專題163二次根式的加減（教師版）

專題16.3二次根式的加減1.掌握同類二次根式及合并同類二次根式；2.掌握二次根式的加減法則，會運用法則進行二次根式的加減運算；3.能應用運算律及乘法公式熟練地進行二次根式的混合運算。知識點01同類二次根式【知識點】1.同類二次根式概念：化簡后被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。2.合并同類二次根式的方法：把根號外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘法分配律，如【知識拓展1】同類二次根式的辨別例1．（2022·山東煙臺·八年級期中）下列各式與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用二次根式的性質(zhì)化簡，再根據(jù)同類二次根式的定義判斷．【詳解】解：∵，，，，，∴與是同類二次根式的是，故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的化簡，同類二次根式的定義，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關鍵．【即學即練】1.（2022·福建寧德·八年級期中）下列各式化簡后能與合并的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先把各選項中的二次根式化為最簡二次根式，再由同類二次根式的概念即可得出結(jié)論．【詳解】解：A、與不能合并，故不符合題意；B、與不能合并，故不符合題意；C、與能合并，故符合題意；D、與不能合并，故不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查的是同類二次根式，熟知把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式是解題的關鍵．【知識拓展2】根據(jù)同類二次根式求參數(shù)值例2．（2022·遼寧葫蘆島·八年級期末）若與最簡二次根式能合并成一項，則________．【答案】-2【分析】先化簡，因為它與最簡二次根式能合并成一項，所以它們是同類二次根式，被開方數(shù)相同，列出方程即可得到a的值．【詳解】解：∵，它與最簡二次根式能合并成一項，∴1-a=3，∴a=-2，故答案為：-2．【點睛】本題考查了同類二次根式的概念，一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式，牢記同類二次根式的概念是解題的關鍵．【即學即練】2.（2022·河北保定·八年級期中）如果最簡二次根式與能夠合并，那么a的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．10【答案】A【分析】先把化簡成最近二次根式，然后根據(jù)最簡二次根式與能夠合并，得到被開方數(shù)相同，列出一元一次方程求解即可．【詳解】，∵最簡二次根式與能夠合并，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了二次根式化簡，同類二次根式：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式，利用同類二次根式的被開方數(shù)相同是解題的關鍵．【知識拓展3】合并同類二次根式例3．（2022·福建福州·八年級期中）下列式子正確的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二次根式的加減運算法則分別判斷得出答案．【詳解】解：A、，故此選項不合題意；B、無法合并，故此選項不合題意；C、，故此選項不合題意；D、，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】此題主要考查了二次根式的合并，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．【即學即練】3.（2022·廣西賀州·八年級期中）下列計算中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的加減法法則，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A、2和不是同類二次根式，無法合并，故本選項不符合題意；B、和不是同類二次根式，無法合并，故本選項不符合題意；C、和不是同類二次根式，無法合并，故本選項不符合題意；D、，故本選項符合題意；故選：D【點睛】本題主要考查了二次根式的加減法，熟練掌握二次根式的加減法法則是解題的關鍵．