（I）從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；

（II）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50）內(nèi)的

人數(shù)；

(Ill)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相

等.試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例.

2017-2021年北京高考數(shù)學(xué)真題分類匯編之排列組合與概率統(tǒng)計(jì)

參考答案與試題解析

選擇題（共1小題）

1.（2020?北京）在（y^-2）5的展開(kāi)式中，X2的系數(shù)為（）

A.-5B.5C.-10D.10

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)據(jù)分析.

【分析】在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的事指數(shù)等于2,求出r的值，即可求得7

的系數(shù).

5-r

【解答】解：（?-2）5的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為小嚴(yán)仁晨-2）

令------=2,求得r=l,可得小的系數(shù)為C1"-2）=-10,

25

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，

屬于基礎(chǔ)題.

二.填空題（共1小題）

2.（2021?北京）在（/-」-）4的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是-4.（用數(shù)字作答）

X

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】計(jì)算題.

1r

【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式7ki=C,Yx3）4’.（——）即可求得展開(kāi)式中的

4X

常數(shù)項(xiàng).

141,

【解答】解：設(shè)也3——）展開(kāi)式的通項(xiàng)為則7M=（/?（/）"'?（——）=

X4X

（_I）c"2-4展

U4

令12-4r=0得廠=3.

，展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為：(-1)3.。3=-4.

故答案為：-4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，利用通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)是關(guān)鍵，屬于中檔題.

三.解答題(共8小題)

3.(2021?北京)在核酸檢測(cè)中，“k合1”混采核酸檢測(cè)是指：先將2個(gè)人的樣本混合在一

起進(jìn)行1次檢測(cè)，如果這k個(gè)人都沒(méi)有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的

檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束；如果這女個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，

此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè)，得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束.

現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確.

(I)將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢

測(cè).

(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù)：

(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為」設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù)，求X

11

的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.

(n)將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè).設(shè)

y是檢測(cè)的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望EY與(I)中EX的大小.(結(jié)論不要求證明)

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(I)(i)若采用“10合1檢測(cè)法”，每組檢查一次，共10次；又兩名患者在

同一組，需要再檢查10次，即可得出結(jié)論.

(ii)由題意可得：X=20,30.由已知可得：P(X=20),進(jìn)而得出尸(X=30)

11

及其分布列與數(shù)學(xué)期望.

(II)E(X)<E(y).

【解答】解：(I)(i)若采用“10合1檢測(cè)法”，每組檢查一次，共10次；

又兩名患者在同一組，需要再檢查10次，

因此一共需要檢查20次.

(ii)由題意可得：X=20,30.

、110

P(X=2O)=----P(X=3O)=——.

1111

可得分布列:

X2030

P110

1111

/、110320

E(X)=20x—+30X一=----.

111111

(II)由題意可得：Y=25,30.

C2Cgg495

P(y=25)=20X—：_-=——，p(y=30)=——

C’9999

100

可得分布列:

Y2530

P495

9999

4紋理>密=當(dāng)

E(r)=25x---+30x

9999999911

E(X)<E(r).

另解：設(shè)“10合1”混采核酸檢測(cè)兩名感染患者在同一組的概率為m，“5合I”混采核

酸檢測(cè)兩名感染患者在同一組的概率為P2,則pi>p2，

此時(shí)有E(X)=20m+30(1-pi)=30-10/71；

而E(丫)=25/72+30(1-p2)=30-5/22>30-5pi>30-10pi=E(X),

：.E(X)<E(K).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬

于中檔題.

4.(2020?北京)某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案；方案一、

方案二.為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如

表：

男生女生

支持不支持支持不支持

方案一200人400人300人100人

方案二350人250人150人250人

假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.

(1)分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；

(II)從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2

人支持方案一的概率；

(HI)將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為po.假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300

名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為p\.試比較po與pi的

大小.(結(jié)論不要求證明)

【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

【專題】分類討論；數(shù)學(xué)模型法；分類法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)根據(jù)古典概型的概率公式直接求解即可；

(II)結(jié)合(I)及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率直接求解即可；

(III)直接寫出結(jié)論即可.

