流體力學第七章

流體力學第七章課件1第1頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動§7-1無旋流動的速度勢一、速度勢的定義及其確定它是使uxdx+uydy+uzdz成為某一函數(shù)全微分的充要條件，我們把函數(shù)稱為速度勢。這里t為參變數(shù)。必有若是無旋運動，ω=0，在直角坐標系中必有

2第2頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動上述說明了只要求得一個速度勢便可確定三個速度分量，速度勢與速度的這種關系在柱坐標系與球坐標中可類似地得到，分別為又故則

由此說明了無旋必有勢，反之可證有勢必無旋。

3第3頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動還可證明，ψ對于任意方向l的方向導數(shù)等于該方向的分速，即證：由高等數(shù)學知識其中，是該方向的單位矢量；α為

與梯度的夾角；ul為速度在方向的分量。4第4頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動順便可得到標量函數(shù)(不限于速度勢ψ)的全微分與方向導數(shù)及梯度的關系：顯然，已知速度分布要確定速度勢，可直接根據(jù)速度勢的定義求得。在直角坐標系中利用斯托克斯定理可證：對于無旋運動，在單連通區(qū)域中(域內沒有奇點)上述線積分與積分路徑無關。積分時可取一條簡便的路徑，例如圖。5第5頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動連續(xù)性微分方程，在直角坐標中為若是無旋勢流，可將代入得對于不可壓縮流體，上式成為或寫成即為拉普拉斯(Laplace)方程，它是一個二階線性偏微分方程。為拉普拉斯算子。6第6頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動

滿足拉普拉斯方程的函數(shù)在數(shù)學上稱為調和函數(shù)。由此可見，對于不可壓縮流體的無旋流動，問題歸結于求解在給定邊界條件與初始條件下的拉普拉斯方程，即確定調和函數(shù)ψ(x，y，z，t)。對于平面流動，uz=0，上式成為求解速度勢ψ的邊界條件為(1)在無窮遠處，或當(2)在固壁上流體不能滲入亦不能脫離，故有即

這種邊界條件下求解拉普拉斯方程的邊值問題稱為諾埃曼(Neumen)問題，又叫第二類邊值問題。對于非定常流動，還需利用初始條件。7第7頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動二、速度勢與速度環(huán)量的關系對于無旋勢流，有式中終點A'與始點A重合。顯然，對于單連通區(qū)域，ψ是坐標的單值函數(shù)，則Γ=0；而對于多連通區(qū)域，ψ是坐標點的多值函數(shù)，則?！?。8第8頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動§7-2平面流動的流函數(shù)一、流函數(shù)的定義及其確定求解不可壓縮流體平面勢流問題，除了通過確定速度勢ψ的途徑以外，還可通過確定流函數(shù)的途徑。對于不可壓縮流體的平面流動，由連續(xù)性微分方程，在直角坐標系中為即它是使-uydx+uxdy成為某一函數(shù)Ψ(x，y，t)的全微分的充要條件，則有9第9頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動故

Ψ(x，y，t)就稱為不可壓縮流體平面流動的流函數(shù)，是拉格朗日(J.L.Lagrange)首先于1781年引入的。類似地可證：在極坐標中由此可見，只要求出一個流函數(shù)，便可確定兩個速度分量。無論是無旋流還是有旋流，理想流體還是粘性流體，定常流還是非定常流，不可壓縮流體的平面流動總是存在流函數(shù)。但是，空間三元流動一般不存在流函數(shù)，僅軸對稱流動除外(見§7-13)。10第10頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動不可壓縮流體平面流動流函數(shù)的確定。顯然由于平面流動滿足連續(xù)性微分方程式(7-13)，它是上述線積分與路徑無關的充要條件，因此線積分時可取一條簡便的路徑。此外，若將式(7-14)代入式(7-13)可發(fā)現(xiàn)，引入流函數(shù)后連續(xù)性微分方程必自動滿足。若是不可壓縮流體平面無旋流，ω=0，存在將式(7-14)代入上式后得即11第11頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動說明了不可壓縮流體平面無旋流動的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，即流函數(shù)亦是調和函數(shù)。求解流函數(shù)時還需利用邊界條件:(1)在無窮遠處(2)在固壁上Ψ=常量，即固壁是一條流線(見下面流函數(shù)的基本性質1)。通常取固壁上Ψ=0，即固壁作為零流線。

