2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)重點(diǎn)題型全歸納 2.1認(rèn)識(shí)一元二次方程【過關(guān)練習(xí)】含解析

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2.1認(rèn)識(shí)一元二次方程【過關(guān)練習(xí)】

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.會(huì)根據(jù)具體問題列出一元二次方程。通過“花邊有多寬”，“梯子的底端滑動(dòng)多少米”等問題的分析，列出方程，體會(huì)方程的模型思想，培養(yǎng)把文字?jǐn)⑹龅膯栴}轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力。

2.通過分析方程的特點(diǎn)，抽象出一元二次方程的概念，培養(yǎng)歸納分析的能力。

3.會(huì)說出一元二次方程的一般形式，會(huì)把方程化為一般形式。

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)

重點(diǎn):一元二次方程的概念

難點(diǎn):如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程

一．選擇題

1．將一元二次方程化成一般形式時(shí)，它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為

A．2，，1B．2，，C．，3，D．，，1

2．若方程的兩根也是方程的根，則的值為

A．B．C．6D．0

3．方程的一般形式是

A．B．C．D．

4．若是方程的一個(gè)根，則的值為

A．B．C．3D．

5．下列方程中，是一元二次方程的是

A．B．C．D．

6．若是關(guān)于的一元二次方程的根，則的值為

A．2B．4C．D．

7．若是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值是

A．B．2C．或2D．與2

8．下列方程是關(guān)于的一元二次方程的是

A．B．C．D．

9．已知下面三個(gè)關(guān)于的一元二次方程，，恰好有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，則的值為

A．0B．1C．3D．不確定

10．已知3是關(guān)于的方程的一個(gè)解，則的值是

A．11B．12C．13D．14

二．填空題

11．若方程是關(guān)于的一元二次方程，則的值為．

12．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程是一元二次方程．

13．已知是方程的根，則．

14．已知是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，則的值為．

15．已知為一元二次方程的一個(gè)根，且，為有理數(shù)，則，．

16．方程的二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是．

17．若是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)解，則的值是．

18．若關(guān)于的一元二次方程是一元二次方程，則．

三．解答題

19．已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，求的值．

20．已知是方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．

21．定義：如果關(guān)于的一元二次方程中常數(shù)項(xiàng)是該方程的一個(gè)根，則該一元二次方程就叫做常數(shù)根一元二次方程．

（1）已知關(guān)于的方程是常數(shù)根一元二次方程，則的值為；

（2）如果關(guān)于的方程是常數(shù)根一元二次方程，求的值．

22．已知關(guān)于的方程的常數(shù)項(xiàng)為0，

（1）求的值；

（2）求方程的解．

23．已知關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是1，且、滿足，求關(guān)于的方程的根．

24．試說明關(guān)于的方程無(wú)論取何值，該方程都是一元二次方程．

25．已知是關(guān)于的多項(xiàng)式，記為．

我們規(guī)定：的導(dǎo)出多項(xiàng)式為，記為．

例如：若，則的導(dǎo)出多項(xiàng)式．

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）若，則；

（2）若，求關(guān)于的方程的解；

（3）已知是關(guān)于的二次多項(xiàng)式，為的導(dǎo)出多項(xiàng)式，若關(guān)于的方程的解為整數(shù)，求正整數(shù)的值．

26．已知是方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．

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2.1認(rèn)識(shí)一元二次方程【過關(guān)練習(xí)】

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.會(huì)根據(jù)具體問題列出一元二次方程。通過“花邊有多寬”，“梯子的底端滑動(dòng)多少米”等問題的分析，列出方程，體會(huì)方程的模型思想，培養(yǎng)把文字?jǐn)⑹龅膯栴}轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力。

2.通過分析方程的特點(diǎn)，抽象出一元二次方程的概念，培養(yǎng)歸納分析的能力。

3.會(huì)說出一元二次方程的一般形式，會(huì)把方程化為一般形式。

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)

重點(diǎn):一元二次方程的概念

難點(diǎn):如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程

一．選擇題

1．將一元二次方程化成一般形式時(shí)，它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為

A．2，，1B．2，，C．，3，D．，，1

【答案】

【分析】一元二次方程的一般形式是：，，是常數(shù)且特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中叫二次項(xiàng)，叫一次項(xiàng)，是常數(shù)項(xiàng)．其中，，分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．

【解答】解：化成一元二次方程一般形式是，

它的二次項(xiàng)系數(shù)是2，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是．

故選：．

2．若方程的兩根也是方程的根，則的值為

A．B．C．6D．0

【分析】設(shè)是方程的一個(gè)根．根據(jù)方程解的意義知，既滿足方程，也滿足方程，將代入這兩個(gè)方程，并整理，得．從而可知：方程的兩根也是方程的根，