知識點02二次根式的加減【知識點】二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并。二次根式加減運算的步驟：①化：將各個二次根式化成最簡二次根式；②找：找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變。【知識拓展1】二次根式的加減例1．（2022·遼寧大連·八年級期中）計算：(1)；(2)【答案】(1)0(2)【分析】（1）先化簡二次根式，再利用二次根式加減運算法則求解即可；（2）先化簡二次根式，再利用二次根式加減運算法則求解即可．（1）解：；（2）解：．【點睛】本題考查二次根式的加減運算，正確化簡二次根式是解答的關鍵．【即學即練1】1．（2022·湖北武漢·八年級期中）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)二次根式加減混合運算法則進行計算即可；（2）先根據(jù)二次根式混合運算法則進行化簡，然后再進行計算即可；（3）先根據(jù)二次根式混合運算法則進行化簡，然后再進行計算即可；（4）先根據(jù)二次根式混合運算法則進行化簡，然后再進行計算即可．（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：【點睛】本題主要考查了二次根式混合運算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和二次根式混合運算法則，是解題的關鍵．【知識拓展2】二次根式的混合運算二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）例2．（2022·遼寧鞍山·八年級期中）計算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的混合運算進行計算即可求解；（2）根據(jù)零次冪，二次根式的混合運算，實數(shù)的混合運算進行計算即可求解．（1）解：原式＝；（2）解：原式＝．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，實數(shù)的混合運算，負整數(shù)指數(shù)冪，零次冪，正確的計算是解題的關鍵．【即學即練2】2．（2022·四川德陽·八年級期中）計算(1).(2).【答案】(1)-5(2)2【分析】（1）原式先計算二次根式的乘除法，再去括號合并即可求出結(jié)果；（2）原式分別化簡，然后再合并即可得到結(jié)果．（1）=--（2+2）=2-3-2-2=-5（2）=2-+4-3-1+=2【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的相關運算法則．3．（2022·山東煙臺·八年級期中）計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡括號內(nèi)二次根式，再做除法運算，最合并同類二次根式即可；（2）先化簡二次根式，并根據(jù)零指數(shù)冪運算法則計算，再合并同類二欠根式即可．（1）解：（2）解：．【點睛】本題考查二次根式混合運算，熟練掌握二次根式運算法則和零指數(shù)冪的運算法則是解題的關鍵．【知識拓展3】二次根式的化簡求值例3．（2022·湖北孝感·八年級期中）已經(jīng)，求下列各式的值：(1)；(2)【答案】(1)12(2)【分析】（1）根據(jù)完全平方公式寫成，把x、y的值代入計算即可；（2）根據(jù)平方差公式寫成(x+y)(x-y)，把x、y的值代入計算即可．（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查利用乘法公式進行二次根式的化簡，熟記乘法公式是解題的關鍵．【即學即練3】2．（2022·陜西·西北大學附中八年級階段練習）化簡求值已知，，求．【答案】【分析】先計算的值，然后將代數(shù)式化簡，代入的值進行計算即可求解．【詳解】解：∵，，∴，，．【點睛】本題考查二次根式的混合運算，完全平方公式變形求值，掌握二次根式的混合運算是解題的關鍵．3．（2022·山東煙臺·八年級期中）已知，，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】先根據(jù)，，判定x、y同號，都為負數(shù)，再據(jù)此化簡二次根式，合并同類二次根式，然后整代入計算即可．【詳解】解：∵，∴x、y同號，都為負數(shù)∴【點睛】本題考查二次根式的化簡求值，由已知條件判定x、y同號，且都為負數(shù)是解題的關鍵．【知識拓展4】分母有理化例4．（2022·河南平頂山·八年級期中）閱讀下面計算過程：；．請解決下列問題(1)______．(2)利用上面的解法，請化簡：．