人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)5.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 同步訓(xùn)練含解析

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[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]

1．若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)等于()

A．－1B．－2

C．2D．0

2．函數(shù)y＝的導(dǎo)數(shù)是()

A.B.

C.D.

3．曲線f(x)＝xlnx在點(diǎn)x＝1處的切線方程為()

A．y＝2x＋2B．y＝2x－2

C．y＝x－1D．y＝x＋1

4．設(shè)曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y＝2x，則a＝()

A．0B．1

C．2D．3

5．已知直線y＝3x＋1與曲線y＝ax3＋3相切，則a的值為()

A．1B．±1

C．－1D．－2

6．曲線y＝x3－x＋3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為_(kāi)_______．

7．已知曲線y1＝2－與y2＝x3－x2＋2x在x＝x0處切線的斜率的乘積為3，則x0＝________.

8．已知函數(shù)f(x)＝f′cosx＋sinx，則f的值為_(kāi)_______．

9．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y＝－lnx；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；

(3)y＝；(4)y＝.

10．偶函數(shù)f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的圖象過(guò)點(diǎn)P(0,1)，且在x＝1處的切線方程為y＝x－2，求f(x)的解析式．

[B級(jí)綜合運(yùn)用]

11．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，則f′(e)＝()

A．e－1B．－1

C．－e－1D．－e

12．若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)＞0的解集為()

A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)

C．(2，＋∞)D．(－1,0)

13．曲線y＝在點(diǎn)(1,1)處的切線為l，則l上的點(diǎn)到圓x2＋y2＋4x＋3＝0上的點(diǎn)的最近距離是________．

14．已知曲線f(x)＝x3＋ax＋b在點(diǎn)P(2，－6)處的切線方程是13x－y－32＝0.

(1)求a，b的值；

(2)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線l：y＝－x＋3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程．

[C級(jí)拓展探究]

15．設(shè)fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.

(1)求fn′(2)；

(2)證明：fn(x)在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為an)，且0＜an－＜.

人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)5.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則同步訓(xùn)練（解析版）

[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]

1．若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)等于()

A．－1B．－2

C．2D．0

解析：選B∵f′(x)＝4ax3＋2bx為奇函數(shù)，

∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.

2．函數(shù)y＝的導(dǎo)數(shù)是()

A.B.

C.D.

解析：選Ay′＝′＝＝＝.

3．曲線f(x)＝xlnx在點(diǎn)x＝1處的切線方程為()

A．y＝2x＋2B．y＝2x－2

C．y＝x－1D．y＝x＋1

解析：選C∵f′(x)＝lnx＋1，∴f′(1)＝1，又∵f(1)＝0，∴在點(diǎn)x＝1處曲線f(x)的切線方程為y＝x－1.

4．設(shè)曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y＝2x，則a＝()

A．0B．1

C．2D．3

解析：選Dy′＝a－，由題意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.

5．已知直線y＝3x＋1與曲線y＝ax3＋3相切，則a的值為()

A．1B．±1

C．－1D．－2

解析：選A設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則y0＝3x0＋1，且y0＝ax＋3，所以3x0＋1＝ax＋3①.對(duì)y＝ax3＋3求導(dǎo)得y′＝3ax2，則3ax＝3，ax＝1②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.

6．曲線y＝x3－x＋3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為_(kāi)_______．

解析：∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.

∴切線方程為y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.

答案：2x－y＋1＝0

7．已知曲線y1＝2－與y2＝x3－x2＋2x在x＝x0處切線的斜率的乘積為3，則x0＝________.

解析：由題知y′1＝，y′2＝3x2－2x＋2，所以兩曲線在x＝x0處切線的斜率分別為，3x－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1.

答案：1

8．已知函數(shù)f(x)＝f′cosx＋sinx，則f的值為_(kāi)_______．

解析：∵f′(x)＝－f′sinx＋cosx，

∴f′＝－f′×＋，

得f′＝－1.

∴f(x)＝(－1)cosx＋sinx.

∴f＝1.

答案：1

9．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y＝－lnx；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；

(3)y＝；(4)y＝.

解：(1)y′＝(－lnx)′

＝()′－(lnx)′＝－.

(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′

＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′

＝3x2－2x＋1.

(3)y′＝

＝.

(4)y′＝

＝.

10．偶函數(shù)f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的圖象過(guò)點(diǎn)P(0,1)，且在x＝1處的切線方程為y＝x－2，求f(x)的解析式．

解：∵f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)P(0,1)，∴e＝1.

又∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)．

故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.

∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.

∵函數(shù)f(x)在x＝1處的切線方程為y＝x－2，

∴切點(diǎn)為(1，－1)．

∴a＋c＋1＝－1.

∵f′(1)＝4a＋2c，

∴4a＋2c＝1.

∴a＝，c＝－.

∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x4－x2＋1.

[B級(jí)綜合運(yùn)用]

11．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，則f′(e)＝()

A．e－1B．－1

C．－e－1D．－e

解析：選C∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，

∴f′(x)＝2f′(e)＋，

∴f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，故選C.

12．若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)＞0的解集為()

A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)

C．(2，＋∞)D．(－1,0)

解析：選C∵f(x)＝x2－2x－4lnx，

∴f′(x)＝2x－2－＞0，

整理得＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，

又∵f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，∴x＞2.

13．曲線y＝在點(diǎn)(1,1)處的切線為l，則l上的點(diǎn)到圓x2＋y2＋4x＋3＝0上的點(diǎn)的最近距離是________．

解析：y′＝－，則y′＝－1，∴切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圓心(－2,0)到直線的距離d＝2，圓的半徑r＝1，∴所求最近距離為2－1.

答案：2－1

14．已知曲線f(x)＝x3＋ax＋b在點(diǎn)P(2，－6)處的切線方程是13x－y－32＝0.

(1)求a，b的值；

(2)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線l：y＝－x＋3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程．

解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝3x2＋a，

由題意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，

解得a＝1，b＝－16.

(2)∵切線與直線y＝－x＋3垂直，

∴切線的斜率k＝4.

設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，

則f′(x0)＝3x＋1＝4，

∴x0＝±1.

由f(x)＝x3＋x－16，

可得y0＝1＋1－16＝－14，

或y0＝－1－1－16＝－18.

則切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.

即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.

[C級(jí)拓展探究]

15．設(shè)fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.

(1)求fn′(2)；

(2)證明：fn(x)在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為an)，且0＜an－＜.

解：(1)由題設(shè)fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1.

所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，①

則2fn′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，②

①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n

＝－n·2n＝(1－n)·2n－1，

所以fn