這兩個(gè)方程實(shí)質(zhì)上應(yīng)該是同一個(gè)一元二次方程，然后根據(jù)同一個(gè)一元二次方程的定義找出相對(duì)應(yīng)的系數(shù)間的關(guān)系即可．

【解答】解：設(shè)是方程的一個(gè)根，則，所以．

由題意，也是方程的根，所以，

把代入此式，得，整理得．

從而可知：方程的兩根也是方程的根，

這兩個(gè)方程實(shí)質(zhì)上應(yīng)該是同一個(gè)一元二次方程，

從而有（其中為常數(shù)），

所以，．

因此，．

故選：．

3．方程的一般形式是

A．B．C．D．

【分析】一元二次方程的一般形式：，是常數(shù)）．根據(jù)一元二次方程的一般形式解答：先去括號(hào)，然后移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)．

【解答】解：由原方程，得

，

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得

，即；

化簡(jiǎn)得：

故選：．

4．若是方程的一個(gè)根，則的值為

A．B．C．3D．

【分析】將代入得到關(guān)于的方程，解之可得．

【解答】解：根據(jù)題意，將代入，得：，

解得：，

故選：．

5．下列方程中，是一元二次方程的是

A．B．C．D．

【答案】

【分析】只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．

【解答】解：．等號(hào)左邊是分式，不屬于一元二次方程，不符合題意；

．化簡(jiǎn)以后不含二次項(xiàng)，不屬于二元二次方程，不符合題意；

．是一元二次方程，符合題意；

．含有兩個(gè)未知數(shù)，不符合題意．

故選：．

6．若是關(guān)于的一元二次方程的根，則的值為

A．2B．4C．D．

【答案】

【分析】將代入方程后得到，根據(jù)，求出，可得結(jié)論．

【解答】解：把代入方程得，．

又，

方程兩邊同除以得，，

，

．

故選：．

7．若是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值是

A．B．2C．或2D．與2

【答案】

【分析】根據(jù)方程的解的定義，是方程的解，則的值一定適合方程，將代入方程中，然后利用整體思想即可求出代數(shù)式的值．

【解答】解：把代入方程，

可得：，

．

故選：．

8．下列方程是關(guān)于的一元二次方程的是

A．B．C．D．

【答案】

【分析】利用一元二次方程的定義，逐一分析四個(gè)選項(xiàng)中的方程，即可得出結(jié)論．

【解答】解：．當(dāng)時(shí)，原方程為一元一次方程，選項(xiàng)不符合題意；

．方程是分式方程，選項(xiàng)不符合題意；

．是一元一次方程，選項(xiàng)不符合題意；

．是一元二次方程，選項(xiàng)符合題意．

故選：．

9．已知下面三個(gè)關(guān)于的一元二次方程，，恰好有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，則的值為

A．0B．1C．3D．不確定

【分析】把代入3個(gè)方程得出，，，3個(gè)方程相加即可得出，即可求出答案．

【解答】解：把代入，，得：

，，，

相加得：，

，

，

，

故選：．

10．已知3是關(guān)于的方程的一個(gè)解，則的值是

A．11B．12C．13D．14

【答案】

【分析】根據(jù)方程解的定義，將代入方程，得到關(guān)于的方程，再根據(jù)等式的基本性質(zhì)，對(duì)等式進(jìn)行變形，即可得出答案．

【解答】解：是方程的解，

，

整理，得．

故選：．

二．填空題

11．若方程是關(guān)于的一元二次方程，則的值為．

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義求解，未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0，由這兩個(gè)條件得到相應(yīng)的關(guān)系式，再求解即可．

【解答】解：由題意，得

，且，

解得，

故答案為：．

12．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程是一元二次方程．

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得到：且．由此求得的值．

【解答】解：關(guān)于的方程是一元二次方程，

且．

解得．

故答案為：．

13．已知是方程的根，則2023．

【答案】2023．

【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到，即，把代入原式，化簡(jiǎn)得，再通分得到原式，然后再把代入化簡(jiǎn)即可．

