專題163二次根式的加減（教師版）

專題16.3二次根式的加減1.掌握同類二次根式及合并同類二次根式；2.掌握二次根式的加減法則，會(huì)運(yùn)用法則進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算；3.能應(yīng)用運(yùn)算律及乘法公式熟練地進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。知識(shí)點(diǎn)01同類二次根式【知識(shí)點(diǎn)】1.同類二次根式概念：化簡(jiǎn)后被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。2.合并同類二次根式的方法：把根號(hào)外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘法分配律，如【知識(shí)拓展1】同類二次根式的辨別例1．（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期中）下列各式與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再根據(jù)同類二次根式的定義判斷．【詳解】解：∵，，，，，∴與是同類二次根式的是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，同類二次根式的定義，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1.（2022·福建寧德·八年級(jí)期中）下列各式化簡(jiǎn)后能與合并的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先把各選項(xiàng)中的二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再由同類二次根式的概念即可得出結(jié)論．【詳解】解：A、與不能合并，故不符合題意；B、與不能合并，故不符合題意；C、與能合并，故符合題意；D、與不能合并，故不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是同類二次根式，熟知把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展2】根據(jù)同類二次根式求參數(shù)值例2．（2022·遼寧葫蘆島·八年級(jí)期末）若與最簡(jiǎn)二次根式能合并成一項(xiàng)，則________．【答案】-2【分析】先化簡(jiǎn)，因?yàn)樗c最簡(jiǎn)二次根式能合并成一項(xiàng)，所以它們是同類二次根式，被開方數(shù)相同，列出方程即可得到a的值．【詳解】解：∵，它與最簡(jiǎn)二次根式能合并成一項(xiàng)，∴1-a=3，∴a=-2，故答案為：-2．【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式的概念，一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式，牢記同類二次根式的概念是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】2.（2022·河北保定·八年級(jí)期中）如果最簡(jiǎn)二次根式與能夠合并，那么a的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．10【答案】A【分析】先把化簡(jiǎn)成最近二次根式，然后根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式與能夠合并，得到被開方數(shù)相同，列出一元一次方程求解即可．【詳解】，∵最簡(jiǎn)二次根式與能夠合并，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式化簡(jiǎn)，同類二次根式：化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式，利用同類二次根式的被開方數(shù)相同是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展3】合并同類二次根式例3．（2022·福建福州·八年級(jí)期中）下列式子正確的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二次根式的加減運(yùn)算法則分別判斷得出答案．【詳解】解：A、，故此選項(xiàng)不合題意；B、無法合并，故此選項(xiàng)不合題意；C、，故此選項(xiàng)不合題意；D、，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的合并，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練】3.（2022·廣西賀州·八年級(jí)期中）下列計(jì)算中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的加減法法則，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、2和不是同類二次根式，無法合并，故本選項(xiàng)不符合題意；B、和不是同類二次根式，無法合并，故本選項(xiàng)不符合題意；C、和不是同類二次根式，無法合并，故本選項(xiàng)不符合題意；D、，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的加減法，熟練掌握二次根式的加減法法則是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)02二次根式的加減【知識(shí)點(diǎn)】二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。二次根式加減運(yùn)算的步驟：①化：將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；②找：找出化簡(jiǎn)后被開方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變?！局R(shí)拓展1】二次根式的加減例1．（2022·遼寧大連·八年級(jí)期中）計(jì)算：(1)；(2)【答案】(1)0(2)【分析】（1）先化簡(jiǎn)二次根式，再利用二次根式加減運(yùn)算法則求解即可；（2）先化簡(jiǎn)二次根式，再利用二次根式加減運(yùn)算法則求解即可．（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的加減運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解答的關(guān)鍵．【即學(xué)即練1】1．