九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)【單元測(cè)試】第二十四章 圓（夯實(shí)基礎(chǔ)培優(yōu)卷）（解析版）

/【高效培優(yōu)】2022—2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)必考重難點(diǎn)突破必刷卷（人教版）【單元測(cè)試】第二十四章圓（夯實(shí)基礎(chǔ)培優(yōu)卷）（考試時(shí)間：90分鐘試卷滿分：100分）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．如圖，為半圓O的直徑，，平分，交半圓于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，則的度數(shù)是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】連接OD，由題意可知，，由角平分線性質(zhì)得到，再根據(jù)圓的半徑相等得到，由三角形外角性質(zhì)及等邊對(duì)等角解得，最后由直角三角形兩個(gè)銳角互余解答．【詳解】解：連接OD平分，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，涉及等邊對(duì)等角、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形兩個(gè)銳角互余等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．2．小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應(yīng)該是（）A．第一塊 B．第二塊 C．第三塊 D．第四塊【答案】A【分析】要確定圓的大小需知道其半徑，根據(jù)垂徑定理知第一塊可確定半徑的大小【詳解】解：第一塊出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點(diǎn)就是圓心，進(jìn)而可得到半徑的長(zhǎng)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A上任意兩弦的垂直平分線的交點(diǎn)即為該圓的圓心．3．下列圖形中的角，是圓心角的為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓心角的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、頂點(diǎn)不在圓心上，不是圓心角，故本選項(xiàng)不符合題意；B、頂點(diǎn)不在圓心上，不是圓心角，故本選項(xiàng)不符合題意；C、是圓心角，故本選項(xiàng)符合題意；D、頂點(diǎn)不在圓心上，不是圓心角，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角的定義，能熟記圓心角的定義（頂點(diǎn)在圓心上，并且兩邊與圓相交的角，叫圓心角）是解此題的關(guān)鍵．4．下列命題中，正確的是（

）A．和半徑垂直的直線是圓的切線 B．平分直徑一定垂直于弦C．相等的圓心角所對(duì)的弧相等 D．垂直于弦的直徑必平分弦所對(duì)的弧【答案】D【分析】根據(jù)圓與直線間的關(guān)系，利用其性質(zhì)定理及定義即可求解．【詳解】A項(xiàng)還可能與圓相交，故錯(cuò)誤不選；B項(xiàng)過圓心的直線都平分直徑，但不一定垂直于弦，故錯(cuò)誤不選；C項(xiàng)如果半徑不等，則對(duì)應(yīng)的弧也不相等，故錯(cuò)誤不選；D項(xiàng)說法正確．故答案選D．【點(diǎn)睛】本題考查圓與直線間的關(guān)系，需牢記相應(yīng)的性質(zhì)定理及判定條件并靈活運(yùn)用．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為（1，3）、（5，3）、（1，－1），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（

）A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）【答案】B【分析】根據(jù)三角形的外心的概念作出外心，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解答即可．【詳解】解：連接AB、AC，分別作AB、AC的垂直平分線，兩條垂直平分線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為△ABC外接圓的圓心，由題意得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1），即△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（3，1），故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線PA、PB，記切點(diǎn)為A、B，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，連接AC、BC．若∠ACB＝62°，則∠APB等于（）A．68° B．64° C．58° D．56°【答案】D【分析】根據(jù)切線性質(zhì)求出∠PAO＝∠PBO＝90°，圓周角定理求得∠AOB，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理即可求得．【詳解】解：∵PA、PB是⊙O的切線，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB+∠P＝180°，∵∠ACB＝62°，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×62°＝124°，∴∠APB＝180°﹣124°＝56°，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵熟記同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半．7．如圖，正六邊形內(nèi)接于，點(diǎn)M在上，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出正六邊形的中心角，再利用圓周角定理求解即可．【詳解】解：連接OC、OD、OE，如圖所示：∵正六邊形內(nèi)接于，∴∠COD==60°，則∠COE=120°，∴∠CME=∠COE=60°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的中心角、圓周角定理，熟練掌握正n多邊形的中心角為是解答的關(guān)鍵．8．