【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照例題解題過程即可得到結(jié)果；（2）利用例題的規(guī)律化簡各個式子即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：；（2）解：原式【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，分母有理化，弄清閱讀材料中的解題方法是解題的關鍵．【即學即練4】4．（1）（2022·山西實驗中學八年級階段練習）觀察下列等式：；；；回答下列問題：(1)______；(2)______；（為正整數(shù)）(3)題：計算______．題：利用上面所揭示的規(guī)律計算：．【答案】(1)(2)(3)A：1；B：【分析】（1）利用分母有理化，進行計算即可解答；（2）利用分母有理化，進行計算即可解答；（3）題：利用積的乘方和平方差公式進行計算即可解答；題：先利用上面的規(guī)律化簡每一個二次根式，然后再進行計算即可解答．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：，故答案為：；（3）解：題：，故答案為：；題：．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，平方差公式，分母有理化，數(shù)字類的變化規(guī)律探究，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．（2）（2022·山西·壽陽縣教研室八年級期中）閱讀材料：像這樣，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．在進行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根式，即為分母有理化．例如：，解答下列問題：(1)請寫出一個的有理化因式；(2)將分母有理化;(3)計算：【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)平方差公式及有理化因式定義即可得到答案；（2）分子分母同時乘以分母的有理化因式即可得到答案；（3）先把括號里的分式分母有理化并計算，在相乘即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，，∴的有理化因式可以是：；（2）解：原式；（3）解：原式．【點睛】本題考查有理化因式，分母有理化及二次根式有理化規(guī)律，解題的關鍵是先分母有理化進行前后相互抵消，最后利用平方差公式求解．【知識拓展5】已知字母的值，化簡求值例5．（2022·上海市八年級期中）先化簡：，再求當，時的值．【答案】原式，當，時，原式【分析】根據(jù)二次根式的運算法則，將代數(shù)式進行化簡，再代入求值即可．【詳解】解：原式，當，時，原式．【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡求值，解題的關鍵是掌握二次根式的混合運算法則和運算順序，以及運用平方差公式．【即學即練5】5．（2022·福建三明·八年級期中）已知，，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】先利用已知，求得的值，然后把所求的代數(shù)式利用完全平方公式變形后代入求值即可．【詳解】解：∵，，∴，∴．【點睛】本題考查了代數(shù)式的求值和二次根式的運算，根據(jù)題目的特點把已知或所求的代數(shù)式作適當?shù)淖冃问墙忸}的關鍵．【知識拓展6】已知條件式，化簡求值例6．（2022·江西上饒·八年級期中）已知，，求的值．【答案】【分析】由題意可得與都為負數(shù)，再利用二次根式的化簡對式子進行整理，再代入相應的值運算即可．【詳解】解：∵，，∴，，．【點睛】本題主要考查二次根式的化簡求值，解答的關鍵是熟練掌握相應的運算法則．【即學即練6】6．（2022·江蘇南通·八年級期中）已知，．求的值．【答案】【分析】先計算x+y=?6，xy=6，可得x<0，y<0，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，然后x+y=?6，xy=6，代入進行計算即可求解．【詳解】解：∵，∴x+y=?6，xy=6，∴x<0，y<0．原式===．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，分式的化簡，二次根式的混合運算，掌握以上知識是解題的關鍵．【知識拓展7】比較二次根式的大小例7．（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學八年級）比較大小：_______1；_________【答案】