（2022·湖北武漢·八年級(jí)期中）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)二次根式加減混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先根據(jù)二次根式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再進(jìn)行計(jì)算即可；（3）先根據(jù)二次根式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再進(jìn)行計(jì)算即可；（4）先根據(jù)二次根式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再進(jìn)行計(jì)算即可．（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和二次根式混合運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展2】二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的（或先去掉括號(hào)）例2．（2022·遼寧鞍山·八年級(jí)期中）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)零次冪，二次根式的混合運(yùn)算，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解．（1）解：原式＝；（2）解：原式＝．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零次冪，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】2．（2022·四川德陽·八年級(jí)期中）計(jì)算(1).(2).【答案】(1)-5(2)2【分析】（1）原式先計(jì)算二次根式的乘除法，再去括號(hào)合并即可求出結(jié)果；（2）原式分別化簡(jiǎn)，然后再合并即可得到結(jié)果．（1）=--（2+2）=2-3-2-2=-5（2）=2-+4-3-1+=2【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的相關(guān)運(yùn)算法則．3．（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期中）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡(jiǎn)括號(hào)內(nèi)二次根式，再做除法運(yùn)算，最合并同類二次根式即可；（2）先化簡(jiǎn)二次根式，并根據(jù)零指數(shù)冪運(yùn)算法則計(jì)算，再合并同類二欠根式即可．（1）解：（2）解：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式運(yùn)算法則和零指數(shù)冪的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展3】二次根式的化簡(jiǎn)求值例3．（2022·湖北孝感·八年級(jí)期中）已經(jīng)，求下列各式的值：(1)；(2)【答案】(1)12(2)【分析】（1）根據(jù)完全平方公式寫成，把x、y的值代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)平方差公式寫成(x+y)(x-y)，把x、y的值代入計(jì)算即可．（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用乘法公式進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，熟記乘法公式是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練3】2．（2022·陜西·西北大學(xué)附中八年級(jí)階段練習(xí)）化簡(jiǎn)求值已知，，求．【答案】【分析】先計(jì)算的值，然后將代數(shù)式化簡(jiǎn)，代入的值進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵，，∴，，．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式變形求值，掌握二次根式的混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期中）已知，，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】先根據(jù)，，判定x、y同號(hào)，都為負(fù)數(shù)，再據(jù)此化簡(jiǎn)二次根式，合并同類二次根式，然后整代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴x、y同號(hào)，都為負(fù)數(shù)∴【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，由已知條件判定x、y同號(hào)，且都為負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展4】分母有理化例4．（2022·河南平頂山·八年級(jí)期中）閱讀下面計(jì)算過程：；．請(qǐng)解決下列問題(1)______．(2)利用上面的解法，請(qǐng)化簡(jiǎn)：．【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照例題解題過程即可得到結(jié)果；（2）利用例題的規(guī)律化簡(jiǎn)各個(gè)式子即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：；（2）解：原式【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，分母有理化，弄清閱讀材料中的解題方法是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練4】4．（1）（2022·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）觀察下列等式：；；；回答下列問題：(1)______；(2)______；（為正整數(shù)）(3)題：計(jì)算______．題：利用上面所揭示的規(guī)律計(jì)算：．