空間向量及其運(yùn)算(經(jīng)典)

空間向量及其運(yùn)算(經(jīng)典)§8.5空間向量及其運(yùn)算1.空間向量的基本概念-零向量：模為0的向量-單位向量：長度（模）為1的向量-相等向量：方向相同且模相等的向量-相反向量：方向相反且模相等的向量-共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線-共面向量：平行于同一個(gè)平面的向量2.共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理(1)共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λb。推論如圖所示，點(diǎn)P在l上的充要條件是OP=OA+ta，其中a叫直線l的方向向量，t∈R，在l上取AB=a，則OP=OA+tAB或OP=(1?t)OA+tOB。(2)共面向量定理的向量表達(dá)式：p=xa+yb，其中x，y∈R，a，b為不共線向量，推論的表達(dá)式為MP=xMA+yMB或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有OP=OM+xMA+yMB或OP=xOM+yOA+zOB，其中x+y+z=1。(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p=xa+yb+zc，把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底。3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念①兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作OA=a，OB=b，則∠AOB叫做向量a與向量b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉=π/2，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b。②兩向量的數(shù)量積：已知空間兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b=|a||b|cos〈a，b〉。(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律①結(jié)合律：(λa)·b=λ(a·b)；②交換律：a·b=b·a；③分配律：a·(b+c)=a·b+a·c。4.空間向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用(1)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，則a·b=a1b1+a2b2+a3b3。(2)共線與垂直的坐標(biāo)表示：設(shè)a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，則a∥b?a=λb?a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3。若a⊥b，則a·b=0。1.$a=λb$，$a⊥b$$\Leftrightarrow$$a·b=0$($a$，$b$均為非零向量)。2.模、夾角和距離公式：設(shè)$a=(a_1,a_2,a_3)$，$b=(b_1,b_2,b_3)$，則$|a|=a·a=a_1^2+a_2^2+a_3^2$，$a·b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$，$\cos〈a，b〉=\frac{a·b}{|a||b|}$。設(shè)$A(a_1,b_1,c_1)$，$B(a_2,b_2,c_2)$，則$d_{AB}=|AB|=\sqrt{(a_2-a_1)^2+(b_2-b_1)^2+(c_2-c_1)^2}$。1.判斷下面結(jié)論是否正確：(1)空間中任意兩非零向量a，b共面。(√)(2)在向量的數(shù)量積運(yùn)算中$(a·b)·c=a·(b·c)$。(×)(3)對(duì)于非零向量b，由$a·b=b·c$，則$a=c$。(×)(4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同。(√)(5)若$A$、$B$、$C$、$D$是空間任意四點(diǎn)，則有$AB+BC+CD+DA=0$。(×)(6)$|a|-|b|=|a+b|$是$a$、$b$共線的充要條件。2.在平行六面體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$M$為$A_1C_1$與$B_1D_1$的交點(diǎn)。若$AB=a$，$AD=b$，$AA_1=c$，則與$BM$相等的向量是$-a+b+c$。3.已知正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點(diǎn)$E$為上底面$A_1C_1$的中心，若$AE=AA_1+xAB+yAD$，則$x=1$，$y=1$。4.同時(shí)垂直于$a=(2,2,1)$和$b=(4,5,3)$的單位向量是$\pm\frac{1}{\sqrt{22}}(-2,2,3)$。解析(1)由向量減法的定義，A1O－AB－AD＝A1O－(AB＋AD)，2而AB＋AD＝ABCD，所以A1O－AB－AD＝A1O－ABCD＝A1O－AA1=－1AA2=－1AC.2(2)由OA＝OC1+AC1得OC1＝OA－AC1=OA－(AB＋AD)1=OA－AB－AD1=2A1O－ABCD2=2A1O－2AA1=2(A1O－AA1)2=2(O1C－AA1).2所以O(shè)C1＝2(A1O－AA1)2=2(O1C－AA1).