這種求解拉普拉斯方程的邊值問題稱為狄利克雷(Dirichlet)問題，又叫做第一類邊值問題。對于非定常流動，還需利用初始條件。二、流函數(shù)的基本性質1.等流函數(shù)線為流線因為即為流線方程。12第12頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動2.對于不可壓縮流體的平面流動，任意兩點流函數(shù)之差等于通過這兩點任意連線的流量。證考察通過任意一條曲線AB(z方向為單位長度)的流量(圖)。對于通過微元矢量的流量則通過A、B兩點的任意連線AB的流量13第13頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動由于引入流函數(shù)后自動滿足不可壓縮流體平面流動的連續(xù)性微分方程(7-13)，所以上述線積分與積分路徑無關。顯然，若AB曲線是一條流線，則ΨA=ΨB，QAB=0。若AB曲線是一條任意的封閉曲線，A、B兩點重合，令此時的B點記為A'，則對于所在的單連通區(qū)域(域內沒有點源、點匯或可膨脹、壓縮的內邊界時)，Ψ為坐標點的單值函數(shù)，否則，如在水下爆炸或有氣泡運動的問題中，所研究的是多連通區(qū)域，Ψ為坐標點的多值函數(shù)，則式中Q0為通過內邊界的總流量。14第14頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動3.等流函數(shù)線(流線)與等勢線正交這是因為說明流函數(shù)的梯度與速度勢的梯度(即速度)正交，故分別與它們垂直的等流函數(shù)線(即流線)與等勢線正交。根據(jù)這一性質，流線族與等勢線族組成正交網(wǎng)格，稱為流網(wǎng)。在工程上，可利用繪制流網(wǎng)的方法圖解確定平面勢流的速度場。15第15頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動例.不可壓縮流體流場的流函數(shù)Ψ=ax2-ay2，問：(1)流動是無旋還是有旋？(2)若無旋，確定流動的速度勢。解：(1)因故是無旋流。(2)積分于是16第16頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動故則17第17頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動§7-3勢流疊加原理與奇點法對于復雜勢流，邊界條件與初始條件往往比較復雜，要直接用解析法求解拉普拉斯方程通常十分困難，所以一般利用幾個簡單的基本勢流的疊加得到復雜勢流的解。由于這些基本勢流在數(shù)學上往往存在奇點，因而勢流疊加一般是奇點的疊加，故勢流疊加法又稱為奇點(疊加)法。這種方法的基本思想是利用湊合法，適當設置幾個奇點，使疊加后得到一條符合物體邊界形狀的流線。18第18頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動勢流遵守疊加原理，即幾個基本勢流疊加后仍為勢流，這是勢流的又一個特點?，F(xiàn)證明如下:設將n個基本勢流的速度勢疊加，得不可壓縮流體無旋流動的速度勢滿足拉普拉斯方程:由于拉普拉斯方程是線性的，因而疊加后的速度勢仍滿足拉普拉斯方程，即同理，對于不可壓縮平面流動，若有因為平面無旋勢流滿足所以19第19頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動由于速度勢及流函數(shù)具有上述可疊加性，因而速度亦具有可疊加性:因為所以即同理則20第20頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動§7-4基本平面勢流工程上流體平行流過薄平板或平行于平面壁的理想流體流動就是平行直線流(如圖)。一、平行直線流平行直線流的速度場為是定常無旋流。速度勢21第21頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動上面積分設x=y=0時ψ=0，故積分常數(shù)為零。等勢線為是一族平行直線(圖中虛線)流函數(shù)積分中同樣設x=y=0時Ψ=0(零流線)，故積分常數(shù)亦為零。流線為為一族與等勢線正交的平行直線(圖中實數(shù))。顯然，對于平行直線流中的任一閉合曲線，通過的流量環(huán)繞的速度環(huán)量22第22頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動壓強場：由定常無旋流動的伯努利方程，因u=u∞=常量，故由此可見，當z=常量或可忽略重力影響時二、平面點源(或點匯)工程上單井的滲流可視為平面點源（或點匯）。擴散（或收縮）槽道中理想流體的流動亦可近似地當作平面點源（點匯）流動。若點源（或點匯）置于坐標原點，則可用極坐標方便地表示速度場，為是定常無旋的徑向直線流。23第23頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動由連續(xù)性方程，對于單位厚度(z=1)的流場式中流量Q稱為點源(或點匯)的強度。當Q為正值時是點源，當Q為負值時為點匯。上式說明了ur與r的關系曲線為雙曲線。隨著r的增大，ur成反比地減小。當r=0時，ur=±∞(正號相應于點源，負號相應于點匯)，所以點源(或點匯)是奇點。在直角坐標系中24第24頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動速度勢上式中設r=1時，ψ=0，故積分常數(shù)仍可取為零。顯然，等勢線為一族以原點為心的同心圓(r=c)。確定流函數(shù)。因故上式中亦取積分常數(shù)為零。顯然，流線為一族經(jīng)原點的放射線(θ=C)?？梢?，流線與等勢線相互垂直。25第25頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動對于包圍點源(或點匯)的任一閉合曲線，域內是雙連通區(qū)域，通過的流量而閉合曲線中扣去原點(點源或點匯)后化成了單連通區(qū)域，則通過的流量但對于任何閉合曲線，因ψ是單值函數(shù)，故環(huán)繞的速度環(huán)量為以下討論壓強分布。由定常無旋流的伯努利方程，在同一水平面(z=c)或可忽略重力影響時26第26頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動除了原點(奇點)以外，上式在全流場都適用。設r→∞時p=p∞，相應地ur=0，故C=p∞/ρ得壓強分布如圖所示，為二次曲線，p隨著r減小而減小。p=0時存在r0，此時相應的，27第27頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動若平面點源(或點匯)在任一點(x0，y0)，如圖所示，則速度或勢函數(shù)與流函數(shù)分別為與28第28頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動三、平面點渦自然界中龍卷風渦核以外的流動是平面點渦運動的典型例子。工業(yè)中離心式噴油嘴、除塵器及旋風燃燒室中的流動亦與平面點渦有關。平面點渦運動又稱為渦流或純環(huán)流，它是定常無旋的圓周運動。若強度為Γ的平面點渦置于坐標原點，則在極坐標中速度場為