【解答】解：(I)設(shè)“該校男生支持方案一”為事件4“該校女生支持方案一”為事

件B,

20013003

則P(A)=---------=—,P(B)=------------=—；

200+4003300+1004

1Q

(H)由(I)知，P(A)=—,P(B)=—，

34

設(shè)“這3人中恰有2人支持方案一”為事件C,

E2123111313

則P(C)=C：(一)-(1—一)+c?一?(1一一)?一=一；

234233436

(HI)po>pi.理由如下:

350+1501

Pr=-----------------------=一，設(shè)該校總?cè)藬?shù)為4,則該校支持方案二的人數(shù)

0350+250+150+2502

約為二~a，

2

3507

由表可知，男生支持方案二的概率為Pm=-----------=——,女生支持方案二的概

男350+25012

女150+2508

rjQ

所以一年級(jí)支持方案二的人數(shù)約為500義」一F300X—?404.

128

故除一年級(jí)外其他年級(jí)支持方案二的概率為

—a—404

2a-808a—8001

p.---------=--------------------------=——=n.?

1a-8002（a-800）2（a-800）20

【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率求法，考查計(jì)算能力及推理

能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2019?北京）改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來(lái)，移動(dòng)支付已成

為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全

校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,8兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中

僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

（元）(0,1000](1000,2000]大于2000

支付京17

僅使用A18人9人3人

僅使用810人14人1人

（I）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月4B兩種支付方式都使用的概率;

（II）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月

支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（III）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，

隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本

僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)：數(shù)據(jù)分析.

【分析】（1）從全校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取的100人中，A,B兩種支付方式都不使用的

有5人，僅使用A的有30人，僅使用8的有25人，從而A,B兩種支付方式都使用的

人數(shù)有40人，由此能求出從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A,8兩種支

付方式都使用的概率.

（H）記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額都大

于2000元”，求出尸（E）=―-—,

4060

答案示例1：可以認(rèn)為有變化.P（E）比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生，一

旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額發(fā)生了變化，可以認(rèn)為有變化.

答案示例2：無(wú)法確定有沒(méi)有變化.事件E是隨機(jī)事件，P（E）比較小，一般不容易發(fā)

生，但還是有可能發(fā)生，無(wú)法確定有沒(méi)有變化.

【解答】解：（I）由題意得：

從全校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取的100人中，

A，B兩種支付方式都不使用的有5人，

僅使用A的有30人，僅使用B的有25人,

.?.A,B兩種支付方式都使用的人數(shù)有：100-5-30-25=40,

...從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率p=

100

（II）從樣本僅使用A和僅使用8的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月

支付金額大于1000元的人數(shù)，

則X的可能取值為0,1,2,

樣本僅使用A的學(xué)生有30人，其中支付金額在（0,1000］的有18人，超過(guò)1000元的有

12人，

樣本僅使用8的學(xué)生有25人，其中支付金額在（0,1000］的有10人，超過(guò)1000元的有

15人，

1806

302575025

13

P(X=l)=——X——X

3025302575025

P(X=2)=——x—=------=—

302575025

.?.X的分布列為：

X012

P6136

252525

61QA

數(shù)學(xué)期望E(X)=oX—+1X——+2X—=1.

252525

（III）記事件E為“從樣本僅使用4的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，

他們本月的支付金額都大于2000元”，

假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額額大于2000元的人數(shù)沒(méi)有變化，

則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得P（E）=-=——,

C34060

30

答案示例1：可以認(rèn)為有變化，理由如下：

P（￡）比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生，

一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額發(fā)生了變化，

可以認(rèn)為有變化.

答案示例2：無(wú)法確定有沒(méi)有變化，理由如下：

事件E是隨機(jī)事件，P（E）比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生，

,無(wú)法確定有沒(méi)有變化.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查古典概型、

相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，是中檔題.

6.（2019?北京）改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來(lái)，移動(dòng)支付已成

為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全

校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,8兩種支付方式都不使用的

有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

不大于2000元大于2000元

支付慈J'''

僅使用A27人3人

僅使用B24人1人

（I）估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A,8兩種支付方式都使用的人數(shù)；

（II）從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的

概率；

（III）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化.現(xiàn)從樣本僅使用8的學(xué)生中隨

機(jī)抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元.結(jié)合（II）的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅

使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；古典概型及其概率計(jì)算公式.

【專題】計(jì)算題；方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析1（I）從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取的100人中，A,8兩種支付方式都

不使用的有5人，僅使用A的有30人，僅使用B的有25人，求出A,B兩種支付方式

都使用的人數(shù)有40人，由此能估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的人數(shù).

（II）從樣本僅使用B的學(xué)生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的

有1人，從中隨機(jī)抽取1人，基本事件總數(shù)〃=25,該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元

包含的基本事件個(gè)數(shù)加=1,由此能求出該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的概率.（IH）

從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元的概率為

―，雖然概率較小，但發(fā)生的可能性為二--不能認(rèn)為樣本僅使用3的學(xué)生中本月支付

2525

金額大于2000元的人數(shù)有變化.