可以利用向量共面的性質(zhì)，如證明E、F、G、H四點(diǎn)共面，即證明向量EF，EG，EH共面，亦即證明EF∥(EG×EH).(3)在證明過程中，可以運(yùn)用向量加減法、向量共線、向量共面等基本概念和定理，同時(shí)也要注意畫圖、標(biāo)記、化簡等步驟，以保證證明的嚴(yán)謹(jǐn)性和清晰度?！郃N·MC＝(q＋r)·(p＋q＋r)＝p·q＋q·r＋r·p＋q2＋r2.21∴cosθ＝AN·MCp·q＋q·r＋r·p＋q2＋r2。2|AN||MC|2a2→→∴cosθ＝p·q＋q·r＋r·p2a2。2a2→→∴cosθ＝12?！唳龋溅?3.→∴所求角的余弦值為1/2.已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，求：(1)向量a與向量b的夾角的余弦值；(2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值。解：(1)由向量的數(shù)量積公式可得：a·b＝1×x＋2×(x2＋y－2)＋3×y＝x2＋2x＋2y－4|a|＝√(1^2+2^2+3^2)＝√14|b|＝√(x^2+(x2+y-2)^2+y^2)所以，向量a與向量b的夾角的余弦值為：cosθ＝a·b/|a||b|＝(x2＋2x＋2y－4)/[√14√(x^2+(x2+y-2)^2+y^2)](2)方法一：由于ka＋b＝(k－1，k,2)和ka－2b＝(k＋2，k，－4)互相垂直，所以它們的數(shù)量積為0，即：(k－1)(k＋2)＋k^2－8＝0解得k＝2或k＝－5/3。方法二：由于ka＋b和ka－2b互相垂直，所以它們的數(shù)量積為0，即：(k-1)x+k(x2+y-2)+2y=0(k+2)x+k(x2+y-2)-4y=0解得k＝2或k＝－5/3。注意：在計(jì)算過程中，應(yīng)注意向量的數(shù)量積公式和向量的模長公式，同時(shí)要注意“同向”的定義，避免意義不清的錯(cuò)誤。答案B解析由題意得，OA，OB，OC為一個(gè)基底，即三向量線性無關(guān)，四點(diǎn)不共線.同時(shí)，三向量張成的平面即為四點(diǎn)所在的平面，故四點(diǎn)共面，但不共線.故選B.二、填空題1.已知向量a＝(1,2,3)，b＝(2,3,4)，則a·b＝（）.答案20解析a·b＝1×2＋2×3＋3×4＝20.2.已知向量a＝(1,2,3)，b＝(2,3,4)，則向量a＋b＝（）.答案(3,5,7)解析a＋b＝(1＋2,2＋3,3＋4)＝(3,5,7).三、計(jì)算題1.已知向量a＝(1,2,3)，b＝(2,3,4)，求向量a與向量b的夾角.解析a·b＝1×2＋2×3＋3×4＝20，|a|＝√(1^2＋2^2＋3^2)＝√14，|b|＝√(2^2＋3^2＋4^2)＝√29，∴cosθ＝a·b/|a||b|＝20/(√14×√29)，∴θ＝arccos(20/(√14×√29))≈18.43°.2.已知向量a＝(1,2,3)，b＝(2,3,4)，求向量a在向量b上的投影向量.解析投影向量公式為projba＝(a·b/|b|^2)×b，a·b＝1×2＋2×3＋3×4＝20，|b|^2＝2^2＋3^2＋4^2＝29，∴projba＝(20/29)×(2,3,4)＝(40/29,60/29,80/29).解析計(jì)算b-a得到(1+t,t-1,0)，所以|b-a|的平方為(1+t)^2+(t-1)^2=2t^2+2。這是一個(gè)關(guān)于t的二次函數(shù)，開口向上，最小值為2，即|b-a|的最小值為根號(hào)2乘以5，即5根號(hào)2。與AC1垂直，所以BD1在平面ABC中，且與AB、BC垂直，所以BD1＝AB＝BC＝1，且∠ABD1＝∠CBD1＝60°，∴三角形ABD1為等邊三角形，且∠ACD1＝120°，∴三角形ACD1為等腰三角形，且∠CAD1＝30°，∴cos∠BD1AC1＝cos150°＝－√3/2.即BD1與AC1夾角的余弦值為－√3/2.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，分別連接A1B1和BB1的中點(diǎn)M、N。求直線AM和CN所成角的余弦值。解析：可以通過建立空間直角坐標(biāo)系來求解。以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后可以得到A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，M(1/2,1/2,1)，N(1,1/2,1/2)。因此，向量AM=(0,1,0)，向量CN=(1,0,-1/2)。根據(jù)向量的點(diǎn)積公式，可以得到AM·CN=0，|AM|=1，|CN|=sqrt(5)/2，因此cos〈AM，CN〉=0，所以直線AM和CN所成角的余弦值為0。2.51+2^2=5.014.已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1,-1,5)。(1)求以AB→，AC→為邊的平行四邊形的面積；(2)若|a|=3，且a分別與AB→，AC→垂直，求向量a的坐標(biāo)。解：(1)由題意可得：AB→=(-2,-1,3)，AC→=(1,-3,2)，∴cos〈AB→，AC→〉=AB·AC|AB→||AC→|=-2+3+614×14=2.∴sin〈AB→，AC→〉=32，∴以AB→，AC→為邊的平行四邊形的面積為S=2×12|AB→|·|AC→|·sin〈AB→，AC→〉=14×32=21.(2)設(shè)a=(x,y,z)，由題意得x^2+y^2+z^2=3-2x-y+3z=0或y=-1，x-3y+2z=1或x=1，∴向量a的坐標(biāo)為(1,1,1)或(-1,-1,-1)。5.直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC=BC=AA′，∠ACB=90°，D、E分別為AB、BB′的中點(diǎn)。(1)求證：CE⊥A′D；(2)求異面直線CE與AC