【答案】(1)(2)(3)A：1；B：【分析】（1）利用分母有理化，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用分母有理化，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（3）題：利用積的乘方和平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可解答；題：先利用上面的規(guī)律化簡(jiǎn)每一個(gè)二次根式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：，故答案為：；（3）解：題：，故答案為：；題：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式，分母有理化，數(shù)字類的變化規(guī)律探究，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（2）（2022·山西·壽陽縣教研室八年級(jí)期中）閱讀材料：像這樣，兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，可以化去分母中的根式，即為分母有理化．例如：，解答下列問題：(1)請(qǐng)寫出一個(gè)的有理化因式；(2)將分母有理化;(3)計(jì)算：【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)平方差公式及有理化因式定義即可得到答案；（2）分子分母同時(shí)乘以分母的有理化因式即可得到答案；（3）先把括號(hào)里的分式分母有理化并計(jì)算，在相乘即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，，∴的有理化因式可以是：；（2）解：原式；（3）解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查有理化因式，分母有理化及二次根式有理化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是先分母有理化進(jìn)行前后相互抵消，最后利用平方差公式求解．【知識(shí)拓展5】已知字母的值，化簡(jiǎn)求值例5．（2022·上海市八年級(jí)期中）先化簡(jiǎn)：，再求當(dāng)，時(shí)的值．【答案】原式，當(dāng)，時(shí)，原式【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則，將代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入求值即可．【詳解】解：原式，當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算法則和運(yùn)算順序，以及運(yùn)用平方差公式．【即學(xué)即練5】5．（2022·福建三明·八年級(jí)期中）已知，，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】先利用已知，求得的值，然后把所求的代數(shù)式利用完全平方公式變形后代入求值即可．【詳解】解：∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的求值和二次根式的運(yùn)算，根據(jù)題目的特點(diǎn)把已知或所求的代數(shù)式作適當(dāng)?shù)淖冃问墙忸}的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展6】已知條件式，化簡(jiǎn)求值例6．（2022·江西上饒·八年級(jí)期中）已知，，求的值．【答案】【分析】由題意可得與都為負(fù)數(shù)，再利用二次根式的化簡(jiǎn)對(duì)式子進(jìn)行整理，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．【詳解】解：∵，，∴，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，解答的關(guān)鍵是熟練掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則．【即學(xué)即練6】6．（2022·江蘇南通·八年級(jí)期中）已知，．求的值．【答案】【分析】先計(jì)算x+y=?6，xy=6，可得x<0，y<0，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，然后x+y=?6，xy=6，代入進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵，∴x+y=?6，xy=6，∴x<0，y<0．原式===．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，分式的化簡(jiǎn)，二次根式的混合運(yùn)算，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展7】比較二次根式的大小例7．（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)八年級(jí)）比較大?。篲______1；_________【答案】

<

<【分析】二次根式比較大小，化簡(jiǎn)成相同的形式在比較大小.【詳解】（1）∵，∴，∴，∴（2）∵，∴，∴，∴，故答案為：＜，＜．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的大小比較.【即學(xué)即練7】7．（2022·上海市八年級(jí)期中）比較大?。篲_____．【答案】＞【分析】先求出與的倒數(shù)，然后進(jìn)行大小比較．【詳解】∵而，∴．故答案為：＞．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較：利用平方法或倒數(shù)法進(jìn)行比較大?。局R(shí)拓展8】二次根式的應(yīng)用例8．（2022·廣東·佛山八年級(jí)期中）如圖，把圖（1）中兩個(gè)小正方形紙片分別沿對(duì)角線剪開，拼成一個(gè)面積為16cm2的大正方形紙片如圖（2），(1)原小正方形的邊長(zhǎng)為cm；(2)若沿此大正方形邊的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形，能否使剪出的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬之比為2:1，且面積為？若能，試求出剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬；若不能，試說明理由．(3)如圖（3）是由5個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的紙片，能否把它剪開并拼成一個(gè)大正方形？若能，請(qǐng)畫出示意圖，并寫出邊的長(zhǎng)度，若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)不能，理由見解析(3)能，圖見解析，【分析】（1）根據(jù)小正方形的面積是大正方形面積的一半可得小正方形的面積，即可解決問題；（2）設(shè)剪出來的長(zhǎng)方形長(zhǎng)為cm，寬為xcm，根據(jù)面積為可得x的值，則長(zhǎng)為，即可得出結(jié)論；（3）一共有5個(gè)小正方形，那么組成的大正方形的面積為5，邊長(zhǎng)為，據(jù)此畫出示意圖即可．