如圖，邊AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，點(diǎn)C在上，且BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【分析】根據(jù)中心角的度數(shù)=360°÷邊數(shù)，列式計(jì)算分別求出∠AOB，∠BOC的度數(shù)，可得∠AOC=15°，然后根據(jù)邊數(shù)n=360°÷中心角即可求得答案．【詳解】解：連接OC，∵AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，∴∠BOC＝360°÷8＝45°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°∴n＝360°÷15°＝24．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、正八邊形、正二十四邊形的性質(zhì)；根據(jù)題意求出中心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，以點(diǎn)為圓心的兩個(gè)同心圓把以為半徑的大圓的面積三等分，這兩個(gè)圓的半徑分別為，．則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓的面積公式得出方程，根據(jù)算術(shù)平方根求出OA、OB、OC的值，再代入即可得出答案【詳解】解：以O(shè)A半徑的圓的面積是πr2，則以O(shè)B半徑的圓的面積是πr2，則以O(shè)C半徑的圓的面積是πr2∴πr2，πr2，∴OB＝r，OC＝r．∴OA：OB：OC＝r：r：r＝：：1，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，算術(shù)平方根，圓的面積的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出關(guān)于OA、OB、OC的方程，難度不是很大．10．把量角器和含角的三角板按如圖方式擺放：零刻度線與長(zhǎng)直角邊重合，移動(dòng)量角器使外圓弧與斜邊相切時(shí)，發(fā)現(xiàn)中心恰好在刻度處，短直角邊過量角器外沿刻度處（即，）．則陰影部分的面積為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出∠COF，進(jìn)而求出OE＝OF＝4cm，再求出OB，進(jìn)而求出BE，最后用三角形的面積減去扇形的面積，即可求出答案．【詳解】在中，，∴，，，連接，則，∵外圓弧與斜邊相切，∴∠BEO＝90°，在中，，，，根據(jù)勾股定理得，，，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式和扇形的面積公式，求出圓的半徑是解本題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每題3分，共18分）11．為半圓的直徑，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板如圖放置，銳角頂點(diǎn)在半圓上，斜邊過點(diǎn)，一條直角邊交該半圓于點(diǎn)．若，則線段的長(zhǎng)為______．【答案】【分析】連接，，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得是等腰直角三角形，進(jìn)而勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，，，，為直徑，，是等腰直角三角形．，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．12．如圖，是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作的一條切線，為切點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理用表示出，根據(jù)三角形的面積公式求出，得到答案．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，是的切線，，，是的半徑，大小不變，當(dāng)最小時(shí)，的面積最小，在中，，則當(dāng)最小時(shí)，最小，對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，，由勾股定理得：，，則，解得：，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，的最小值為，則的最小值為：，的最小值，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在等腰直角三角形中，，點(diǎn)P在以斜邊為直徑的半圓上，M為的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是_______．【答案】【分析】取的中點(diǎn)、的中點(diǎn)、的中點(diǎn)，連接、、、、、，可得四邊形CEOF是正方形，由OP=OC得OM⊥PC，則可得點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑，從而求得路徑的長(zhǎng)．【詳解】取的中點(diǎn)、的中點(diǎn)、的中點(diǎn)，連接、、、、、，如圖，則，且，，，∴四邊形CEOF為平行四邊形，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴四邊形為正方形，∴CE=CF=，EF=OC，由勾股定理得：，∵在等腰中，，∴，∴，，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，

∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)；點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)，∴點(diǎn)的路徑為以為直徑的半圓，∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)及正方形的判定，確定點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是關(guān)鍵與難點(diǎn)．14．若正六邊形和正五邊形按如圖所示的方式放置，其中兩個(gè)正多邊形底邊重合，則的度數(shù)為______．【答案】12°【分析】據(jù)正五邊形和正六邊形性質(zhì)得出各內(nèi)角度數(shù)，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵在正六邊形ABCDEF和正五邊形ABGHK中，∠，∠，∴∠GBC=∠ABC-∠ABG=120°-108°=12°，故答案為：12°．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，多邊形的內(nèi)角與外角，利用了正五邊形的內(nèi)角，正六邊形的內(nèi)角．