0624高一數(shù)學（人教A版）-總體離散程度的估計（二）

高一年級數(shù)學總體離散程度的估計（二）復習與回顧方差、標準差知識回顧復習與回顧方差公式方差、標準差知識回顧復習與回顧方差公式方差、標準差知識回顧

（1）；復習與回顧方差公式方差、標準差知識回顧

（1）；復習與回顧方差公式方差、標準差知識回顧

（1）；方差的算術平方根s就是標準差.

復習與回顧方差、標準差知識回顧

（2）方差、標準差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.

復習與回顧方差、標準差知識回顧

（2）方差、標準差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.

方差、標準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大.

復習與回顧方差、標準差知識回顧

（2）方差、標準差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.

方差、標準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大.

方差、標準差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.

復習與回顧方差、標準差知識回顧

（3）方差、標準差的取值范圍，方差、標準差為0

時，各樣本數(shù)據(jù)值相等.

復習與回顧方差、標準差知識回顧

（4）方差、標準差測量樣本數(shù)據(jù)離散程度的效果是一致

的，在實際應用中一般采用標準差.標準差的單位與

樣本數(shù)據(jù)單位一致.

某單位共有員工45人，上級部門為了對該單位員工的工作業(yè)績進行評估，現(xiàn)抽取5名進行考核.考核分筆試和答辯兩項，

5名員工的筆試成績分別為78，85，89，92，96；結合答辯情況，他們的考核成績分別為95，88，102，106，99.這5名員工筆試成績與考核成績的方差分別為s12和s22

.比較s12和s22的大小.知識應用（1）題目思考方向：.知識應用（1）題目思考方向：若根據(jù)問題所問，可只需根據(jù)題目中所給數(shù)據(jù)使用方差公式計算s12和s22的數(shù)值進行比較即可.知識應用（1）題目思考方向：若根據(jù)問題所問，可只需根據(jù)題目中所給數(shù)據(jù)使用方差公式計算s12和s22的數(shù)值進行比較即可.計算：知識應用（1）題目思考方向：若根據(jù)問題所問，可只需根據(jù)題目中所給數(shù)據(jù)使用方差公式計算s12和s22的數(shù)值進行比較即可.計算：解：設筆試成績78，85，89，92，96分別為x1，x2

，x3，

x4

，

x5，設考核成績95，88，102，106，99分別為

y1，y2，y3，

y4

，

y5，知識應用（1）

筆試成績平均數(shù)為：知識應用（1）

筆試成績平均數(shù)為：知識應用（1）

筆試成績平均數(shù)為：筆試成績的方差為：知識應用（1）

筆試成績平均數(shù)為：筆試成績的方差為：知識應用（1）考核成績平均數(shù)為：知識應用（1）考核成績平均數(shù)為：知識應用（1）考核成績平均數(shù)為：考核成績的方差為：知識應用（1）考核成績平均數(shù)為：考核成績的方差為：知識應用（1）即考核成績平均數(shù)為：考核成績的方差為：知識應用（1）思考：若把問題改為試比較s12和s22的大?。ㄖ灰髮懗鼋Y論）.同學們依然會按照上面步驟進行嗎？還是可以通過觀察本題給出的數(shù)據(jù)特征會發(fā)現(xiàn)其他的解決辦法呢？知識應用（1）題目數(shù)據(jù)筆試：78、85、89、92、96考核：95、88、102、106、99知識應用（1）觀察兩組數(shù)據(jù)特征你有什么發(fā)現(xiàn)？題目數(shù)據(jù)筆試：78、85、89、92、96考核：95、88、102、106、99知識應用（1）觀察兩組數(shù)據(jù)特征你有什么發(fā)現(xiàn)？發(fā)現(xiàn)舉例：筆試成績排序（由小到大）78、85、89、92、96題目數(shù)據(jù)筆試：78、85、89、92、96考核：95、88、102、106、99知識應用（1）觀察兩組數(shù)據(jù)特征你有什么發(fā)現(xiàn)？發(fā)現(xiàn)舉例：筆試成績排序（由小到大）78、85、89、92、96

考核成績排序（由小到大）88、95、99、102、106題目數(shù)據(jù)筆試：78、85、89、92、96考核：95、88、102、106、99知識應用（1）觀察兩組數(shù)據(jù)特征你有什么發(fā)現(xiàn)？發(fā)現(xiàn)舉例：筆試成績排序（由小到大）78、85、89、92、96