【解答】解：（I）由題意得：

從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取的100人中，

A,B兩種支付方式都不使用的有5人，

僅使用A的有30人，僅使用B的有25人，

.?.A,3兩種支付方式都使用的人數(shù)有：100-5-30-25=40,

40

.??估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A，8兩種支付方式都使用的人數(shù)為：1000X——=400人.

100

（H）從樣本僅使用8的學(xué)生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的

有1人，

從中隨機(jī)抽取1人，基本事件總數(shù)〃=25,

該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元包含的基本事件個(gè)數(shù)，〃=1,

該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的概率=—.

n25

（III）不能認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化，

理由如下：

上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化.

現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，

發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元的概率為1

25

雖然概率較小，但發(fā)生的可能性為」一.

25

故不能認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻數(shù)、概率的求法，考查頻數(shù)分布表、概率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能

力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2018?北京）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表:

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類

電影部數(shù)14050300200800510

好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1

好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立.

（I）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的

概率；

（II）從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率；

（III）假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等.用“梟=1”

表示第&類電影得到人們喜歡.“&=0”表示第k類電影沒(méi)有得到人們喜歡儀=1,2,3,

4,5,6）.寫出方差。H，優(yōu)2,4?,45,4G，的大小關(guān)系.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；古典概型及其概率計(jì)算公式.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】（I）先求出總數(shù)，再求出第四類電影中獲得好評(píng)的電影的部數(shù)，利用古典概型

概率計(jì)算公式直接求解.

（II）法一：設(shè)事件8表示“從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，恰有1部

獲得好評(píng)”，第四類獲得好評(píng)的有50部，第五類獲得好評(píng)的有160部，由此能求出從第

四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率.

法二：設(shè)事件A“從第四類電影中隨機(jī)選1部獲得好評(píng)”，P（A）=0.25,事件8"從第

五類電影中隨機(jī)選1部獲得好評(píng)"，P（B）=0.2,從第四類和第五類中各選1部，恰有1

部獲得好評(píng)，P（"ABUAB）=P（工口）+P（A石），由此能求出結(jié)果.

0,第k類電影沒(méi)有得到人們喜歡

（III）由題意知，定義隨機(jī)變量如下：則q

1,第k類電影得到人們直歡

服從兩點(diǎn)分布，分別求出六類電影的分布列及方差由此能寫出方差。a，

的,。厲的大小關(guān)系.

【解答】解：（I）設(shè)事件A表示“從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影

是獲得好評(píng)的第四類電影”，

總的電影部數(shù)為140+50+300+200+800+510=2000部，

第四類電影中獲得好評(píng)的電影有：200X0.25=50部，

,從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的頻率

為：

、50

P（A）=------=0.025.

2000

（II）解法一：設(shè)事件B表示“從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，恰有1

部獲得好評(píng)”，

第四類獲得好評(píng)的有：200X0.25=50部，

第五類獲得好評(píng)的有：800X0.2=160部，

則從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率：

/、50X（800-160）+（200-50）X160

P(B)==0.35.

200X800

解法二：由表格可知：

設(shè)事件A“從第四類電影中隨機(jī)選1部獲得好評(píng)”，

P(A)=0.25,

事件B“從第五類電影中隨機(jī)選1部獲得好評(píng)”，

P(8)=0.2,

???從第四類和第五類中各選1部，恰有1部獲得好評(píng),

P<ABUAB)=P<

=P(N)P(B)+P(A)P(圓

=0.75X0.2+0.25X0.8

=0.35.

(Ill)由題意知，定義隨機(jī)變量如下：

(0,第k類電影沒(méi)有得到人們喜歡

[1,第k類電影得到人們直歡

則凌服從兩點(diǎn)分布，則六類電影的分布列及方差計(jì)算如下:

第一類電影：

410

P0.40.6

E(^i)=1X04+0X0.6=0.4,

。(日)=(1-0.4)2x0.4+(0-0.4)2x0.6=0.24.

第二類電影：

10

P0.20.8

E(0)=lX0.2+0X0.8=0.2,

D⑶)=(1-0.2)2X0.2+(0-0.2)2X0.8=0.16.

第三類電影：

310

P0.150.85

E(口)=1X0.15+0X0.85=0.15,

D(區(qū))=(1-0.15)2義0.15+(0-0.15)2x0.85=0.1275.

第四類電影：

10

P0.250.75

E(1)=1X0.25+0X0.75=0.25,

D(5)=(1-0.25)2X0.25+(0-0.25)2X0.75=0.1875.