15．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，分別以點(diǎn)A，C為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．若BD＝6，∠CAB＝30°，則圖中陰影部分的面積為_____．（結(jié)果保留π）【答案】【分析】利用矩形的性質(zhì)求得OA=OC=OB=OD=3，再利用扇形的面積公式求解即可．【詳解】解：∵矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，且BD=6，∴AC=BD＝6，∴OA=OC=OB=OD=3，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，扇形的面積等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．16．跳棋是一項(xiàng)傳統(tǒng)的智力游戲．如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形和等邊三角形組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形．若厘米，則這個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)為_________厘米．【答案】54【分析】設(shè)AB交EF、FD與點(diǎn)N、M，AC交EF、ED于點(diǎn)G、H，BC交FD、ED于點(diǎn)O、P，再證明△FMN、△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等邊三角形即可求解．【詳解】設(shè)AB交EF、FD與點(diǎn)N、M，AC交EF、ED于點(diǎn)G、H，BC交FD、ED于點(diǎn)O、P，如圖，∵六邊形MNGHPO是正六邊形，∴∠GNM=∠NMO=120°，∴∠FNM=∠FMN=60°，∴△FMN是等邊三角形，同理可證明△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等邊三角形，∴MO=BM，NG=AN，OP=PD，GH=HE，∴NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB，GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE，∵等邊△ABC≌等邊△DEF，∴AB=DE，∵AB=27cm，∴DE=27cm，∴正六邊形MNGHPO的周長(zhǎng)為：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm，故答案為：54．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握正六邊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共52分；第17-18每小題5分，第19-22每小題6分，第23小題8分，第24小題10分）17．已知銳角內(nèi)接于，于點(diǎn)．(1)若，弦的長(zhǎng)為，求的半徑；(2)請(qǐng)用無刻度直尺畫出的角平分線．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】(1)的半徑2(2)見解析【分析】（1）連接OB，OC．解直角三角形OBD即可．（2）延長(zhǎng)OD交⊙O于M，連接AM，射線AM即為∠BAC的角平分線．【詳解】（1）解：連接OB，OC．∴∠BOC=2∠BAC，∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，∵OD⊥BC，OB=OC，∴BD=CD=，∠BOD=∠BOC=60°，∴∠OBD=30°，∴OD=OB，∵，∴，∴OB=2，故⊙O的半徑為2；（2）解：延長(zhǎng)OD交⊙O于M，連接AM，射線AM即為∠BAC的角平分線．∵OD⊥BC，∴，∴∠BAM=∠CAM．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖，勾股定理，垂徑定理，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．18．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形G上點(diǎn)P（x，y）的縱坐標(biāo)y與其橫坐標(biāo)x的差y﹣x稱為P點(diǎn)的“坐標(biāo)差”，而圖形G上所有點(diǎn)的“坐標(biāo)差”中的最大值稱為圖形G的“特征值”．(1)①點(diǎn)A（1，3）的“坐標(biāo)差”為；②拋物線的“特征值”為；(2)某二次函數(shù)的“特征值”為﹣1，點(diǎn)B（m，0）與點(diǎn)C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸和y軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)B與點(diǎn)C的“坐標(biāo)差”相等．①直接寫出m＝；（用含c的式子表示）②求此二次函數(shù)的表達(dá)式．(3)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以M（2，3）為圓心，2為半徑的圓與直線y＝x相交于點(diǎn)D、E，請(qǐng)直接寫出⊙M的“特征值”為．【答案】(1)①2；②4；(2)①m＝?c；②；(3)1＋2．【分析】（1）①②根據(jù)“坐標(biāo)差”，“特征值”的定義計(jì)算即可；（2）因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)C的“坐標(biāo)差”相等，推出B（?c，0），把（?c，0）代入，得到：，推出c＝1?b，因?yàn)槎魏瘮?shù)（c≠0）的“特征值”為?1，所以的最大值為?1，可得＝?1，解得b＝3，由此即可解決問題；（3）如圖，設(shè)M（2，3），作MK⊥x軸于K，交⊙M于N，MJ⊥y軸于J，作∠JMN的平分線交⊙M于T，觀察圖象，根據(jù)“特征值”的定義，可知點(diǎn)T的“坐標(biāo)差”的值最大．【詳解】（1）①點(diǎn)A（1，3）的“坐標(biāo)差”為＝3?1＝2，故答案為2；②設(shè)P（x,y）為拋物線上一點(diǎn)，坐標(biāo)差＝，最大值為4，所以拋物線的“特征值”為4故答案為4．（2）①由題意：0?m＝c?0，可得m＝?c.②∵C（0，c），又∵點(diǎn)B與點(diǎn)C的“坐標(biāo)差”相等，∴B（?c,0），把（?c,0）代入y＝?x2＋bx＋c,得到：0＝?c2?bc＋c,∴c＝1?b,∵二次函數(shù)（c≠0）的“特征值”為?1所以的最大值為?1，∴＝?1，解得b＝3，∴c＝?2，∴二次函數(shù)的解析式為．