SAS學習系列37. 時間序列分析Ⅰ-平穩(wěn)性及純隨機性檢驗

37.時間序列分析I—平穩(wěn)性及純隨機性檢驗（一）基本概念一、什么是時間序列？為了研究某一事件的規(guī)律，依據(jù)時間發(fā)生的順序將事件在多個時刻的數(shù)值記錄下來，就構成了一個時間序列。對時間序列進行觀察、研究，找尋它變化發(fā)展的規(guī)律，預測它將來的發(fā)展趨勢就是時間序列分析。例如，國家或地區(qū)的年度財政收入，股票市場的每日波動，氣象變化，工廠按小時觀測的產(chǎn)量等等。注：隨溫度、高度等變化而變化的離散序列，也可以看作時間序列。二、時間序列的特點（1）順序性；（2）隨機性；（3）前后時刻（不一定相鄰）的依存性；（4）整體呈趨勢性和周期性。三、時間序列的分類按研究對象的數(shù)目：一元時間序列、多元時間序列；按序列統(tǒng)計特性：平穩(wěn)時間序列、非平穩(wěn)時間序列；按分布規(guī)律：高斯時間序列、非高斯時間序列。四、研究方法1.平穩(wěn)時間序列分析；2.非平穩(wěn)時間序列分析（確定性分析、隨機性分析）。五、其它任何時間序列經(jīng)過合理的函數(shù)變換后都可以被認為是由下列三部分疊加而成：（1）趨勢項部分；（2）周期項部分；（3）隨機項部分（隨機信號、隨機噪聲）圖1.四種趨勢：線性、二次、指數(shù)增長、S型例如，手機銷售的月記錄按年增長（趨勢項）；按季節(jié)周期波動（周期項）；隨機信號和隨機噪聲。時間序列分析的主要任務就是：上面三部分分解出來，是研究平穩(wěn)隨機過程的變化規(guī)律，建立特定的ARIMA模型（要求大體平穩(wěn)可能含有周期但不能有規(guī)則性的線性指數(shù)等類型趨勢項）。六、方法性工具1.差分運算k步差分間隔k期的觀察值之差：Ak=屯込kktt-kp階差分Axt=xt-xt-1稱為一階差分；Apx=Ap-ix-Ap-ix二》(-1)iCix稱為p階差分；ttt-1pt+p-ii=0SAS函數(shù)實現(xiàn)：differ)2.延遲算子延遲算子作用于時間序列，時間刻度減小1個單位(序列左移一位)：Bxt=xt-1,……,Bpxt=xt-p.SAS函數(shù)實現(xiàn)：lagn(x)用延遲算子表示k步差分和p階差分為：—6=(5)&Apx=(I—B)p=(-1)pCixtpt-ii=0(二)平穩(wěn)時間序列一、概念平穩(wěn)時間序列按限制條件的嚴格程度，分為嚴平穩(wěn)時間序列：序列所有的統(tǒng)計性質(zhì)都不會隨著時間的推移而發(fā)生變化；