<

<【分析】二次根式比較大小，化簡成相同的形式在比較大小.【詳解】（1）∵，∴，∴，∴（2）∵，∴，∴，∴，故答案為：＜，＜．【點睛】本題考查二次根式的大小比較.【即學即練7】7．（2022·上海市八年級期中）比較大?。篲_____．【答案】＞【分析】先求出與的倒數(shù)，然后進行大小比較．【詳解】∵而，∴．故答案為：＞．【點睛】本題考查了實數(shù)大小比較：利用平方法或倒數(shù)法進行比較大?。局R拓展8】二次根式的應用例8．（2022·廣東·佛山八年級期中）如圖，把圖（1）中兩個小正方形紙片分別沿對角線剪開，拼成一個面積為16cm2的大正方形紙片如圖（2），(1)原小正方形的邊長為cm；(2)若沿此大正方形邊的方向剪出一個長方形，能否使剪出的長方形的長寬之比為2:1，且面積為？若能，試求出剪出的長方形紙片的長寬；若不能，試說明理由．(3)如圖（3）是由5個邊長為1的小正方形組成的紙片，能否把它剪開并拼成一個大正方形？若能，請畫出示意圖，并寫出邊的長度，若不能，請說明理由．【答案】(1)(2)不能，理由見解析(3)能，圖見解析，【分析】（1）根據(jù)小正方形的面積是大正方形面積的一半可得小正方形的面積，即可解決問題；（2）設剪出來的長方形長為cm，寬為xcm，根據(jù)面積為可得x的值，則長為，即可得出結(jié)論；（3）一共有5個小正方形，那么組成的大正方形的面積為5，邊長為，據(jù)此畫出示意圖即可．【詳解】（1）小正方形的面積是大正方形面積的一半，小正方形的面積為（cm2），設小正方形的邊長為a，則，∴（舍去負值），∴小正方形的邊長為cm，（2）解：不能剪出符合要求的長方形紙片，理由如下：設剪出來的長方形長為cm，寬為xcm，依題意得，∴或（舍去），∴長為，∴不能剪出符合要求的長方形紙片；（3）∵一共有5個小正方形，那么組成的大正方形的面積為5，邊長為，畫出示意圖如圖：【點睛】本題考查了圖形的剪拼、正方形的面積、二次根式的實際應用等知識，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關鍵．【即學即練8】8．（2022·福建·古田縣八年級階段練習）探究題(1)用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+32，1+2，5+52．(2)由（1）中各式猜想m+n與2（m≥0，n≥0）的大小，并說明理由．(3)請利用上述結(jié)論解決下面問題：某園林設計師要對園林的一個區(qū)域進行設計改造，將該區(qū)域用籬笆圍成矩形的花圃．如圖所示，花圃恰好可以借用一段墻體，為了圍成面積為200m2的花圃，所用的籬笆至少需要m．【答案】(1)＞，＞，＝，(2)m+n≥2(3)40【分析】（1）分別進行計算，比較大小即可；（2）根據(jù)第（1）問填大于號或等于號，所以猜想m+n≥2；比較大小，可以作差，m+n-2，聯(lián)想到完全平方公式，問題得證；（3）設花圃的長為a米，寬為b米，需要籬笆的長度為（a+2b）米，利用第（2）問的公式即可求得最小值．（1）解：∵4+3=7，2=4，∴，，∵49＞48，∴4+3＞2；∵1+=＞1，2=＜1，∴1+＞2；∵5+5=10，2=10，∴5+5=2．故答案為：＞，＞，=；（2）解：m+n≥2（m≥0，n≥0）．理由如下：當m≥0，n≥0時，∵，∴，∴m-2+n≥0，∴m+n≥2；（3）解：設花圃的長為a米，寬為b米，則a＞0，b＞0，S=ab=200，根據(jù)（2）的結(jié)論可得：，∴籬笆至少需要40米．故答案為：40．【點睛】本題主要考查了二次根式的應用，體現(xiàn)了由特殊到一般的思想方法，解題的關鍵是聯(lián)想到完全平方公式，利用平方的非負性求證．題組A基礎過關練1.（2022·河南商丘·八年級期中）下列計算中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的化簡及同類二次根式的合并，分別進行各選項的判斷即可．【詳解】A．，原式計算錯誤，故本選項錯誤；B．與不是同類二次根式，不能直接合并，故本選項錯誤；C．，計算正確，故本選項正確；D．3與不能合并，故本選項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的加減，解答本題的關鍵掌握二次根式的化簡及同類二次根式的合并．2．（2022·山東臨沂·八年級期中）下列二次根式化簡后能與合并的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)同類二次根式的概念解答即可．【詳解】解：A、，與不是同類二次根式，故本選項不符合題意；B、，與不是同類二次根式，故本選項不符合題意；C、與不是同類二次根式，故本選項不符合題意；D、與是同類二次根式，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查的是同類二次根式的概念，掌握把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式是解題的關鍵．3．（2022·湖北武漢·八年級期中）下列計算正確的是（

）A． B．33C．7 D．【答案】D【分析】利用二次根式的加減法的法則對各項進行運算即可．【詳解】解：A、與不屬于同類二次根式，不能運算，故A不符合題意；B、，故B不符合題意；C、，故C不符合題意；D、，故D符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查二次根式的加減法，詳解的關鍵是對相應的運算法則的掌握．4．（2022·河北廊坊·八年級階段練習）如果一個三角形的面積為，一邊長為，則這條邊上的高為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的面積公式列出算式，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡計算即可．【詳解】解：由三角形的面積公式可得所求高為：故選B．【點睛】本題考查二次根式的綜合應用，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題關鍵．5．（2022·河北滄州·八年級期中）計算的結(jié)果是______．已知最簡二次根式與能進行合并，則______．【答案】