【詳解】（1）小正方形的面積是大正方形面積的一半，小正方形的面積為（cm2），設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，則，∴（舍去負(fù)值），∴小正方形的邊長(zhǎng)為cm，（2）解：不能剪出符合要求的長(zhǎng)方形紙片，理由如下：設(shè)剪出來的長(zhǎng)方形長(zhǎng)為cm，寬為xcm，依題意得，∴或（舍去），∴長(zhǎng)為，∴不能剪出符合要求的長(zhǎng)方形紙片；（3）∵一共有5個(gè)小正方形，那么組成的大正方形的面積為5，邊長(zhǎng)為，畫出示意圖如圖：【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的剪拼、正方形的面積、二次根式的實(shí)際應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練8】8．（2022·福建·古田縣八年級(jí)階段練習(xí)）探究題(1)用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+32，1+2，5+52．(2)由（1）中各式猜想m+n與2（m≥0，n≥0）的大小，并說明理由．(3)請(qǐng)利用上述結(jié)論解決下面問題：某園林設(shè)計(jì)師要對(duì)園林的一個(gè)區(qū)域進(jìn)行設(shè)計(jì)改造，將該區(qū)域用籬笆圍成矩形的花圃．如圖所示，花圃恰好可以借用一段墻體，為了圍成面積為200m2的花圃，所用的籬笆至少需要m．【答案】(1)＞，＞，＝，(2)m+n≥2(3)40【分析】（1）分別進(jìn)行計(jì)算，比較大小即可；（2）根據(jù)第（1）問填大于號(hào)或等于號(hào)，所以猜想m+n≥2；比較大小，可以作差，m+n-2，聯(lián)想到完全平方公式，問題得證；（3）設(shè)花圃的長(zhǎng)為a米，寬為b米，需要籬笆的長(zhǎng)度為（a+2b）米，利用第（2）問的公式即可求得最小值．（1）解：∵4+3=7，2=4，∴，，∵49＞48，∴4+3＞2；∵1+=＞1，2=＜1，∴1+＞2；∵5+5=10，2=10，∴5+5=2．故答案為：＞，＞，=；（2）解：m+n≥2（m≥0，n≥0）．理由如下：當(dāng)m≥0，n≥0時(shí)，∵，∴，∴m-2+n≥0，∴m+n≥2；（3）解：設(shè)花圃的長(zhǎng)為a米，寬為b米，則a＞0，b＞0，S=ab=200，根據(jù)（2）的結(jié)論可得：，∴籬笆至少需要40米．故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，體現(xiàn)了由特殊到一般的思想方法，解題的關(guān)鍵是聯(lián)想到完全平方公式，利用平方的非負(fù)性求證．題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1.（2022·河南商丘·八年級(jí)期中）下列計(jì)算中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)及同類二次根式的合并，分別進(jìn)行各選項(xiàng)的判斷即可．【詳解】A．，原式計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．與不是同類二次根式，不能直接合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．，計(jì)算正確，故本選項(xiàng)正確；D．3與不能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減，解答本題的關(guān)鍵掌握二次根式的化簡(jiǎn)及同類二次根式的合并．2．（2022·山東臨沂·八年級(jí)期中）下列二次根式化簡(jiǎn)后能與合并的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)同類二次根式的概念解答即可．【詳解】解：A、，與不是同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，與不是同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；C、與不是同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；D、與是同類二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是同類二次根式的概念，掌握把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式是解題的關(guān)鍵．3．（2022·湖北武漢·八年級(jí)期中）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．33C．7 D．【答案】D【分析】利用二次根式的加減法的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】解：A、與不屬于同類二次根式，不能運(yùn)算，故A不符合題意；B、，故B不符合題意；C、，故C不符合題意；D、，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的加減法，詳解的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．4．（2022·河北廊坊·八年級(jí)階段練習(xí)）如果一個(gè)三角形的面積為，一邊長(zhǎng)為，則這條邊上的高為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的面積公式列出算式，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即可．【詳解】解：由三角形的面積公式可得所求高為：故選B．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2022·河北滄州·八年級(jí)期中）計(jì)算的結(jié)果是______．已知最簡(jiǎn)二次根式與能進(jìn)行合并，則______．【答案】