寬平穩(wěn)時間序列：序列的主要性質(zhì)近似穩(wěn)定，即統(tǒng)計性質(zhì)只要保證序列的二階矩平穩(wěn)，即對任意的時間t,s,乩序列Xt滿足:EX：<4EXt二#口玖血-心（圮—兒）二E（Xk-如）g心-如」二、平穩(wěn)時間序列的統(tǒng)計性質(zhì)（1）均值為常數(shù)；（2）自協(xié)方差只依賴于時間跨度；若定義自協(xié)方差函數(shù)為Y（t,s）=E（X”）（Xs屮）則可由二元函數(shù)簡化為一元函數(shù)Y（t-s）,得延遲k自協(xié)方差函數(shù):Y（k=Y（t,t+k）由此易知平穩(wěn)時間序列必具有常數(shù)方差0（沖=E（X；-^t）2=Y（t,t）=Y（0）時間序列自相關函數(shù)：E(XE(X)(X)-tt冋t-DXs-s延遲k自相關函數(shù):E(X)(E(X)(X)Y(k)#(0)-Y(0)Y(k)Y(0)基本性質(zhì)：P(O)=1；p(-k)=p(k);（3）自相關陣為對稱負定陣；（4）非唯一性。注意：協(xié)方差函數(shù)和相關函數(shù)——度量兩個不同事件（Xt，Yt）彼此之間的相互影響的程度。自協(xié)方差函數(shù)和自相關函數(shù)一一度量用一事件（Xt）在兩個不同時期之間的相互影響的程度。三、樣本估計值總體均值的估計值：延遲k自協(xié)方差函數(shù)的估計值:n-k乞(xt-x)(xt+i-X)r(k)=旦n-k總體方差的估計值：延遲k自相關函數(shù)的估計值：四、平穩(wěn)性檢驗（1）時序圖檢驗若無明顯的趨勢性和周期性，則平穩(wěn)；（2）自相關圖檢驗零均值平穩(wěn)序列的自相關函數(shù)要么截尾要么拖尾；若時間序列零均值化后出現(xiàn)緩慢衰減或周期性衰減，則說明存在趨勢性和周期性（非平穩(wěn)）；（3）單位根檢驗就是通過檢驗時間序列自回歸特征方程的特征根是在單位圓內(nèi)（平穩(wěn)）還是在單位圓及單位圓外（非平穩(wěn)）。通常用ADF檢驗法。Dickey和Fuller（1979）利用如下的廣義自回歸模型DlHeicuerilL』卿DlHeicuerilL』卿dl1Idn*Vilvr其中，Ax表示x的一階差分；x表示延遲一期；Ax.tk表示延遲kjtjt1jtk期再一階差分；%t表示擾動項。上述回歸模型生成的x.門的t值正好對應ADF統(tǒng)計量，做假設.t1檢驗：H0：非平穩(wěn)；耳：平穩(wěn)。t值在1%,5%,10%置信水平的臨界值分別為：-3.524233,-2.902358,-2.588587.以此判斷序列是否平穩(wěn)。注：若Xt不平穩(wěn)，可以依次對Xt做一階、二階…差分，直到序列平穩(wěn)。例1.平穩(wěn)性檢驗——ADF檢驗的SAS實現(xiàn)。代碼：datasimulation;doi=1to100;x=rannor();output;end;run;datatimeseries;setsimulation;x_1st_lag=lag1(x);x_1st_diff=dif1(x);x_1st_diff_1st_lag=dif1(lag1(x));x_1st_diff_2nd_lag=dif1(lag2(x));x_1st_diff_3rd_lag=dif1(lag3(x));x_1st_diff_4th_lag=dif1(lag4(x));x_1st_diff_5th_lag=dif1(lag5(x));run;procregdata=timeseries;modelx_1st_diff=x_1st_lagx_1st_diff_1st_lagx_1st_diff_2nd_lagx_1st_diff_3rd_lagx_1st_diff_4th_lagx_1st_diff_5th_lag;run;運行結果：REG過程