第五類電影：

:510

P0.20.8

E⑸=lX0.2+0X0.8=0.2,

D(.5)=(1-0.2)2x0.2+(0-0.2)2x0.8=0.16.

第六類電影：

10

P0.10.9

E06)=1XO.1+OXO.9=O.1,

D熊5)=(1-0.1)2X0.1+(0-0.1)2X0.9=0.09.

二方差。日，。&,Dfy,。國(guó)，。孑5,的大小關(guān)系為：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法，考查古典概型、兩

點(diǎn)分布等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

8.(2018?北京)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類

電影部數(shù)14050300200800510

好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1

好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

(I)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的

概率；

(II)隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒(méi)有獲得好評(píng)的概率；

（Ill）電影公司為增加投資回報(bào)，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率發(fā)

生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評(píng)率增加

0.1,哪類電影的好評(píng)率減少0.1,使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比

值達(dá)到最大？（只需寫出結(jié)論）

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式.

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】（I）先求出總數(shù)，即可求出答案，

（II）根據(jù)互斥事件的概率公式計(jì)算即可，

（III）由題意可得，增加電影部數(shù)多的，減少部數(shù)少的，即可得到.

【解答】解：（I）總的電影部數(shù)為140+50+300+200+800+510=2000部，

獲得好評(píng)的第四類電影200X0.25=50,

故從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率

50=1

200040,

（II）獲得好評(píng)的電影部數(shù)為140X0.4+50X0.2+300X0.15+200X0.25+800X0.2+510X

0.1=372,

估計(jì)這部電影沒(méi)有獲得好評(píng)的概率為1--1^=0.814,

2000

（III）故只要第五類電影的好評(píng)率增加01，第二類電影的好評(píng)率減少0.1,則使得獲得

好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用頻率來(lái)估計(jì)概率，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2017?北京）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一

組服藥，另一組不服藥.一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制

成如圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.

（1）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；

（2）從圖中A,B,C,。四人中隨機(jī)選出兩人，記《為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于

1.7的人數(shù)，求t的分布列和數(shù)學(xué)期望E解）；

（3）試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)），數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)），數(shù)據(jù)的方差的大

小.（只需寫出結(jié)論）

t指標(biāo)y

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列.

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】（1）由圖求出在50名服藥患者中，有15名患者指標(biāo)y的值小于60,由此能求

出從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，此人指標(biāo)小于60的概率.

（2）由圖知：A、C兩人指標(biāo)x的值大于1.7,而B(niǎo)、。兩人則小于1.7,可知在四人中

隨機(jī)選項(xiàng)出的2人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)？的可能取值為0,1,2,分別求出相應(yīng)

的概率，由此能求出S的分布列和E（《）.

（3）由圖知100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差比未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大.

【解答】解：（1）由圖知：在50名服藥患者中，有15名患者指標(biāo)y的值小于60,

答：從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，此人指標(biāo)小于60的概率為：

153

P——.

5010

（2）由圖知：A、C兩人指標(biāo)x的值大于1.7,而8、。兩人則小于1.7,

可知在四人中隨機(jī)選項(xiàng)出的2人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)f的可能取值為0,1,2,

P（日）

3

P(g=2)j_=2

C\6

的分布列如下:

g012

P121

636

121

答：E⑴-oxFIX-|-2X—=1.

636

(3)答：由圖知100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差比未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差等基礎(chǔ)

知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與

轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

10.(2017?北京)某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用

分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：［20,

30),［30,40),…，［80,90］,并整理得到如下頻率分布直方圖：

頻率

組距,

0.04----------------------------r-

0.02-------------------------------------

0.01--------------------r-=l

O__210—301—401—501_60>708090分?jǐn)?shù)

(I)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；

(II)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的

人數(shù)；

(JH)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相

等.試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例.

【考點(diǎn)】頻率分布直方圖；古典概型及其概率計(jì)算公式.

【專題】計(jì)算題；圖表型；概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】(I)根據(jù)頻率=組距X高，可得分?jǐn)?shù)小于70的概率為：1-(0.04+0.02)X10；

(II)先計(jì)算樣本中分?jǐn)?shù)小于40的頻率，進(jìn)而計(jì)算分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的頻率，可

估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的人數(shù)；

(III)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相

等.進(jìn)而得到答案.

【解答】解：(I)由頻率分布直方圖知：分?jǐn)?shù)小于70的頻率為：1-(0.04+0.02)X10

=0.4

故從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率為0.4；

(II)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有