（3）如圖，設(shè)M（2，3），作MK⊥x軸于K，交⊙M于N，MJ⊥y軸于J，作∠JMN的平分線交⊙M于T，觀察圖象，根據(jù)“特征值”的定義，可知點(diǎn)T的“坐標(biāo)差”的值最大．作TF⊥x軸于E交MJ于F．易知△TMF是等腰直角三角形，∵TF＝FM＝，EF＝KM＝3，EK＝FK＝M＝，∴OE＝OK?EK＝2?，TE＝3＋，半徑為2的圓的“特征值”為3＋?（2?）＝1＋2．故答案為1＋2．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、“坐標(biāo)差”，“特征值”的定義、等腰直角三角形的性質(zhì)、圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建函數(shù)解決最值問題，屬于中考?jí)狠S題．19．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m）（m＞0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），以A點(diǎn)為圓心OA為半徑作⊙A，將△AOB繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（）至處．(1)如圖1，m=4，α=，求點(diǎn)的坐標(biāo)及AB掃過的面積；(2)如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求證：是⊙O的切線；(3)如圖3，m=2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)直線與⊙A相交時(shí)，直接寫出α的范圍．【答案】(1)（2，2），AB掃過的面積為5π(2)見解析(3)當(dāng)直線與⊙A相交時(shí)，α的范圍為：或【分析】（1）先判斷出旋轉(zhuǎn)后O'B⊥x軸，從而得出點(diǎn)O'的坐標(biāo)，進(jìn)而判斷出是AB掃過的面積是以AB為半徑，圓心角為的扇形的面積，（2）先判斷出．即可得出，進(jìn)而得出即可得出結(jié)論；（3）找出與⊙A相切時(shí)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)即可確定出范圍．【詳解】（1）當(dāng)α=時(shí)，⊥x軸，由旋轉(zhuǎn)知，，∴（2，2），在Rt△AOB中，OB=2，OA=m=4，∴AB=2由旋轉(zhuǎn)知，BA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到，∴AB掃過的面積==5π；（2）由旋轉(zhuǎn)知，AB=A'B，∴，∵三點(diǎn)在同一直線上，∴，在△AO'B和△A'O'B中，，∴，由旋轉(zhuǎn)知，，∴，∴是⊙O的切線；（3）∵m=2，∴A（0，2），∵B（0，2），∴OA=OB=2，當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，與⊙A相切時(shí)，四邊形剛好是正方形，∴，與⊙A相交，同理：時(shí)，與⊙A相交，即：當(dāng)直線與⊙A相交時(shí)，α的范圍為：或．【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了扇形的面積公式，全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理，解本題的關(guān)鍵判斷出，，是一道中等難度的中考?？碱}．20．如圖1，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為12cm，∠B＝60°，M，N分別在邊AB，CD．上，AM＝3cm，DN＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)，沿折線MB﹣BC以1cm/s的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)C重合）；△APC的外接圓⊙O與CD相交于點(diǎn)E，連接PE交AC于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．(1)∠APE＝°；(2)若⊙O與AD相切，①判斷⊙O與CD的位置關(guān)系；②求的長(zhǎng)；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求CF的最大值，并判斷此時(shí)PE與AC的位置關(guān)系；(4)若點(diǎn)N在⊙O的內(nèi)部，直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)60°(2)①⊙O與CD相切；②(3)CF的最大值為3cm，此時(shí)AC⊥PE(4)當(dāng)0<t<1時(shí)或17<t<21時(shí)，點(diǎn)N在圓內(nèi)部；【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)易證△ACD為等邊三角形，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等即可得到∠APE的度數(shù)；（2）①先找出⊙O與AD相切時(shí)的情況，根據(jù)切線長(zhǎng)定理即可證明⊙O與CD相切；②根據(jù)切線長(zhǎng)定理和菱形的性質(zhì)，可求得圓的半徑，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解；（3）要使CF取得最大值，則AF應(yīng)該取最小值，當(dāng)AC⊥PE時(shí)，AF最小，此時(shí)CF取得最大值，求出即可；（4）分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)P在AB上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD為菱形，∠B＝60°，∴∠D=∠B＝60°，AD=CD，∴△ACD為等邊三角形，∴∠ACE=60°，∴∠APE=∠ACE=60°，故答案為：60°．（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，⊙O與AD相切，①∵四邊形ABCD為菱形，∴AD=CD，∵⊙O與AD相切，∴⊙O與CD相切；②連接OD，由（1）可知，∠ADC=60°，∵AD、CD分別與⊙O相切，∴∠ADO=∠ADC=30°，∴AO==，∴；（3）由圖可知：CF=AC-AF，∵AB=BC，∠B=60°，∴△ABC為等邊三角形，則AC=12cm，∠ACB=60°，∴要使CF取得最大值，則AF應(yīng)該取最小值，當(dāng)AC⊥PE時(shí)，AF最小，此時(shí)CF取得最大值，∵點(diǎn)O為△APC外接圓圓心，∴OA=OC=OP==6cm，∵∠ACB=60°，∴CF==3cm，綜上：CF的最大值為3cm，此時(shí)AC⊥PE．