流體力學(xué)中的三大基本方程

流體力學(xué)中的三大基本方程第1頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1連續(xù)性微分方程

理論依據(jù)：質(zhì)量守恒定律在微元體中的應(yīng)用數(shù)學(xué)描述：

[單位時(shí)間流出的質(zhì)量]-[單位時(shí)間流入的質(zhì)量]+[單位時(shí)間質(zhì)量的累積or增量]=0第2頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

假定流體連續(xù)地充滿(mǎn)整個(gè)流場(chǎng)，從中任取出以點(diǎn)為中心的微小六面體空間作為控制體如右圖。控制體的邊長(zhǎng)為dx，dy，dz，分別平行于直角坐標(biāo)軸x，公式推導(dǎo)：（1）單位時(shí)間內(nèi)流入、流出微元體流體總質(zhì)量變化第3頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

y，z。設(shè)控制體中心點(diǎn)處流速的三個(gè)分量為,液體密度為。將各流速分量按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并略去高階微量，可得到該時(shí)刻通過(guò)控制體六個(gè)表面中心點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度。例如：通過(guò)控制體前表面中心點(diǎn)M的質(zhì)點(diǎn)在x方向的分速度為通過(guò)控制體后表面中心點(diǎn)N的質(zhì)點(diǎn)在x方向的分速度為

第4頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因所取控制體無(wú)限小，故認(rèn)為在其各表面上的流速均勻分布。所以單位時(shí)間內(nèi)沿x軸方向流出控制體的質(zhì)量為于是，單位時(shí)間內(nèi)在x方向流出與流入控制體的質(zhì)量差為流入控制體的質(zhì)量為第5頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

同理可得在單位時(shí)間內(nèi)沿y，z方向流出與流入控制體的質(zhì)量差為

故單位時(shí)間內(nèi)流出與流入微元體流體質(zhì)量總變化為：和第6頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月⑵控制體內(nèi)質(zhì)量變化：因控制體是固定的，質(zhì)量變化是因密度變化引起的，dt時(shí)間內(nèi)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，微元體質(zhì)量增量：

（微團(tuán)密度在單位時(shí)間內(nèi)的變率與微團(tuán)體積的乘積）第7頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月⑶根據(jù)連續(xù)性條件：矢量形式：——三維連續(xù)性微分方程第8頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月⑴適用條件：不可壓縮和可壓縮流體理想和實(shí)際流體穩(wěn)態(tài)及非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)⑵不可壓縮性流體的連續(xù)性微分方程：or

說(shuō)明流體體變形率為零，即流體不可壓縮。或流入體積流量與流出體積流量相等。

第9頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月⑶穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)：所有流體物性參數(shù)均不隨時(shí)間而變，⑷二維平面流動(dòng)：第10頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.理想流體的運(yùn)動(dòng)方程

3.4.1---歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程理論依據(jù)：是牛頓第二定律在流體力學(xué)上的具體應(yīng)用，它建立了理想流體的密度、速度、壓力與外力之間的關(guān)系。1775年由歐拉推出流體力學(xué)中心問(wèn)題是流速問(wèn)題，流體流速與其所受到外力間的關(guān)系式即是運(yùn)動(dòng)方程。第11頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月推導(dǎo)過(guò)程：⑴取微小六面控制體牛頓第二定律or動(dòng)量定理：⑵推導(dǎo)依據(jù)：即作用力之合力=動(dòng)量隨時(shí)間的變化速率

第12頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月⑶分析受力：質(zhì)量力：?jiǎn)挝毁|(zhì)量力：

X方向上所受質(zhì)量力為：

表面力：理想流體，沒(méi)有粘性，所以表面力只有壓力

X方向上作用于垂直x軸方向兩個(gè)面的壓力分別為：X方向上質(zhì)點(diǎn)所受表面力合力：第13頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月流體質(zhì)點(diǎn)加速度

的計(jì)算方法：流速的全導(dǎo)數(shù)應(yīng)是：當(dāng)?shù)丶铀俣龋毫鲌?chǎng)中某處流體運(yùn)動(dòng)速度對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)，反映了流體速度在固定位置處的時(shí)間變化特性遷移加速度：流場(chǎng)由于流出、流進(jìn)某一微小區(qū)域而表現(xiàn)出的速度變化率。第14頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月流體質(zhì)點(diǎn)加速度

在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量表示成：第15頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月⑷代入牛頓第二定律求得運(yùn)動(dòng)方程：得x方向上的運(yùn)動(dòng)微分方程：?jiǎn)挝惑w積流體的運(yùn)動(dòng)微分方程：?jiǎn)挝毁|(zhì)量流體的運(yùn)動(dòng)微分方程：第16頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月同理可得y,z方向上的：第17頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月向量形式：