uθ方向與Γ方向相同，以逆時針為正。顯然渦點(r=0)為奇點。實際上只有渦點是有旋的，而流場中其它各點都是無旋的。29第29頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動在直角坐標系中速度勢顯然，等勢線為一族經(jīng)過坐標原點的射線(θ=C)。流函數(shù)說明了流線是一族以原點為中心的同心圓，即與等勢線正交。30第30頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動對于包圍點渦的任一閉合曲線(是雙連通區(qū)域)，環(huán)繞的速度環(huán)量而扣除該奇點后化成單連通區(qū)域，此時但對于任何閉合曲線，Ψ都是坐標點的單值函數(shù)，故通過它的流量31第31頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動壓強分布如下:由定常無旋運動的伯努利方程，在同一水平面上或不考慮重力影響時利用邊界條件：r→∞時，p=p∞，uθ=0得得形式上類似于平面點源(或點匯)的壓強場。壓強分布見圖。32第32頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動設圖中r=r0時p=0，故得實際上在自然界或工業(yè)中，往往存在一半徑為的渦核(通常稱為強制渦)，正是由于渦核以等速度ω像剛體那樣旋轉(是有旋運動)及流體的粘性才帶動渦核外流體作無旋的圓周運動(稱為自由渦)類似于平面點源(或點匯)，平面點渦在任一位置(x0，y0)時33第33頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動四、平面點源與點匯的疊加、平面偶極子1.平面點源與點匯的疊加若將位于A(-a，0)點、強度為Q的點源于與位于B(a，0)點等強度的點匯疊加(圖)，疊加后某點p(x，y)的速度勢34第34頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動流函數(shù)顯然，流線是圓周角為θp跨源、匯兩點的圓線族(θp=C)。等勢線方程為展開化簡并配方得這是與流線正交的圓線族，但不一定通過A、B兩點。35第35頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動2.偶極子若點源與點匯無限接近，2a→0，且強度Q→∞，這樣得到的源、匯疊加的無旋流稱為偶極流，這樣一對源匯稱為偶極子，此時原點叫作偶極點。通常規(guī)定以匯指向源的方向為偶極子的正方向。此外，定義為偶極矩，它體現(xiàn)了偶極子的強度。偶極子方向指向x軸正方向時M為正，否則為負。36第36頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動※從圖中可知，當A點和B點向原點O無限接近時，rA－rB≈2acosθA，而且當2a→0，Q→∞時，rA