3【分析】①根據(jù)二次根式的加減進(jìn)行計(jì)；②根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義，以及同類二次根式的定義即可求解．【詳解】解：①；②∵最簡(jiǎn)二次根式與能進(jìn)行合并，∴．故答案為：①，②3．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算，最簡(jiǎn)二次根式與同類二次根式的定義，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·河南濮陽·八年級(jí)期中）計(jì)算的結(jié)果是______．【答案】【分析】先化簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式即可．【詳解】解：==．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)、二次根式的加減，掌握二次根式的性質(zhì)和合并同類二次根式法則是解題的關(guān)鍵．7．（2022·浙江杭州·八年級(jí)期末）已知，，則的值是________．【答案】【分析】先求出a+b和a-b的值，把所求的式子進(jìn)行分解，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．【詳解】解：∵，，∴∴故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．8．（2022·湖北武漢·八年級(jí)階段練習(xí)）已知，則x2+2x﹣3＝_____．【答案】-1【分析】把x2+2x﹣3變形為（x+1）2﹣4，直接代入即可求得結(jié)果．【詳解】∵x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴原式＝（1+1）2﹣4＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，把x2+2x﹣3變形為（x+1）2﹣4是解題的關(guān)鍵．9．（2022·山東威海·八年級(jí)期中）已知：，，求下列式子的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)15【分析】（1）代值后分母有理化即可；（2）先將式子轉(zhuǎn)化成完全平方的形式后代值再利用平方差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值即可．（1）原式=（2）原式=．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算及分母有理化，解題關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算法則．10．（2022·湖北湖北·七年級(jí)期中）計(jì)算：(1)＋－＋；(2)3＋－(2－)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可；（2）先去括號(hào)，再把被開方數(shù)相同的項(xiàng)合并即可．（1）解：＋－＋，=3-1-0+，=；（2）解：3＋－(2－)，=，=．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式，把被開數(shù)相同的項(xiàng)合并成一項(xiàng)是解本題的關(guān)鍵．11．（2022·湖北隨州·八年級(jí)期中）計(jì)算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．（2）運(yùn)用完全平方公式和平方差公式計(jì)算即可．（1）==．（2）==．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)，平方差公式，完全平方公式是解題的關(guān)鍵．12．（2022·山東濱州·八年級(jí)期中）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)1(4)0【分析】（1）先根據(jù)二次根式性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先根據(jù)二次根式性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再按照二次根式乘除運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)二次根式混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（4）根據(jù)平方差公式和二次根式性質(zhì)和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪進(jìn)行運(yùn)算即可．（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算和實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和混合運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．題組B能力提升練1．（2022·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)期中）若最簡(jiǎn)二次根式和能合并，則的值為（

）【答案】C【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式可以合并，得出最簡(jiǎn)二次根式為同類二次根式，然后根據(jù)同類二次根式的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵最簡(jiǎn)二次根式和能合并，∴與為同類二次根式，∴，解得：，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同類二次根式，根據(jù)同類二次根式的定義列出關(guān)于x的方程，是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江西·南城縣第二中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知，，，那么a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把化為再結(jié)合從而可得答案．【詳解】解：∵，，，而∴故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的大小比較，二次根式的混合運(yùn)算，掌握“二次根式的大小比較的方法”是解本題的關(guān)鍵．3．（2021·上海市劉行新華實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）已知最簡(jiǎn)二次根式和是同類二次根式，則______．【答案】【分析】根據(jù)同類二次根式定義：兩個(gè)被開方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根，列出方程組求解，得出a、b值，再代入計(jì)算即可．【詳解】銀，根據(jù)題意，得，解得：，∴ab=2-1=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查同類二次根式概念，代數(shù)式求值，負(fù)整理指數(shù)冪的運(yùn)算，解二元一次方程組，熟練掌握同類二次根式概念是解題的關(guān)鍵．4．（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期中）計(jì)算的結(jié)果等于______．【答案】【分析】根據(jù)積的乘方的逆運(yùn)算對(duì)原式進(jìn)行變形，再利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；【詳解】解：原式．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，能正確利用平方差公式是解題的關(guān)鍵．5．（2022·河北邢臺(tái)·八年級(jí)期末）已知，．（1）______．（2）求的值為______．【答案】