考核成績排序（由小到大）88、95、99、102、106探索發(fā)現(xiàn)：考核成績的每個數(shù)據(jù)平均比筆試成

績每個數(shù)據(jù)多10個單位.題目數(shù)據(jù)筆試：78、85、89、92、96考核：95、88、102、106、99知識應用（1）根據(jù)以上探索同學們是否可以用符號語言表示數(shù)據(jù)關系呢？知識應用（1）發(fā)現(xiàn)舉例：筆試成績排序（由小到大）78、85、89、92、96

考核成績排序（由小到大）88、95、99、102、106若從小到大設第一組數(shù)據(jù)分別為x1，x2

，x3，

x4

，x5，

若從小到大設第二組數(shù)據(jù)分別為y1，y2，

y3，

y4

，

y5，則

根據(jù)以上探索同學們是否可以用符號語言表示數(shù)據(jù)關系呢？知識應用（1）發(fā)現(xiàn)舉例：筆試成績排序（由小到大）78、85、89、92、96

考核成績排序（由小到大）88、95、99、102、106若從小到大設第一組數(shù)據(jù)分別為x1，x2

，x3，

x4

，x5，

若從小到大設第二組數(shù)據(jù)分別為y1，y2，

y3，

y4

，

y5，則

根據(jù)以上探索同學們是否可以用符號語言表示數(shù)據(jù)關系呢？知識應用（1）發(fā)現(xiàn)舉例：筆試成績排序（由小到大）78、85、89、92、96

考核成績排序（由小到大）88、95、99、102、106知識應用（1）依次類推知識應用（1）代入方差公式；依次類推知識應用（1）代入方差公式；依次類推知識應用（1）

求得知識應用（1）歸納：若數(shù)據(jù)的方差為數(shù)據(jù)的方差為若若為常數(shù)，那么成立嗎？知識應用（1）歸納：若數(shù)據(jù)的方差為數(shù)據(jù)的方差為若若為常數(shù)，那么成立嗎？由上題探究可知分別代入方差公式計算，故成立探究：若數(shù)據(jù)的方差和標準差分別為數(shù)據(jù)的方差和標準差為若

成立.若為常數(shù)，證明：

知識應用（1）探究：若數(shù)據(jù)的方差和標準差分別為數(shù)據(jù)的方差和標準差為若

成立.若為常數(shù)，證明：

知識應用（1）根據(jù)上面例題的講解歸納，同學們能否試著給出證明過程知識應用（1）知識應用（1）根據(jù)上面例題的講解歸納，同學們能否試著給出證明過程知識應用（1）根據(jù)上面例題的講解歸納，同學們能否試著給出證明過程知識應用（1）根據(jù)上面例題的講解歸納，同學們能否試著給出證明過程繼續(xù)證明知識應用（1）繼續(xù)證明知識應用（1）繼續(xù)證明知識應用（1）繼續(xù)證明知識應用（1）思考：若把問題改為試比較s12和s22的大?。ㄖ灰髮懗鼋Y論）.知識應用（1）在實際問題中，能獲得總體中所有個體的觀測值，可以用方差的公式直接計算總體的方差.比如要了解某中學教師工資差別，可以從學校財務處獲得所有教師的年工資收入數(shù)，計算其方差即可判斷.如果要了解某市中學教師年工資的差別，獲得所有老師的年工資就比較困難，關于這樣的問題我們又怎么解決呢？知識應用（2）在對樹人中學高一年級學生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，樣本的平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，樣本的平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計算出總樣本的方差嗎？并對高一年級全體學生的身高方差作出估計嗎？知識應用（2）思考：問題中計算總樣本的方差和我們前面學習中求解方知識應用（2）差的問題從已知條件看有什么不同呢？思考：問題中計算總樣本的方差和我們前面學習中求解方知識應用（2）差的問題從已知條件看有什么不同呢？前面我們研究的求解方差問題在已知條件中會具體給出總體或樣本中的每一個數(shù)據(jù)，而本題只給出了總樣本中兩層的平均數(shù)和方差.思考：對于這樣的問題我們是否依然可以用方差公式求解？知識應用（2）思考：對于這樣的問題我們是否依然可以用方差公式求解？知識應用（2）如果可以用方差公式求解，用數(shù)學符號該怎么表示呢？解析：把抽取的男生樣本記為樣本的平均數(shù)

