如何求解函數(shù)圖象選擇題

精品文檔-下載后可編輯如何求解函數(shù)圖象選擇題近幾年，浙江省的高考數(shù)學(xué)卷中常常會(huì)出現(xiàn)函數(shù)圖象選擇題.這類問題蘊(yùn)涵了數(shù)形結(jié)合的思想方法，要求同學(xué)們既能根據(jù)函數(shù)解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，又能將函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象特征，對(duì)同學(xué)們的識(shí)圖能力和作圖能力都有較高的要求.如何求解函數(shù)圖象選擇題呢？這就是我們今天要討論的問題.

例1（2022年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國(guó)卷第10題）已知函數(shù)f（x）=，則y=f（x）的圖象大致為

解析一：y=f（x）的定義域?yàn)閤>-1且x≠0，排除選項(xiàng)D；取x=e-1>0，得y==ln=，所以-ln2

點(diǎn)評(píng)：解析一使用了特殊點(diǎn)法.一般來說，圖象中的特殊點(diǎn)（如零點(diǎn)、極值點(diǎn)等）常常具有某些特定的含義，能為解題提供重要的信息.

我們還可以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來解答例1.要分析函數(shù)的單調(diào)性，往往需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以判斷函數(shù)的圖象特征.

解析二：y=f（x）的定義域?yàn)閤>-1且x≠0，排除選項(xiàng)D.對(duì)f（x）=求導(dǎo)得f′（x）=.當(dāng)x>0時(shí)，f′（x）>0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，排除選項(xiàng)A；當(dāng)-1

點(diǎn)評(píng)：相對(duì)來說，解法一比較簡(jiǎn)捷，解法二則更具常規(guī)性.通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)圖象，始終是現(xiàn)階段高考的熱點(diǎn).

例2（2022年高考數(shù)學(xué)陜西卷理科第3題）設(shè)函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（-x）=f（x），f（x+2）=f（x），則函數(shù)y=f（x）的圖象是

解析：由f（-x）=f（x）可得y=f（x）是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，選項(xiàng)B、D符合條件；由f（x+2）=f（x）可得y=f（x）是周期為2的周期函數(shù)，選項(xiàng)D的圖象的最小正周期是4，選項(xiàng)B的圖象的最小正周期是2，選B.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)函數(shù)解析式反映的對(duì)稱關(guān)系研究函數(shù)圖象也是求解函數(shù)圖象選擇題的常用方法.為了更快更準(zhǔn)確地分析函數(shù)圖象的對(duì)稱性，同學(xué)們應(yīng)掌握奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱、偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱、互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱等知識(shí)，并了解函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f（-x），y=-f（x），y=f（x），y=f（x）的圖象的關(guān)系.

總的來說，特殊點(diǎn)法方便而快捷，合理取點(diǎn)是關(guān)鍵，需要同學(xué)們多加練習(xí)；單調(diào)性研究法常規(guī)而自然，合理應(yīng)用導(dǎo)數(shù)是根本；對(duì)稱性研究法形象而直觀，但需要同學(xué)們有敏銳的觀察力，并熟悉奇函數(shù)、偶函數(shù)、冪函數(shù)等多種基本函數(shù)的圖象.將以上方法融會(huì)貫通，才是解答函數(shù)圖象選擇題的根本出路.

例3（2022年高考數(shù)學(xué)山東卷理科第9題）函數(shù)y=的圖象大致為

解析：先使用對(duì)稱性研究法：設(shè)g（x）=cos6x，h（x）=2x-2-x，則g（x）為偶函數(shù)，h（x）為奇函數(shù)，所以y=為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除選項(xiàng)A.再使用特殊點(diǎn)法：令y=0，得cos6x=0，此時(shí)6x=+kπ（k∈Z），解得x=+，故函數(shù)有無窮多個(gè)零點(diǎn)，排除選項(xiàng)C.最后使用單調(diào)性分析法：當(dāng)y=0時(shí)，y=的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)為，0，當(dāng)00且單調(diào)遞增，所以函數(shù)y=>0且單調(diào)遞減，排除選項(xiàng)B.選D.

小結(jié)：在求解函數(shù)圖象選擇題時(shí)，有些問題比較簡(jiǎn)單，只要采用一種方法就可解決.如例1中的函數(shù)含有l(wèi)n（x+1），我們就可以考慮代入特殊值x=e-1判斷正負(fù)，或用常規(guī)的求導(dǎo)方法解決.例2的題設(shè)f（-x）=f（x），f（x+2）=f（x）明確地體現(xiàn)了函數(shù)的奇偶性和周期性，因此可以利用函數(shù)的對(duì)稱性來解題.有些題目則比較復(fù)雜，如例3中的函數(shù)是分式形式，且同時(shí)含有三角函數(shù)和冪函數(shù)，僅用一種方法難以判定函數(shù)圖象的特征，這就需要同學(xué)們綜合多種方法進(jìn)行分析.

要順利地求解函數(shù)圖象選擇題，首先應(yīng)掌握正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)等常見函數(shù)的圖象特征，并判斷題中函數(shù)的圖象是否是由這些常見函數(shù)的圖象通過平移、伸縮等變換而來的.其次，要靈活應(yīng)用函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、零點(diǎn)、極值點(diǎn)等性質(zhì)排除不符合題意的選項(xiàng)，綜合判定函數(shù)圖象的特征.

我們可以用一句話概括和記憶求解函數(shù)圖象選擇題的策略：記變換，找特點(diǎn)（值），用性質(zhì)，看趨勢(shì).

【練一練】

函數(shù)y=-2sinx的圖象大致是

【參考答案】

C（提示：y=-2sinx為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A.求導(dǎo)得y′=-2cosx，令y′=0，解得cosx=.設(shè)x0是使cosx=成立的最小正數(shù)，則x0∈0，，所以x=2kπ+x0或2kπ+2π-x0（k∈Z）.又y=cosx在0，上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，cosx>，此時(shí)y′，此時(shí)y′

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