8

53【分析】（1）直接計(jì)算即可；（2）先計(jì)算出，再把變形為，最后整體代入求值即可．【詳解】解：（1）∵，∴幫答案為：8；（2）∵，∴又∴=故答案為：53【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的代簡(jiǎn)求值，正確將變形為是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022·河北·平泉市教育局教研室九年級(jí)學(xué)業(yè)考試）已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a，寬為b，且，．（1）這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為__；（2）若一正方形的面積和這個(gè)長(zhǎng)方形的面積相等，則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為__．【答案】

【分析】利用長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式列出代數(shù)式并求值；利用等量關(guān)系另一個(gè)正方形的面積=這個(gè)長(zhǎng)方形的面積列出等式并計(jì)算．【詳解】解：∵，．長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=2×(+)=2×(+)=12；長(zhǎng)方形的面積===24，根據(jù)面積相等，則正方形的邊長(zhǎng)==．故答案為：；．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的應(yīng)用，需要掌握長(zhǎng)方形和正方形的面積公式與長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式．7．（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期中）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)-(2)4+【分析】（1）利用平方差公式計(jì)算二次根式的乘法進(jìn)而得出答案；（2）直接利用二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，然后合并同類項(xiàng)即可求出答案．（1）解：原式=（）2-（）2=7-（7+）=（2）原式==4-=4+．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．8．（2022·遼寧大連·八年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡(jiǎn)二次根式，再運(yùn)用二次根式加減法則計(jì)算即可；（2）先化簡(jiǎn)二次根式，再運(yùn)用二次根式加減法則計(jì)算即可．（1）解：原式；（2）原式．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的加減，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．9．（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期末）在數(shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)活動(dòng)中，小明和他的同學(xué)通到一道題：已知，求的值，他是這樣解答的：∵∴，∴，即，∴．∴．請(qǐng)你根據(jù)小明的解題過程，解決如下問題：若，求的值．【答案】4【分析】先利用，得到，兩邊平方得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【詳解】∵，∴，∴，即，∴．∴．【點(diǎn)睛】二次根式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分母有理化的方法是解題的關(guān)鍵．10．（2022·河南駐馬店·八年級(jí)階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值∶，其中x=，y=4【答案】，【分析】先確定，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，然后計(jì)算二次根式的加減法，最后將的值代入計(jì)算即可得．【詳解】解：由題意得：，，則，將代入得：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·湖北·隨州市曾都區(qū)教學(xué)研究室八年級(jí)期末）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶和古希臘幾何學(xué)家海倫都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫—秦九韶公式：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記，那么三角形的面積為．已知的三邊長(zhǎng)分別為4，5，7，則的面積為（

）A． B． C． D．8【答案】A【分析】直接將三邊長(zhǎng)代入公式求解即可．【詳解】解：∵的三邊長(zhǎng)分別為4，5，7，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生對(duì)題意的理解和對(duì)公式的運(yùn)用，涉及到了二次根式的計(jì)算，解題關(guān)鍵是讀懂題意，正確將數(shù)值代入公式計(jì)算．2．（2022·湖北武漢·八年級(jí)期中）用[x]表示不超過x的最大整數(shù)．例如：[3.14]＝3，[﹣3.78]＝﹣4，把x﹣[x]作為x的小數(shù)部分．已知m，m的小數(shù)部分是a，﹣m的小數(shù)部分是b，則的值為（

）A．0 B．1 C．﹣1 D．（1）【答案】C【分析】利用分母有理化化簡(jiǎn)m，﹣m的值，求出a，b的值，代入代數(shù)式求值即可．【詳解】解：m＝2，∵1＜3＜4，∴12，∴3＜24，∴a＝231，∵m＝2，∴﹣m＝﹣2，∵1＜3＜4，∴12，∴﹣21，∴﹣4＜﹣23，∴b＝﹣2（﹣4）＝﹣24＝2，∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了無理數(shù)