sin立方的不定積分

sin立方的不定積分要求求解$\int\sin^3(x)dx$的不定積分。

我們可以利用三角恒等式將$\sin^3(x)$轉(zhuǎn)化為不含立方項的三角函數(shù)。根據(jù)三角恒等式$\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}$，我們可以將其重寫為$\sin^3(x)=\sin^2(x)\cdot\sin(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}\cdot\sin(x)$。

現(xiàn)在，我們只需要求解$\int\frac{1-\cos(2x)}{2}\cdot\sin(x)dx$這個積分。

我們可以將積分中的乘積展開成兩個部分，即$\int\frac{1}{2}\sin(x)dx-\int\frac{\cos(2x)}{2}\sin(x)dx$。然后，我們可以利用積分的線性性質(zhì)將其分別求解。

首先，求解$\int\frac{1}{2}\sin(x)dx$。我們可以使用基本積分公式$\int\sin(x)dx=-\cos(x)+C$來求解，其中$C$為常數(shù)。因此，$\int\frac{1}{2}\sin(x)dx=-\frac{1}{2}\cos(x)+C_1$，其中$C_1$也為常數(shù)。

接下來，我們求解$\int\frac{\cos(2x)}{2}\sin(x)dx$。為了求解這個積分，我們可以使用換元法。令$u=\sin(x)$，則$du=\cos(x)dx$，并可以得到$dx=\frac{du}{\cos(x)}$。將其代入原積分中，得到：

$\int\frac{\cos(2x)}{2}\sin(x)dx=\int\frac{\cos(2x)}{2}u\cdot\frac{du}{\cos(x)}$

$=\frac{1}{2}\int\cos(2x)u\cdot\frac{du}{\cos(x)}$.

現(xiàn)在，我們可以利用三角恒等式$\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$將其進(jìn)一步簡化：

$\frac{1}{2}\int(2\cos^2(x)-1)u\cdot\frac{du}{\cos(x)}$

$=\frac{1}{2}\int(2u\cos^2(x)-u)\cdot\frac{du}{\cos(x)}$

$=\frac{1}{2}\intu\cos^2(x)\cdot\frac{du}{\cos(x)}-\frac{1}{2}\intu\cdot\frac{du}{\cos(x)}$

$=\frac{1}{2}\intu\cos(x)du-\frac{1}{2}\intu\cdot\frac{du}{\cos(x)}$.

現(xiàn)在，我們可以使用基本積分公式來求解這兩個積分。第一個積分$\frac{1}{2}\intu\cos(x)du=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}u^2\sin(x)+C_2=\frac{1}{4}u^2\sin(x)+C_2$，其中$C_2$為常數(shù)。

第二個積分$\frac{1}{2}\intu\cdot\frac{du}{\cos(x)}=\frac{1}{2}\int\frac{u}{\cos(x)}du$可以使用換元法進(jìn)行求解。令$v=\sin(x)$，則$dv=\cos(x)dx$，并可以得到$dx=\frac{dv}{\cos(x)}$。將其代入原積分中，得到：

$\frac{1}{2}\int\frac{u}{\cos(x)}du=\frac{1}{2}\int\frac{v}{\cos(x)}\cdot\frac{dv}{\cos(x)}$

$=\frac{1}{2}\int\frac{v}{\cos^2(x)}dv$

$=\frac{1}{2}\int\frac{v}{1-\sin^2(x)}dv$

$=\frac{1}{2}\int\frac{v}{1-v^2}dv$.

現(xiàn)在，我們可以使用部分分式分解來求解這個積分。將分母進(jìn)行分解，可以得到$\frac{1}{1-v^2}=\frac{A}{1+v}+\frac{B}{1-v}$，其中$A$和$B$為待定常數(shù)。通過通分，得到$1=A(1-v)+B(1+v)$。展開并整理，可以得到$1=(A+B)+(B-A)v$。

由于上式對于任意的$v$成立，我們可以得到以下方程組：

$A+B=1$

$B-A=0$.

解這個方程組可以得到$A=B=\frac{1}{2}$。因此，我們可以將分式分解為$\frac{1}{1-v^2}=\frac{1}{2(1+v)}+\frac{1}{2(1-v)}$。

現(xiàn)在，我們可以將$\frac{1}{2}\int\frac{v}{1-v^2}dv$這個積分重新表達(dá)為兩個較為簡單的積分：

$\frac{1}{2}\int\frac{v}{1-v^2}dv=\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{2(1+v)}+\frac{1}{2(1-v)}\right)dv$

$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\ln|1+v|-\frac{1}{2}\ln|1-v|\right)+C_3$

$=\frac{1}{4}\ln\left|\frac{1+v}{1-v}\right|+C_3$.

現(xiàn)在，我們已經(jīng)求解出了兩個積分，$\frac{1}{4}u^2\sin(x)+C_2$和$\frac{1}{4}\ln\left|\frac{1+v}{1-v}\right|+C_3$。

最后，將這兩個積分的結(jié)果代入$\int\frac{1-\cos(2x)}{2}\cdot\sin(x)dx$可得：

$\int\frac{1-\cos(2x)}{2}\cdot\sin(x)dx=\frac{1}{2}\int\sin(x)dx-\frac{1}{2}\int\cos(2x)\sin(x)dx$

$=-\frac{1}{2}\cos(x)+C_1-\left(\frac{1}{4}\ln\left|\frac{1+v}{1-v}\right|+C_3\right)$

$=-\frac{1}{2}\cos(x)-\frac{1}{4}\ln\left|\frac{1+\sin