記為，方差記為；把抽取的女生樣本記為知識應用（2）解析：把抽取的男生樣本記為樣本的平均數(shù)

記為，方差記為；把抽取的女生樣本記為樣本的平均數(shù)記為，方差記；把總樣本數(shù)據(jù)的平均知識應用（2）解析：把抽取的男生樣本記為樣本的平均數(shù)

記為，方差記為；把抽取的女生樣本記為樣本的平均數(shù)記為，方差記；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為.知識應用（2）根據(jù)方差的公式，總樣本方差為知識應用（2）根據(jù)方差的公式，總樣本方差為知識應用（2）比對方差公式理解本題中總樣本方差知識應用（2）比對方差公式理解本題中總樣本方差知識應用（2）男生樣本比對方差公式理解本題中總樣本方差知識應用（2）男生樣本女生樣本同學們我們通過前面分析已經(jīng)得到了總樣本方差知識應用（2）同學們現(xiàn)在又遇到了什么新的問題呢？同學們我們通過前面分析已經(jīng)得到了總樣本方差知識應用（2）同學們現(xiàn)在又遇到了什么新的問題呢？新的問題應該是怎樣求解總樣本方差.同學們我們通過前面分析已經(jīng)得到了總樣本方差知識應用（2）同學們現(xiàn)在又遇到了什么新的問題呢？新的問題應該是怎樣求解總樣本方差.想求解總樣本方差聯(lián)系題中已知條件.

已知知識應用（2）怎樣將已知條件和總樣本方差聯(lián)系到一起呢？總樣本方差

已知知識應用（2）總樣本方差考慮分別插入和

已知知識應用（2）插入和，則知識應用（2）完全平方公式知識應用（2）完全平方公式

已知，.可求.新問題是什么？能否計算？知識應用（2）能否計算？知識應用（2）計算求得由，可得知識應用（2）同理可得知識應用（2）同理可得知識應用（2）因此知識應用（2）因此知識應用（2）由，根據(jù)按比例分配分層隨機抽樣知識應用（2）由，根據(jù)按比例分配分層隨機抽樣中，總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關系，可得總樣知識應用（2）由，根據(jù)按比例分配分層隨機抽樣中，總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關系，可得總樣本平均數(shù)為知識應用（2）由，根據(jù)按比例分配分層隨機抽樣中，總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關系，可得總樣本平均數(shù)為知識應用（2）把已知的男生、女生樣本平均數(shù)和方差的值代入知識應用（2）把已知的男生、女生樣本平均數(shù)和方差的值代入知識應用（2）把已知的男生、女生樣本平均數(shù)和方差的值代入知識應用（2）

可得知識應用（2）

可得知識應用（2）因此，總樣本的方差約為51.49.知識應用（2）因此，總樣本的方差約為51.49.據(jù)此估計高一年級學生身高的總體方差約為51.49.知識應用（2）知識應用（2）男生樣本方差女生樣本方差總樣本方差為比較總樣本方差與男生組及女生組的方差知識應用（2）男生樣本方差女生樣本方差總樣本方差為比較總樣本方差與男生組及女生組的方差

你能發(fā)現(xiàn)什么？知識應用（2）男生樣本方差女生樣本方差總樣本方差為比較總樣本方差與男生組及女生組的方差

你能發(fā)現(xiàn)什么？知識應用（2）總樣本方差既大于男生組的方差，也大于女生組的方差.男生樣本方差女生樣本方差總樣本方差為

你能解釋在估計全校學生平均身高時，按性別分層隨機抽樣的理由嗎？知識應用（2）在相同樣本量的條件下，總樣本方差越小，樣本均值估計總體均值效果越好.男、女生的均值相差越大，即兩組差別越大，總樣本方差比男、女生的方差均大得越多，分層隨機抽樣的效果越好.知識應用（2）

歸納總結：一般地如果知道兩組數(shù)據(jù)各自的數(shù)據(jù)個數(shù)，平均數(shù)和方差如何計算全部數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差呢？

知識探究（1）

一般地，如果已知第一組數(shù)據(jù)的個數(shù)是m,平均數(shù)和方差分別為和，第二組數(shù)據(jù)的個數(shù)是n，平均數(shù)和方差分別

為和，那么，總樣本