3【分析】①根據(jù)二次根式的加減進行計；②根據(jù)最簡二次根式的定義，以及同類二次根式的定義即可求解．【詳解】解：①；②∵最簡二次根式與能進行合并，∴．故答案為：①，②3．【點睛】本題考查了二次根式的加減運算，最簡二次根式與同類二次根式的定義，掌握以上知識是解題的關鍵．6．（2022·河南濮陽·八年級期中）計算的結(jié)果是______．【答案】【分析】先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可．【詳解】解：==．故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的化簡、二次根式的加減，掌握二次根式的性質(zhì)和合并同類二次根式法則是解題的關鍵．7．（2022·浙江杭州·八年級期末）已知，，則的值是________．【答案】【分析】先求出a+b和a-b的值，把所求的式子進行分解，再代入相應的值運算即可．【詳解】解：∵，，∴∴故答案為【點睛】本題主要考查二次根式的化簡求值，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．8．（2022·湖北武漢·八年級階段練習）已知，則x2+2x﹣3＝_____．【答案】-1【分析】把x2+2x﹣3變形為（x+1）2﹣4，直接代入即可求得結(jié)果．【詳解】∵x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴原式＝（1+1）2﹣4＝﹣1．故答案為：﹣1．【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，把x2+2x﹣3變形為（x+1）2﹣4是解題的關鍵．9．（2022·山東威?！ぐ四昙壠谥校┮阎海?，求下列式子的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)15【分析】（1）代值后分母有理化即可；（2）先將式子轉(zhuǎn)化成完全平方的形式后代值再利用平方差公式進行化簡求值即可．（1）原式=（2）原式=．【點睛】本題考查二次根式的混合運算及分母有理化，解題關鍵是掌握二次根式的混合運算法則．10．（2022·湖北湖北·七年級期中）計算：(1)＋－＋；(2)3＋－(2－)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡二次根式，再進行加減運算即可；（2）先去括號，再把被開方數(shù)相同的項合并即可．（1）解：＋－＋，=3-1-0+，=；（2）解：3＋－(2－)，=，=．【點睛】本題考查了實數(shù)的加減運算，正確化簡二次根式，把被開數(shù)相同的項合并成一項是解本題的關鍵．11．（2022·湖北隨州·八年級期中）計算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）運用二次根式的運算法則計算即可．（2）運用完全平方公式和平方差公式計算即可．（1）==．（2）==．【點睛】本題考查了二次根式的運算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)，平方差公式，完全平方公式是解題的關鍵．12．（2022·山東濱州·八年級期中）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)1(4)0【分析】（1）先根據(jù)二次根式性質(zhì)進行化簡，然后再進行計算即可；（2）先根據(jù)二次根式性質(zhì)進行化簡，然后再按照二次根式乘除運算法則進行計算即可；（3）根據(jù)二次根式混合運算法則進行計算即可；（4）根據(jù)平方差公式和二次根式性質(zhì)和負整數(shù)指數(shù)冪進行運算即可．（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算和實數(shù)混合運算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和混合運算法則，是解題的關鍵．題組B能力提升練1．（2022·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壠谥校┤糇詈喍胃胶湍芎喜?，則的值為（

）【答案】C【分析】根據(jù)最簡二次根式可以合并，得出最簡二次根式為同類二次根式，然后根據(jù)同類二次根式的定義進行解答即可．【詳解】解：∵最簡二次根式和能合并，∴與為同類二次根式，∴，解得：，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了同類二次根式，根據(jù)同類二次根式的定義列出關于x的方程，是解題的關鍵．2．（2022·江西·南城縣第二中學七年級階段練習）已知，，，那么a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把化為再結(jié)合從而可得答案．【詳解】解：∵，，，而∴故選A．【點睛】本題考查的是二次根式的大小比較，二次根式的混合運算，掌握“二次根式的大小比較的方法”是解本題的關鍵．3．（2021·上海市劉行新華實驗學校八年級階段練習）已知最簡二次根式和是同類二次根式，則______．【答案】【分析】根據(jù)同類二次根式定義：兩個被開方數(shù)相同的最簡二次根式是同類二次根，列出方程組求解，得出a、b值，再代入計算即可．【詳解】銀，根據(jù)題意，得，解得：，∴ab=2-1=，故答案為：．【點睛】本題考查同類二次根式概念，代數(shù)式求值，負整理指數(shù)冪的運算，解二元一次方程組，熟練掌握同類二次根式概念是解題的關鍵．4．（2022·山東煙臺·八年級期中）計算的結(jié)果等于______．【答案】【分析】根據(jù)積的乘方的逆運算對原式進行變形，再利用平方差公式進行計算即可；【詳解】解：原式．故答案為：．【點睛】本題考查二次根式的混合運算，能正確利用平方差公式是解題的關鍵．5．（2022·河北邢臺·八年級期末）已知，．（1）______．（2）求的值為______．【答案】

