第二章 2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)

線性代數(shù)1第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)第二章矩陣2.1矩陣

2.2矩陣的運(yùn)算2.3逆矩陣

2.4線性方程組的矩陣解法

2第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)數(shù)的乘法滿足交換律，且當(dāng)時(shí)，有.矩陣的乘法一般不滿足交換律但當(dāng)時(shí)，與有什么關(guān)系？例如：§2.3可逆矩陣

第二章矩陣3第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)§2.3可逆矩陣

第二章矩陣注:A的逆矩陣記為A1.1.定義:設(shè)A為方陣,若存在方陣B,使得AB=BA=E,則稱A可逆,并稱B為A的逆矩陣.2.逆矩陣的唯一性若AB

=BA=E,AC

=CA=E,則B

=BE=B(AC)=(BA)C

=EC

=C.

結(jié)合律的妙用之二§2.3可逆矩陣

4第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)§2.3可逆矩陣

第二章矩陣注

①對(duì)于方陣A,BA=E

A可逆且A1=B.AB=E

A可逆且A1=B.

例1.設(shè)方陣A,B,C滿足ABC=E,則必有（）(A)ACB=E(B)CBA=E(C)BAC=E(D)CAB=E5第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)§2.2可逆矩陣

第二章矩陣?yán)?.設(shè)方陣A滿足A2

A2E=O,證明A，A

+2E可逆,并求A1，(A+2E)1.

證明:A2

A2E=O

A(A

E)2E=O

A(A

E)=2E

A1=(A

E).12

A(A

E)=E

(A+2E)1=

(A1)2126第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)§2.2可逆矩陣

第二章矩陣?yán)?.設(shè)方陣A滿足2A3

A2+E=O,證明A

+E可逆,并求(A+E)1.

2A3

A2+O+EA+E2A2

2A3

+2A2

3A2+O

3A

3A23A

3A+E

3A+3E

+3E

2E

證明:2A3

A2+E=

O

(A+E)(2A2

3A+3E)2E=O

7第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)§2.2可逆矩陣

第二章矩陣?yán)?.設(shè)方陣A滿足2A3

A2+E=O,證明:2A3

A2+E=

O

(A+E)(2A2

3A+3E)2E=O

(A+E)(2A2

3A+3E)=2E

(A+E)1=(2A2

3A+3E).12(A+E)(2A2

3A+3E)=E

12證明A

+E可逆,并求(A+E)1.

8第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)§2.2可逆矩陣

第二章矩陣注:②

A

OAB=O

B=O,A可逆AB=O

B=O,A

OAB=AC

B=C,A可逆AB=AC

B=C,③AX=C且A可逆

X=A1C,XA=C且A可逆

X=CA1.

AXB=C且A,B可逆

X=______.9第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)§2.2可逆矩陣

第二章矩陣4.逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)(1)A可逆

(A1)1=A.(2)A可逆

(AT)1=(A1)T.(3)A可逆,k

0

(kA)1=k1A1.(4)設(shè)A,B為同階方陣,則AB可逆

A,B皆可逆.當(dāng)A,B皆可逆時(shí),(AB)1=B1A1.例4.設(shè)A,B,C為同階可逆陣,則(ABC)1=[].①

A1B1C1,②C1B1A1,

③A1C1B1,

④B1A1C1.

10第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)第二章矩陣§2.4線性方程組的矩陣解法

§2.4線性方程組的矩陣解法a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm11第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)

設(shè)A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn,b=b1b2…bm,

Ax=b.x=x1x2…xn,則未知量常數(shù)項(xiàng)a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm第二章矩陣§2.4線性方程組的矩陣解法12第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)

A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn為系數(shù)矩陣

[A,b]=a11

a12…a1nb1a21

a22…a2nb2

……………am1

am2…amnbm為增廣矩陣

第二章矩陣§2.4線性方程組的矩陣解法13第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)

Gauss消元法(Gauss’method)2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2

x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x2

3x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

0=01/21對(duì)換變換倍乘變換倍加變換§1.2

Gauss消元法第一章線性方程組與消元法14第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)

x1

5x3=1x2+2x3=

2

0=0x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

0=0行階梯形(2)x1=5x3+1x2

=

2x3

2

x3

=

x3(任意)