式中：

——理想流體歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程

適用條件：理想流體，不可壓縮流體和可壓縮流體第18頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（5）連續(xù)性微分方程和運(yùn)動(dòng)方程在求解速度場(chǎng)中的應(yīng)用

這里以不可壓縮粘性流體穩(wěn)定等溫流動(dòng)為例：連續(xù)性方程：

運(yùn)動(dòng)方程：

第19頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.含有四個(gè)未知量完整的方程組。2.描述了各種量間的依賴(lài)關(guān)系。3.通解、單值條件（幾何條件、物理?xiàng)l件、邊界條件、初始條件）→特解。即描述流體流動(dòng)的完整方程組+單值性條件→描述某一特定流動(dòng)。第20頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.伯努利方程(Bernoulli)理想流體穩(wěn)定流動(dòng)的伯努利微分方程由理想流體歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程是穩(wěn)定流動(dòng)，vx,vy,vz，p都只是坐標(biāo)函數(shù)，與時(shí)間無(wú)關(guān)，方程轉(zhuǎn)換去除t項(xiàng)伯努利（D.Bernouli1700－1782）方程的提出和意義第21頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

推導(dǎo)得：

Or

——伯努利方程微分形式。說(shuō)明：流體質(zhì)點(diǎn)在微小控制體dxdydz范圍內(nèi)，沿任意方向流線(xiàn)流動(dòng)時(shí)的能量平衡關(guān)系式。第22頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月①適用范圍：理想流體、穩(wěn)定流體、質(zhì)量力只有重力且在微小控制體dxdydz范圍內(nèi)沿某一根流線(xiàn)；②物理意義：揭示了沿某一根流線(xiàn)運(yùn)動(dòng)著的流體質(zhì)點(diǎn)速度，位移和壓強(qiáng)、密度四者之間的微分關(guān)系。

第23頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.1伯努利方程積分形式

1.沿流線(xiàn)的積分方程：設(shè)：

Or

——理想流體微元流束的伯努利方程。第24頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月①適用條件：理想流體、不可壓縮性流體、穩(wěn)定流動(dòng)、質(zhì)量力只有重力，且沿某一根流線(xiàn)；②任選一根流線(xiàn)上的兩點(diǎn)：（流線(xiàn)變化了則C值變化）

③靜止流體：靜止容器內(nèi)任一點(diǎn)的z與P/r之和為常數(shù)。

靜力學(xué)方程第25頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月物理意義及幾何意義：z:單位重量流體所具有的位能N·M/N；（可以看成mgz/mg）P/r:單位重量流體所具有的壓力能；⑴物理意義：：?jiǎn)挝恢亓苛黧w所具有的動(dòng)能；三者之和為單位重量流體具有的機(jī)械能。理解：質(zhì)量為m微團(tuán)以v運(yùn)動(dòng)，具有mv2/2動(dòng)能，若用重量mg除之得v2/2g第26頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月理想、不可壓縮流體在重力場(chǎng)中作穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，沿流線(xiàn)or無(wú)旋流場(chǎng)中流束運(yùn)動(dòng)時(shí)，單位重量流體的位能，壓力能和動(dòng)能之和是常數(shù)，即機(jī)械能是守恒的，且它們之間可以相互轉(zhuǎn)換。物理意義：⑵幾何意義：z：?jiǎn)挝恢亓苛黧w的位置水頭；（距離某一基準(zhǔn)面的高度）P/r:單位重量流體的壓力水頭，或靜壓頭；（具有的壓力勢(shì)能與一段液柱高度相當(dāng)）:單位重量流體具有的動(dòng)壓頭or速度水頭,速度壓頭。物理中：質(zhì)量為m以速度v垂直向上拋能達(dá)到的最高高度為v2/2g三者之和為單位重量流體的總水頭。第27頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月理想、不可壓縮流體在重力場(chǎng)中作穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)，沿一根流線(xiàn)（微小流束）的總水頭是守恒的，同時(shí)可互相轉(zhuǎn)換。幾何意義：第28頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2伯努利方程的應(yīng)用可求解流動(dòng)中的流體v、P及過(guò)某一截面的流量；以伯努利方程為原理測(cè)量流量的裝置。皮托管（畢托管）：測(cè)量流場(chǎng)中某一點(diǎn)流速的儀器。皮托曾用一兩端開(kāi)口彎成直角的玻璃管測(cè)塞那河道中任一點(diǎn)流速。第29頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月A點(diǎn)為駐點(diǎn)總壓⑴皮托管：B點(diǎn)：A點(diǎn)前選一點(diǎn)不受玻璃管干擾的點(diǎn)；A--B認(rèn)為是一條流線(xiàn)。列沿流線(xiàn)AB上兩點(diǎn)的伯努利方程：zA=zB=0PB總=PA