模型:MODEL1

因變量：x_1st_diff

讀取的觀測數(shù)100使用的觀測數(shù)94具有缺失值的觀測數(shù)6方差分析源自由度平方和均方F值Pr>F模型6111.3808218.5634715.25<.0001誤差87105.884241.21706方差分析源自由度平方和均方F值Pr>F校正合計93217.26507均方根誤差1.10320R方0.5126因變量均值0.02507調(diào)整R方0.4790變異系數(shù)4399.76165參數(shù)估計值變量自由度參數(shù)估計值標準誤差t值Pr>|t|Intercept1-0.016340.11418-0.140.8866x_1st_lag1-0.709750.20949-3.390.0011x_1st_diff_1st_lag1-0.262170.19212-1.360.1759x_1st_diff_2nd_lag1-0.157800.17907-0.880.3806x_1st_diff_3rd_lag1-0.019730.16308-0.120.9040x_1st_diff_4th_lag10.070670.139380.510.6134x_1st_diff_5th_lag10.003400.105910.030.9745x1stlag的t值=-3.39<t=-2.902358,（或從P值=0.0011<0.050.05判斷）故拒絕原假設H。，即序列平穩(wěn)。五、純隨機性檢驗若序列值彼此之間沒有任何相關性，即過去的行為對未來的發(fā)展沒有絲毫影響，此時稱為純隨機序列。從統(tǒng)計分析的角度而言，純隨機序列是沒有任何分析價值的序列因此，為了確保平穩(wěn)序列還值不值得分析，還需要對平穩(wěn)序列進行純隨機性檢驗。純隨機序列（白噪聲序列）若對任取的時間t和s,時間序列Xt滿足：（1）E（Xt）=?。ǔ?shù)均值）（2）r（t,s）=02,若t=s；（方差齊性）（3）r（t,s）=0,若t#s.（純隨機性）則稱Xt為純隨機序列或白噪聲序列（白光具有該特性），簡記為xt?WN@,6）。白噪聲序列是最簡單的平穩(wěn)時間序列。隨機生成的1000個服從標準正態(tài)分布的白噪聲序列觀察值：標準正態(tài)分布白噪聲序列XtD1.00200D1.002003004005006007008009001000時間3210123---K會H純隨機性檢驗Barlett證明：n個觀察值的純隨機時間序列，延遲為k（工0）的自相關函數(shù)p（k）近似服從正態(tài)分布N（0,l/n）.由此可以構造Qbp統(tǒng)計量（適合樣本數(shù)n上50）和Qlb統(tǒng)計量（適合小樣本）來檢驗序列的純隨機性：Qbp-才腳）為=心+2應［於卑］“如）EIX-氐丿再做假設檢驗：H0：p(l)=p(2)=...=p(m),即延遲Wm的序列之間相互獨立；Hj至少有一個p(k)#0,即延遲Wm的序列之間有相關性。注：m一般取值為6、12。這是因為平穩(wěn)序列通常具有短期相關性，只要序列時期足夠長，自相關系數(shù)都會收斂于零。例2.數(shù)據(jù)如下表，時間間隔為天，起始時間自定義。1015101012107710148171418391110612141025293333121916191912341536292621171913202412614612911171281414125810316887126108105判斷該序列◎的平穩(wěn)性及純隨機性；判斷◎的一階差分兒的平穩(wěn)性及純隨機性。代碼：datadatasl;inputx_t@@;time=intnx('day','01jan2014'd,n-1);formattimemonyy.?cards;10151****2107710148171418391110612141025293333121916191912341536292621171913202412614612911171281414125810316887126108105run;procgplotdata=datasl;plotx_t*time;symboli=joinv=starcv=redci=green;run;procarimadata=datasl;identifyvar=x_tnlag=24;run;datadatas2;setdatasl;y_t=dif1(x_t);run;procgplotdata=datas2;ploty_t*time;symboli=joinv=starcv=redci=green;run;procarimadata=datas2;identifyvar=y_tnlag=24;run;運行結果：從時序圖看，xt有明顯的周期性和遞增遞減趨勢，故不平穩(wěn)。

從ACF圖看，Xt的自相關系數(shù)遞減到零的速度相當緩慢，在很長的延遲時期里，自相關系數(shù)一直為正，而后又一直為負，故判斷該序列非平穩(wěn)。白噪聲的自相關檢査至滯后卡方自由度至滯后卡方自由度Pr＞卡方664.026〈.00011288.9812〈.00011896.3218〈.000124137.2624〈.00010.5060.2700.138-0.145自相關0.5390.3740.2910.2580.1480.1860.1780.2580.2070.226-0.027-0.053-0.112-0.139-0.155-0.284-0.229-0.306-0.211-0.313延遲為6、12的檢驗P值均小于0.05，故拒絕原假設，認為Xt為非純隨機序列（非白噪聲序列）。

Yt的時序圖波動范圍有界且沒有明顯的周期性、遞增（遞減）趨勢，故可以初步判斷該序列平穩(wěn)。從ACF自相關圖看，延遲1階后的樣本自相關系數(shù)很快衰減到零附近，且1階后的樣本自相關系數(shù)均落在了兩倍標準誤的范圍之內(nèi)且在零值附近波動，故可認為Yt平穩(wěn)。白噪聲的自相關檢査至滯后6卡方