九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題23 與垂徑定理有關(guān)的拓展探究（原卷版）

/專題23與垂徑定理有關(guān)的拓展探究1．問(wèn)題提出（1）如圖①，的半徑為8，弦，則點(diǎn)O到的距離是__________．問(wèn)題探究（2）如圖②，的半徑為5，點(diǎn)A、B、C都在上，，求面積的最大值．問(wèn)題解決（3）如圖③，是一圓形景觀區(qū)示意圖，的直徑為，等腰直角三角形的邊是的弦，直角頂點(diǎn)P在內(nèi)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，連接．現(xiàn)準(zhǔn)備在和區(qū)域內(nèi)種植草坪，在和區(qū)域內(nèi)種植花卉．記和的面積和為，和的面積和為．①求種植草坪的區(qū)域面積．②求種植花卉的區(qū)域面積的最大值．2．問(wèn)題提出：（1）如圖1，已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則的面積為______．問(wèn)題探究：（2）如圖2，在中，已知，，求的最大面積．問(wèn)題解決：（3）如圖3，某校學(xué)生禮堂的平面示意圖為矩形ABCD，其寬米，長(zhǎng)米，為了能夠監(jiān)控到禮堂內(nèi)部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺(tái)攝像頭M進(jìn)行觀測(cè)，并且要求能觀測(cè)到禮堂前端墻面AB區(qū)域，同時(shí)為了觀測(cè)效果達(dá)到最佳，還需要從點(diǎn)M出發(fā)的觀測(cè)角．請(qǐng)你通過(guò)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行分析，在墻面CD區(qū)域上是否存在點(diǎn)M滿足要求？若存在，求出MC的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．【學(xué)習(xí)心得】（1）小雯同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問(wèn)題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得非常容易．例如：如圖，在中，，，D是外一點(diǎn)，且，求的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作輔助圓，則C，D兩點(diǎn)必在上，是的圓心角，是的圓周角，則______°．【初步運(yùn)用】（2）如圖，在四邊形ABCD中，，，求的度數(shù)；【方法遷移】（3）如圖，已知線段AB和直線l，用直尺和圓規(guī)在l上作出所有的點(diǎn)P，使得（不寫作法，保留作圖痕跡）；【問(wèn)題拓展】（4）①如圖，已知矩形ABCD，，，M為邊CD上的點(diǎn)．若滿足的點(diǎn)M恰好有兩個(gè)，則m的取值范圍為______．②如圖，在中，，AD是BC邊上的高，且，，求AD的長(zhǎng)．4．小航在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖，點(diǎn)C是上一動(dòng)點(diǎn)，直徑AB＝8cm，過(guò)點(diǎn)C作CDAB交于D，O為AB的中點(diǎn)．連接OC，OD，當(dāng)△ABC的面積為3.5cm2時(shí)，求線段CD的長(zhǎng)．小航結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)研究此問(wèn)題，請(qǐng)將下面的探究過(guò)程補(bǔ)充完整：(1)根據(jù)點(diǎn)C在上的不同位置，畫出相應(yīng)的圖形，測(cè)量線段CD，OC的長(zhǎng)度和△OCD的面積，得到下表的幾組對(duì)應(yīng)值（當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí)，△OCD的面積為0）．CD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.001.93.95.6m7.87.96.80填空：m＝（結(jié)果保留一位小數(shù)）；(2)將線段CD的長(zhǎng)度作為自變量x，△OCD的面積是x的函數(shù)，記為y，請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中畫出函數(shù)的圖象，并寫出△OCD面積的最大值；(3)在同一坐標(biāo)系中畫出所需的圖象，并結(jié)合圖象直接寫出：當(dāng)△OCD的面積為3.5cm2時(shí)，線段CD長(zhǎng)度的近似值（結(jié)果保留一位小數(shù)）．5．【教材回顧】（1）如圖①，點(diǎn)、分別是的邊、邊的中點(diǎn)，連結(jié)，則是的一條中位線．則和的數(shù)量關(guān)系是____，位置關(guān)系是_____．【提出問(wèn)題】如圖④，是以為直徑的⊙的一條弦，連結(jié)、，點(diǎn)在的上方，點(diǎn)在的下方，于，于，點(diǎn)、均在弦上．已知，，求的值．為了解決上面的問(wèn)題，進(jìn)行了如下的探究：【分析問(wèn)題】先看兩種特殊情況：（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)也與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)，（點(diǎn)看成是長(zhǎng)度為0的線段），則_____．（寫出具體的數(shù)值）（3）如圖③，當(dāng)時(shí)，、重合，此時(shí)與的數(shù)量關(guān)系是____，先根據(jù)條件易求的長(zhǎng)度，則____．（寫出具體的數(shù)值）【解決問(wèn)題】（4）結(jié)合圖④對(duì)應(yīng)的一般情況和你的感知，請(qǐng)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)方法求的值．6．學(xué)習(xí)心得：小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問(wèn)題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得非常容易．例如：已知，如圖1，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是ABC外一點(diǎn)，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助圓⊙A，則點(diǎn)C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝．（直接寫答案）問(wèn)題解決：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度數(shù)；問(wèn)題拓展：如圖3，在ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC邊上的高，且BD＝4，CD＝2，求AD的長(zhǎng)．7．小航在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，線段，的垂直平分線交于，取線段的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，連接．若是等腰三角形，求線段的長(zhǎng)度．小航結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)研究此問(wèn)題，請(qǐng)將下面的探究過(guò)程補(bǔ)充完整：（1）根據(jù)點(diǎn)在線段上的不同位置，畫出相應(yīng)的圖形，測(cè)量線段，，的長(zhǎng)度，得到下表的幾組對(duì)應(yīng)值．/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0/cm6.75.64.53.53.54.56.7/cm6.76.56.25.75.04.23.63.22.9填空：的值為_________，的值為___________；（2）將線段的長(zhǎng)度作為自變量，和的長(zhǎng)度都是的函數(shù)，分別記為和，并在平面直角坐標(biāo)系中畫出了函數(shù)的圖象，如圖所示．請(qǐng)?jiān)谕蛔鴺?biāo)系中畫出函數(shù)的圖象；（3）繼續(xù)在同一坐標(biāo)系中畫出所需的函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象直接寫出：當(dāng)為等腰三角形時(shí)，線段長(zhǎng)度的近似值（結(jié)果保留一位小數(shù)）．8．問(wèn)題提出（1）如圖①，已知直線，點(diǎn)A，B在直線a上，點(diǎn)C，D在直線b上，則_______（填“＞”“＜”或“＝”）；問(wèn)題探究（2）如圖②，⊙O的直徑為20，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，，求面積的最大值；問(wèn)題解決（3）如圖③，在中，，，，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，點(diǎn)D為內(nèi)部一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)C作交BD于點(diǎn)E，連接AE，CD，試求滿足設(shè)計(jì)要求的四邊形ADCE的最大面積．9．【定義】圓心到弦的距離叫做弦心距．【探究】等弧所對(duì)弦的弦心距相等．（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出圖形，寫出已知、求證并證明．【應(yīng)用】（2）如圖2，的弦，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，且，連接．求證：平分．10．[閱讀材料]如圖1所示，對(duì)于平面內(nèi)⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中點(diǎn)M，我們把弦AB的中點(diǎn)M到某點(diǎn)或某直線的距離叫做弦AB到這點(diǎn)或者這條直線的“密距”例如：圖1中線段MO的長(zhǎng)度即為弦AB到原點(diǎn)O的“密距”，過(guò)點(diǎn)M作y軸的垂線交y軸于點(diǎn)N線段MN的長(zhǎng)度即為弦AB到y(tǒng)軸的“密距”．[類比應(yīng)用]已知⊙P的圓心為P（0，4），半徑為2，弦AB的長(zhǎng)度為2，弦AB的中點(diǎn)為M．（1）當(dāng)AB//y軸時(shí)，如圖2所示，圓心P到弦AB的中點(diǎn)M的距離是____，此時(shí)弦AB到原點(diǎn)O的“密距”是；（2）①如果弦AB在⊙P上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，圓心P到弦AB的中點(diǎn)M的距離變化嗎?若不變化，請(qǐng)求出PM的長(zhǎng)，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．②直接寫出弦AB到原點(diǎn)O的“密距”d的取值范圍；[拓展應(yīng)用]如圖3所示，已知⊙P的圓心為P（0，4），半徑為2,點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B為⊙P上白一動(dòng)點(diǎn)，有直線y=-x-3，弦AB到直線y=-x-3的“密距”的最大值是．（直接寫出答案）11．問(wèn)題提出（1）如圖①，在△ABC中，BC＝6，D為BC上一點(diǎn)，AD＝4，則△ABC面積的最大值是．問(wèn)題探究（2）如圖②，已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為12，求矩形ABCD面積的最大值．問(wèn)題解決（3）如圖③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意圖，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，現(xiàn)在他想利用周邊地的情況，把原來(lái)的三角形地拓展成符合條件的面積盡可能大、周長(zhǎng)盡可能長(zhǎng)的四邊形地，用來(lái)建魚塘．已知葛叔叔欲建的魚塘是四邊形ABCD，且滿足∠ADC＝60°．你認(rèn)為葛叔叔的想法能否實(shí)現(xiàn)？若能，求出這個(gè)四邊形魚塘周長(zhǎng)的最大值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)．∠APC=∠CPB=60°．(1)試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)點(diǎn)P位于什么位置時(shí)，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積．13．如圖，△ABC是圓內(nèi)接等腰三角形，其中AB=AC，點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A在弦BC的兩側(cè)），連結(jié)PA，PB，PC，設(shè)∠BAC=α，=y，小明為探究y隨α的變化情況，經(jīng)歷了如下過(guò)程（1）若點(diǎn)P在弧B