8

53【分析】（1）直接計算即可；（2）先計算出，再把變形為，最后整體代入求值即可．【詳解】解：（1）∵，∴幫答案為：8；（2）∵，∴又∴=故答案為：53【點睛】本題主要考查了二次根式的代簡求值，正確將變形為是解答本題的關鍵．6．（2022·河北·平泉市教育局教研室九年級學業(yè)考試）已知長方形的長為a，寬為b，且，．（1）這個長方形的周長為__；（2）若一正方形的面積和這個長方形的面積相等，則這個正方形的邊長為__．【答案】

【分析】利用長方形的周長公式列出代數(shù)式并求值；利用等量關系另一個正方形的面積=這個長方形的面積列出等式并計算．【詳解】解：∵，．長方形的周長=2×(+)=2×(+)=12；長方形的面積===24，根據(jù)面積相等，則正方形的邊長==．故答案為：；．【點睛】此題主要考查了二次根式的應用，需要掌握長方形和正方形的面積公式與長方形周長公式．7．（2022·山東煙臺·八年級期中）計算：(1)(2)【答案】(1)-(2)4+【分析】（1）利用平方差公式計算二次根式的乘法進而得出答案；（2）直接利用二次根式的加、減、乘、除運算法則化簡，然后合并同類項即可求出答案．（1）解：原式=（）2-（）2=7-（7+）=（2）原式==4-=4+．【點睛】本題主要考查了平方差公式，二次根式的加、減、乘、除運算，正確掌握運算法則是解題的關鍵．8．（2022·遼寧大連·八年級階段練習）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡二次根式，再運用二次根式加減法則計算即可；（2）先化簡二次根式，再運用二次根式加減法則計算即可．（1）解：原式；（2）原式．【點睛】此題主要考查了二次根式的加減，正確化簡二次根式是解題關鍵．9．（2022·山東煙臺·八年級期末）在數(shù)學課外學習活動中，小明和他的同學通到一道題：已知，求的值，他是這樣解答的：∵∴，∴，即，∴．∴．請你根據(jù)小明的解題過程，解決如下問題：若，求的值．【答案】4【分析】先利用，得到，兩邊平方得到，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】∵，∴，∴，即，∴．∴．【點睛】二次根式的化簡求值，熟練掌握分母有理化的方法是解題的關鍵．10．（2022·河南駐馬店·八年級階段練習）先化簡，再求值∶，其中x=，y=4【答案】，【分析】先確定，再利用二次根式的性質(zhì)化簡，然后計算二次根式的加減法，最后將的值代入計算即可得．【詳解】解：由題意得：，，則，將代入得：原式．【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解題關鍵．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·湖北·隨州市曾都區(qū)教學研究室八年級期末）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶和古希臘幾何學家海倫都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫—秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記，那么三角形的面積為．已知的三邊長分別為4，5，7，則的面積為（

）A． B． C． D．8【答案】A【分析】直接將三邊長代入公式求解即可．【詳解】解：∵的三邊長分別為4，5，7，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了學生對題意的理解和對公式的運用，涉及到了二次根式的計算，解題關鍵是讀懂題意，正確將數(shù)值代入公式計算．2．（2022·湖北武漢·八年級期中）用[x]表示不超過x的最大整數(shù)．例如：[3.14]＝3，[﹣3.78]＝﹣4，把x﹣[x]作為x的小數(shù)部分．已知m，m的小數(shù)部分是a，﹣m的小數(shù)部分是b，則的值為（

）A．0 B．1 C．﹣1 D．（1）【答案】C【分析】利用分母有理化化簡m，﹣m的值，求出a，b的值，代入代數(shù)式求值即可．【詳解】解：m＝2，∵1＜3＜4，∴12，∴3＜24，∴a＝231，∵m＝2，∴﹣m＝﹣2，∵1＜3＜4，∴12，∴﹣21，∴﹣4＜﹣23，∴b＝﹣2（﹣4）＝﹣24＝2，∴故選：C．【點睛】本題考查了無理數(shù)