（4）①當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，∵四邊形APCE為圓的內(nèi)接四邊形，∴∠APC+∠AEC=180°，∵∠AED++∠AEC=180°，∴∠APC=∠AED，在△APC和△DEA中，AC=AD，∠PAC=∠D，∠APC=∠AED，∴△APC≌△DEA，∴AP=DE，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)N重合時(shí)，DE=DN=AP=4，∴MP=4-3=1cm，∴t=1s，當(dāng)0<t<1時(shí)，點(diǎn)N在圓內(nèi)部；②當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵∠AEP=∠ACP=60°，∴△APE為等邊三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠BAP=∠CAE，在△BAP和△CAE中，AB=AC，∠BAP=∠CAE，AP=AE，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，當(dāng)點(diǎn)E與帶你N重合時(shí)，CE=CN=BP=12-4=8cm，此時(shí)t==9+8=17s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，t=21s，當(dāng)17<t<21時(shí)，點(diǎn)N在圓內(nèi)部；綜上：當(dāng)0<t<1時(shí)或17<t<21時(shí)，點(diǎn)N在圓內(nèi)部．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，以及和圓相關(guān)的內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．注意在解題過程中靈活運(yùn)用“同弧所對(duì)的圓周角相等”這一定理．21．如圖，為正五邊形的外接圓，已知，請(qǐng)用無刻度直尺完成下列作圖，保留必要的畫圖痕跡．(1)在圖1中的邊上求作點(diǎn)，使；(2)在圖2中的邊上求作點(diǎn)，使．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接AO并延長(zhǎng)與CD相交，連接EF交AO延長(zhǎng)線于M，連接BM與DE的交點(diǎn)即為所求作；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接BO并延長(zhǎng)與DE相交，連接AG交BO延長(zhǎng)線于N，連接CN并延長(zhǎng)即可．【詳解】（1）連接AO并延長(zhǎng)與CD相交，連接EF交AO延長(zhǎng)線于M，連接BM交DE于點(diǎn)G，則點(diǎn)G為所求作，如圖1所示；理由：∵⊙O為正五邊形的外接圓，∴直線AO是正五邊形ABCDE的一條對(duì)稱軸，點(diǎn)B與點(diǎn)E、點(diǎn)C與點(diǎn)D分別是一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)．∵點(diǎn)M在直線AO上，∴射線BM與射線EF關(guān)于直線AO對(duì)稱，從而點(diǎn)F與點(diǎn)G關(guān)于直線AO對(duì)稱，∴CF與DG關(guān)于直線AO對(duì)稱．∴DG=CF．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接BO并延長(zhǎng)與DE相交，連接AG交BO延長(zhǎng)線于N，連接CN，如圖2所示；【點(diǎn)睛】本題考查了作圖：無刻度直尺作圖，考查了正五邊形的對(duì)稱性質(zhì)，掌握正五邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．已知⊙O的半徑和正方形ABCD的邊長(zhǎng)均為1，把正方形ABCD放在⊙O中，使頂點(diǎn)A，D落在⊙O上，此時(shí)點(diǎn)A的位置記為，如圖1，按下列步驟操作：如圖2，將正方形ABCD在⊙O中繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落到⊙O上，完成第一次旋轉(zhuǎn)；再繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落到⊙O上，完成第二次旋轉(zhuǎn)；……（1）正方形ABCD每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為______°；（2）將正方形ABCD連續(xù)旋轉(zhuǎn)6次，在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)B與之間的距離的最小值為______．【答案】

【分析】根據(jù)題意可知是等邊三角形，每一次旋轉(zhuǎn)可以轉(zhuǎn)化為等邊三角旋轉(zhuǎn)60度，則正方形各頂點(diǎn)構(gòu)成正六邊形，邊長(zhǎng)為1，進(jìn)而求得每次旋轉(zhuǎn)的角度；在正方形的旋轉(zhuǎn)過程中，第三次旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)B與之間的距離的最小值為的直徑減去正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度【詳解】⊙O的半徑和正方形ABCD的邊長(zhǎng)均為1，是正三角形根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得正方形各頂點(diǎn)構(gòu)成正六邊形，即正方形每一次旋轉(zhuǎn)的角度為30°,如圖，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑如圖中部分，正方形的邊長(zhǎng)為1，正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，的半徑為1最短距離為故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正三角形的性質(zhì)，找到正方形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．23．如圖，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，DO⊥BE于點(diǎn)O，連接AD交BC于F，若AC=FC．(1)求證：AC是⊙O的切線：(2)若BF=8，DF=，求⊙O的半徑；(3)若∠ADB=60°，BD=1，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(1)見解析(2)6(3)【分析】（1）連接OA．由，可得．由，可得．由，可得，所以．結(jié)合，，，可得．所以，即AC是