數(shù)學(xué)物理方程習(xí)題課課件

二、無界弦的受迫振動和齊次化原理由疊加原理可知，若是初值問題齊次方程，非齊次初始條件二、無界弦的受迫振動和齊次化原理由疊加原理可知，若是初值問題1是初值問題則是初值問題（10）～（11）的解。非齊次方程，齊次初始條件一維非齊次波動方程初值問題的Kirchhoff公式是初值問題則是初值問題（10）～（11）的解。非齊次方程，2定理1（齊次化原理或Duhamel原理）設(shè)若滿足：則定理1（齊次化原理或Duhamel原理）設(shè)若3三、半無界弦的振動問題對稱延拓法的理論依據(jù)：如果自由項初始數(shù)據(jù)和是奇（偶）函數(shù)，則由表達(dá)式（19）所定義的函數(shù)是的奇（偶）函數(shù)。的三、半無界弦的振動問題對稱延拓法的理論依據(jù)：如果自由項初始數(shù)4端點固定

端點自由奇延拓偶延拓端點固定端點自由奇延拓偶延拓5四、三維波動方程三維波動方程初值問題解的泊松公式四、三維波動方程三維波動方程初值問題解的泊松公式6非齊次方程的初值問題和推遲勢其中Kirchhoff公式

非齊次方程的初值問題和推遲勢其中Kirchhoff公式7五、二維齊次波動方程的初值問題二維波動方程初值問題的Poisson公式五、二維齊次波動方程的初值問題二維波動方程初值問題的Pois8二維非齊次波動方程的初值問題利用疊加原理和齊次化原理，可以得到其解為二維非齊次波動方程的初值問題利用疊加原理和齊次化原理，可以得9五、依賴區(qū)域、影響區(qū)域、決定區(qū)域從達(dá)朗貝爾公式（9）還可看出，解在任一點的值為可見的值完全由在區(qū)間上的值唯一確定，而與其它點上的初值無關(guān)。我們稱區(qū)間為點的依賴區(qū)間。依賴區(qū)間如圖顯然，它是由過點條斜率分別為軸所截得的區(qū)間。的兩的直線在1維五、依賴區(qū)域、影響區(qū)域、決定區(qū)域從達(dá)朗貝爾公式（9）還可看出10，，過點作一特征線過點作另一特征線它們和區(qū)間圍成一個三角形區(qū)域K，該區(qū)域中任一點的依賴區(qū)間都落在內(nèi)，我們稱區(qū)域K為區(qū)間的決定區(qū)域。決定區(qū)域K如圖在區(qū)間上給定初值，就可以在決定區(qū)域K中決定初值問題的解。

軸上任取一區(qū)間在，因此解任一點的數(shù)值完全由區(qū)間上的初值決定，而與此區(qū)間外的初始條件無關(guān)，在K中的，，過點作一特征線過點作另一特征線它們和區(qū)間圍成一個三角形區(qū)11因此該擾動的影響范圍是，影響區(qū)域如圖下面我們考慮當(dāng)初始時刻發(fā)生有限區(qū)間上的擾動時，在時刻，它所影響的區(qū)域是什么？。由解的物理意義可知，在時刻

，左傳播波到達(dá)區(qū)間右傳播波到達(dá)區(qū)間

我們把稱為區(qū)間的影響區(qū)域。平面上的區(qū)域因此該擾動的影響范圍是12依賴區(qū)域在二維情形下，任取一點由二維齊次波動方程的初值問題解的泊松公式得2維、3維依賴區(qū)域在二維情形下，任取一點由二維齊次波動方程的初值問題解13由此可見，解在上的值依賴于初值函數(shù)在圓域上的值，而與在圓外的值無關(guān)。圓域稱為點的依賴區(qū)域。它可看作錐體與平面相交截得的圓域。在三維情形下，任取一點由三維齊次波動方程的初值問題解的泊松公式可知，它的依賴由此可見，解在上的值依賴于初值函數(shù)在圓域上的值，而與在圓外的14區(qū)域是球面它可看作錐面與超平面相交所截得的球面。決定區(qū)域在二維情形下，對于錐體中任何一點其解的依賴區(qū)域都包含在圓域內(nèi)。因此圓域就決定了錐體中每一點上解的值。錐體稱為圓域的決定區(qū)域。區(qū)域是球面它可看作錐面與超平面相交所截得的球面。決定區(qū)域在二15類似地，在三維情形下，給定球域我們稱空間的錐體域為球域的決定區(qū)域。解在錐體域內(nèi)任何一點的值都由球域上的初值所決定。影響區(qū)域在二維情形下，我們在初始平面任取一點作一錐體域類似地，在三維情形下，給定球域我們稱空間的錐體域為球域的決定16錐體域中任何一點其依賴區(qū)域都包括點即解受到上定義的初值和的影響，而外任何一點的依賴區(qū)域都不包含點稱錐體域為點的影響區(qū)域。類似地，錐面稱為點的影響區(qū)域，即點處給定的初值只影響到解在上的點的取值，而不影響解在外的點的取值。錐體域中任何一點其依賴區(qū)域都包括點即解受到上定義的初值和的影17特征錐以點為頂點的圓錐面稱為二維波動方程的特征錐。以