→rB

→r，θA→θB→θ，又由于當ε為無窮小時，可以略去高階項，得ln（1+ε）≈ε

。等勢線為整理配方得所以等勢線為圓心在x軸上、圓周與y軸相切的圓線族(圖中虛線)。37第37頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動流函數(shù)流線為整理配方得因此流線是圓心在y軸上、圓周與x軸相切的圓線族(圖中實線)。可見，流線與等勢線正交。38第38頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動※在圖中，BC為從B點向AP所作的垂線，則又當2a→0，α→0，sinα→α，所以rα=2asinθ，代入式39第39頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動速度場為由此可見，r→0時ψ→∞，Ψ→∞，ur、uθ、u→∞，故偶極子亦是一奇點。偶極流的壓強場為40第40頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動§7-5一些基本平面勢流疊加的例子設在坐標原點有強度為Q的平面點源，與速度為u∞、且平行于x軸、方向自左向右的平行直線流動疊加，疊加后的速度勢一、平行直線流與平面點源的疊加流函數(shù)因而流線方程為41第41頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動流線族如圖所示。各點速度為現(xiàn)在確定駐點(滯止點)A的位置及通過駐點的流線。由uy=0得θ=π(從流線圖可見，θ=0之點在物理上不存在)；再由ux=0得求過駐點A的流線：利用42第42頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動當θ=π時代入上式得或當r→∞時θ→0，所以過駐點的流線之寬度過駐點A的流線將流場分為兩部分：由平行直線流形成的這部分流動在上述過駐點A的流線之外，而由平面點源產(chǎn)生的那部分流動在這條流線內部。點源的作用是將來流“撐開”，這一作用和一個物體的頭部相當?，F(xiàn)在可以把這條過駐點的流線視為物體表面，只需考察物體外部的繞流。這就是所謂寬為B的平面半體(無限長柱體)繞流。當然，亦可把止述理想流體流動的別的一條合適流線看成物體表面，比作風流過一山麓或海水流過凸起海底的情形。43第43頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動二、平面點匯與點渦的疊加——螺旋流離心式水泵或風機中的流動就是這種流動。設平面點匯與點渦都置于坐標原點，并假定Γ為逆時針方向，則速度勢流函數(shù)令Ψ=常量，得故它是一族對數(shù)螺旋線(圖)44第44頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動類似地可得等勢線為流速場為故利用定常無旋流動的伯努利方程可確定壓強場：式中p0是相應于r=r0點的已知壓強(如邊界上的壓強)。45第45頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動例.在x軸上的兩點A與B(x=±a)各有強度為Q的平面點源(圖)，(1)試確定流場中的速度勢與流函數(shù);(2)畫出流線圖，并證明x=0是一條可視為圖壁的流線。解：(1)(2)流線方程為即46第46頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動化簡得對于不同的C1可畫出不同的流線，如圖所示。當x=0時C1=0相應地Ψ=C=0故x=0是一條可視為固壁的零流線。從上例可見，單個平面點源(A)以一垂直固壁為界的流動解可用在其對稱位置(B)再虛設另一等強度的點源與其疊加得到。這種方法稱為鏡像法(或映像法)。鏡像法在工程上有一定的應用，例如，受垂直巖壁影響的水井或油井(作為點匯)的滲流解就可利用這一方法得到。47第47頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動§7-6

平行直線流繞圓柱體的無環(huán)量流動將平行直線流與方向相反的偶極子疊加便可得到平行直線流繞圓柱體的無環(huán)量流動。平行直線流繞圓柱體流動的求解在理論上與工程上有十分重要的意義。例如，它是求解機翼葉型與葉柵理論的基礎。若將沿x軸正方向、速度為u∞的平行于直線流和位于坐標原點、偶極矩為M的反向偶極子疊加，則速度勢為流函數(shù)流線方程是不同C值的流線如圖所示。48第48頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動現(xiàn)考察Ψ=C=0的(零)流線：滿足上述方程的解為θ=0與θ=π及即由此可見，零流線是x軸及以坐標原點為圓心、半徑R=的圓周。該圓周可視為平行直線流繞流的圓柱體邊界。該圓周內的流動無實際意義。利用上式得相應的偶極矩應為49第49頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動將上述M值代入式(7-50)、(7-51)得由此可確定速度場它滿足無窮遠處的邊界條件：r→∞時50第50頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章不可壓縮理想流體的無旋運動顯然，包圍圓柱體表面的速度環(huán)量再分析圓柱體表面上的速度分布：r=R時這說明：流體在圓柱面上各點的速度都是沿切線方向的，也就是說理想流體繞圓柱體無環(huán)量的平面流動不會與圓柱面發(fā)生分離?？梢姡菨M足理想流體流動時流體不能進入或脫離物體表面的邊界條件；此外，圓柱體表面上的速度分布是一