行最簡形或?qū)懗上蛄啃问接纱丝傻迷匠探M的通解（一般解）:x=5c+12c

2c

,其中c為任意數(shù)（自由未知數(shù)）.§1.2

Gauss消元法第一章線性方程組與消元法15第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2

x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x23x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

0=01/212

34

4121

32262輕裝上陣

121

32

34

411311/2121

30

12

20

1

222(1)121

3012

200001

第二章矩陣§2.4線性方程組的矩陣解法16第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

0=0(2)121

3012

20000x1

5x3=1x2+2x3=

2

0=0(2)10

5

1012

20000x1=5c+1x2=

2c

2

x3=c其中c為任意實(shí)數(shù).

方程組的初等行變換可以移植到矩陣上去第二章矩陣§2.4線性方程組的矩陣解法17第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)

矩陣的初等行變換

矩陣的初等列變換

(1)對(duì)換變換:ri

rj,

(2)倍乘變換:ri

k,(3)倍加變換:kri+rj.初等變換

(1)對(duì)換變換:ci

cj,(2)倍乘變換:ci

k,(3)倍加變換:kcj+ci.初等行變換初等列變換可逆變換！同解變換！第二章矩陣§2.4線性方程組的矩陣解法行row，列column18第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)例1.解線性方程組→→→解：[A,b]2x12x2

x3=7

x1

x2

+x3=2

x1

x2

+

3x3=0第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)→再作初等行變換B1又可以變?yōu)楣史匠套冃螢閤1

x2=3

x3=

10=0故方程的解為x1=c+3

x2=cx3=

1第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)特點(diǎn)：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元．行階梯形矩陣注意不是行階梯形矩陣!11004010220202300004§2.4線性方程組的矩陣解法第二章矩陣第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)行最簡形矩陣§2.4線性方程組的矩陣解法1)首先是行階梯形矩陣；2)每一行的第一個(gè)非零元是13)每一行的第一個(gè)非零元1所在列的其余元素都是0第二章矩陣第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)

例2.解線性方程組第二章矩陣§2.4線性方程組的矩陣解法23第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)

例3.解線性方程組第二章矩陣§2.4線性方程組的矩陣解法24第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)

例4.設(shè)線性方程組:問

為何值時(shí),此方程組(1)有唯一解;(2)無解;(3)有無窮多解?并在有無窮多解時(shí)求其通解.解:對(duì)其增廣矩陣[A,b]作初等行變換,化為階梯形.第二章矩陣§2.4線性方程組的矩陣解法25第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)

1+

11011+

13111+

[A,b]=111+

11+

131+

110(1)111+

0

3

1+

110111+

0

3

0

(2+

)

(1+

)(1

)111+

0

3

00

(3+

)(1

)(3+

)1第二章矩陣§2.4線性方程組的矩陣解法26第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)

111+

0

3

00

(3+

)(1

)(3+

)當(dāng)

0且

3時(shí),方程組有唯一解;(2)當(dāng)

=0時(shí),方程組無解;(3)當(dāng)

=3時(shí),方程組有無窮多解.此時(shí)111+

0

3

00

(3+

)(1

)(3+

)112

3033

60000=112

3011

20000101

1011

20000(1)()13第二章矩陣§2.4線性方程組的矩陣解法27第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)

101

1011

20000由此可得原方程組的通解x1=x3

1x2

=

x3

2

x3

=

x3(任意)

因而原方程組化為x1

x3=

1x2

x3

=

2第二章矩陣§2.4線性方程組的矩陣解法28第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)例5.設(shè)有線性方程組(1)a為何值時(shí),此方程組有無窮多解?

并求其通解.(2)a為何值時(shí),此方程組無解?

2x3

8x4

=

6

x1+2x2+x3+x4

=22x1+4x2+2x3+2x4

=a

第二章矩陣§2.4線性方程組的矩陣解法29第二章2.3、2.4逆矩陣和線性方程組的矩陣解法(唐忠明版)解:002

8

6121122422

a(1