【解答】解：是方程的根，

，

，

．

故答案為：2023．

14．已知是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，則的值為1．

【分析】把代入方程求出，把化成代入求出即可．

【解答】解：把代入方程得：，

，

．

故答案為：1．

15．已知為一元二次方程的一個(gè)根，且，為有理數(shù)，則2，．

【答案】2，．

【分析】可得，代入得到，則，可得方程組，解方程組即可求解．

【解答】解：因?yàn)椋?/p>

代入得，

則，

可得方程組，

解得．

故答案為：2，．

16．方程的二次項(xiàng)系數(shù)是2，一次項(xiàng)系數(shù)是．

【分析】先化成一元二次方程的一般系數(shù)，再找出系數(shù)即可．

【解答】解：，

，

二次項(xiàng)系數(shù)為2，一次項(xiàng)系數(shù)為7，

故答案為：2，7．

17．若是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)解，則的值是2．

【答案】2．

【分析】根據(jù)是已知方程的解，將代入方程即可求出的值．

【解答】解：將代入方程得：，

解得：．

故答案為：2．

18．若關(guān)于的一元二次方程是一元二次方程，則2．

【分析】一元二次方程的一般形式是：，，是常數(shù)且特別要注意的條件．

【解答】解：因?yàn)槭顷P(guān)于的一元二次方程，這個(gè)方程一定有一個(gè)二次項(xiàng)，則一定是此二次項(xiàng)．

所以得到，解得．

三．解答題

19．已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，求的值．

【分析】把代入方程可得到關(guān)于的方程，可求得，然后整體代入求值．

【解答】解：是關(guān)于的方程的一個(gè)根，

．

．

．

20．已知是方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．

【分析】根據(jù)方程解的定義，把代入得出關(guān)于的方程，求得的值，再代入即可得出答案．

【解答】解：是方程的一個(gè)根，

．

．

．

或

解：是方程的一個(gè)根，

．

．

解方程得．

把代入得得．

21．定義：如果關(guān)于的一元二次方程中常數(shù)項(xiàng)是該方程的一個(gè)根，則該一元二次方程就叫做常數(shù)根一元二次方程．

（1）已知關(guān)于的方程是常數(shù)根一元二次方程，則的值為0或；

（2）如果關(guān)于的方程是常數(shù)根一元二次方程，求的值．

【答案】（1）0或；

（2）或．

【分析】（1）根據(jù)常數(shù)根一元二次方程的定義，把代入方程，解關(guān)于的方程即可；

（2）根據(jù)常數(shù)根一元二次方程的定義，把代入方程，解關(guān)于的方程即可．

【解答】解：（1）關(guān)于的方程是常數(shù)根一元二次方程，

方程的一個(gè)根為，

代入方程得，，

解得或；

故答案為：0或；

（2）關(guān)于的方程是常數(shù)根一元二次方程，

方程的一個(gè)根為，

代入方程得，，

整理得，，

解得或．

22．已知關(guān)于的方程的常數(shù)項(xiàng)為0，

（1）求的值；

（2）求方程的解．

【分析】（1）首先利用關(guān)于的方程的常數(shù)項(xiàng)為0得出，進(jìn)而得出即可；

（2）分別將的值代入原式求出即可．

【解答】解：（1）關(guān)于的方程的常數(shù)項(xiàng)為0，

，

解得：，，

的值為1或2；

（2）當(dāng)時(shí)，，

解得．

當(dāng)時(shí)，代入得出：

，

，

解得：，．

23．已知關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是1，且、滿足，求關(guān)于的方程的根．

【分析】首先根據(jù)、滿足的關(guān)系式，求出、的值，然后解出，最后解的方程．

【解答】解：，滿足，

，，

，

把代入，

得，

一元二次方程的一個(gè)根是1，

，又，，

，

關(guān)于的方程，

解得，．

24．試說明關(guān)于的方程無(wú)論取何值，該方程都是一元二次方程．

【分析】只要證明二次項(xiàng)系數(shù)不為零即可．

【解答】解：

又，

，

關(guān)于的方程無(wú)論取何值，該方程都是一元二次方程．

25．已知是關(guān)于的多項(xiàng)式，記為．

我們規(guī)定：的導(dǎo)出多項(xiàng)式為，記為．

例如：若，則的導(dǎo)出多項(xiàng)式．

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）若，則；

（2）若，求關(guān)于的方程的解；

（3）已知是關(guān)于的二次多項(xiàng)式，為的導(dǎo)出多項(xiàng)式，若關(guān)于的方程的解為整數(shù)，求正整數(shù)的值．

【答案】（1）；

（2）；

（3）1，3．

【分析】（1）利用題目已知的規(guī)定：的導(dǎo)出多項(xiàng)式為，記為，即可解答；

（2）根據(jù)題目已知的規(guī)定，求出導(dǎo)出的多項(xiàng)式，進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）根據(jù)題目已知的規(guī)