0616高一數(shù)學(xué)（人教A版）立體幾何初步單元復(fù)習(xí)（第三課時(shí)）-1教案

教案教學(xué)基本信息課題空間立體幾何初步單元復(fù)習(xí)（第三課時(shí)）學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：高一年級(jí)高一教材書名：人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教學(xué)設(shè)計(jì)參與人員姓名單位設(shè)計(jì)者實(shí)施者指導(dǎo)者課件制作者其他參與者教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)本節(jié)課對(duì)空間中直線、平面的垂直關(guān)系涉及的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行梳理進(jìn)而構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，能根據(jù)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖解決一些簡(jiǎn)單的綜合問(wèn)題，在研究垂直問(wèn)題時(shí)能讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)，在教學(xué)過(guò)程中設(shè)計(jì)了五道例題.教學(xué)過(guò)程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動(dòng)設(shè)置意圖引入上節(jié)課大家復(fù)習(xí)了空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，又進(jìn)一步研究了空間直線、平面的特殊位置關(guān)系-----平行.今天我們重點(diǎn)研究空間直線、平面的另一種特殊位置關(guān)系-----垂直.與研究空間中直線、平面的平行關(guān)系類似我們首先進(jìn)行知識(shí)梳理來(lái)構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.提出類比空間中直線、平面的平行關(guān)系的學(xué)習(xí)方法，同時(shí)明確平行關(guān)系和垂直關(guān)系都是空間直線、平面的特殊位置關(guān)系.新課一.知識(shí)梳理1.直線與直線垂直

定義：如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直．直線a與b垂直，記作a⊥b．【總結(jié)】空間中線線垂直包括共面垂直和異面垂直，證明共面垂直常用的方法有1.利用等腰三角形、矩形、菱形的幾何特征2由圓的直徑所對(duì)的圓周角為90度3應(yīng)用勾股定理得直線與直線垂直；證明異面垂直的常用方法有1定義，2由直線和平面垂直的定義得直線與直線垂直。2.直線與平面垂直

（1）定義：一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α．【總結(jié)】請(qǐng)同學(xué)們注意定義中任意一條直線不等同于無(wú)數(shù)條直線．（2）由定義得到的下面經(jīng)常使用的命題：如果一條直線和一個(gè)平面垂直，另外一條直線是這個(gè)平面內(nèi)的直線，則這兩條直線垂直．圖形語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：【總結(jié)】因此我們得到知識(shí)結(jié)構(gòu)圖中的第一條線,由圖我們知道要證直線與直線垂直需證相應(yīng)的直線與平面垂直.（3）直線與平面垂直判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．圖形語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：【總結(jié)】請(qǐng)大家注意：判定定理中兩條相交直線這個(gè)條件具有很強(qiáng)的限制性，同時(shí)也為證明直線與平面垂直指明了方向，由判定定理得直線與平面垂直就找這個(gè)平面內(nèi)具有相交特征且和相應(yīng)直線垂直的線.【總結(jié)】：到此我們得到知識(shí)結(jié)構(gòu)中的第二條線，那么我們要得到直線與平面垂直可以找相應(yīng)的直線與直線垂直.通過(guò)直線與直線垂直判斷直線與平面垂直，蘊(yùn)含了降維的思想。(4)判定直線與平面垂直常用命題兩條直線互相平行，其中一條直線垂直于一個(gè)平面，則另外一條直線也垂直于這個(gè)平面．圖形語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：【總結(jié)】：這個(gè)命題體現(xiàn)了平行關(guān)系和垂直關(guān)系之間的聯(lián)系.同時(shí)根據(jù)這個(gè)命題還可以進(jìn)行問(wèn)題得轉(zhuǎn)化，要證b垂直于平面α可以轉(zhuǎn)化為證與b平行的直線a垂直于平面α。那么由直線與平面垂直能得到什么？這就是直線與平面垂直的性質(zhì)：(5)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.圖形語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：【總結(jié)】：這個(gè)性質(zhì)給出了判定兩條直線平行的又一種方法.到此我們得到了結(jié)構(gòu)圖中的第三條線.3．平面與平面垂直(1)定義：兩個(gè)平面相交，它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)兩個(gè)平面互相垂直．圖形語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：【總結(jié)】：請(qǐng)同學(xué)們注意用定義判斷兩平面垂直需要找出二面角的平面角并且說(shuō)明它是直角．(2)平面與平面垂直的判定定理如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.圖形語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：【總結(jié)】：到此得到結(jié)構(gòu)圖中的第四條線，由圖說(shuō)明要得平面與平面垂直需找相應(yīng)的直線與平面垂直.(3)平面與平面垂直的性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直．圖形語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：【總結(jié)】請(qǐng)同學(xué)們注意條件中這條直線是其中一個(gè)平面內(nèi)的直線。另外一定要關(guān)注兩個(gè)平面的交線，有了交線順藤摸瓜找與交線垂直的直線，進(jìn)而證明直線與平面垂直，這個(gè)條件給解決問(wèn)題指明了方向。到此我們得到結(jié)構(gòu)圖中的第五條線.那么本章我們研究空間中直線、平面間垂直關(guān)系的知識(shí)結(jié)構(gòu)就構(gòu)建完整了，由結(jié)構(gòu)圖可以看出直線與直線垂直和直線與平面垂直，直線與平面垂直和平面與平面垂直之間可以互相轉(zhuǎn)化，這就給我們解決問(wèn)題找到了方向，同時(shí)以上知識(shí)還與直線、平面平行關(guān)系建立了聯(lián)系.與上節(jié)課復(fù)習(xí)的空間中直線、平面的平行關(guān)系知識(shí)結(jié)構(gòu)圖聯(lián)系到一起，就有了空間平行、垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化.有了這些知識(shí)儲(chǔ)備我們可以解決什么問(wèn)題呢？如何解決呢？下面我們做一些具體的題目.二、例題解析例題設(shè)l，m，n均為直線，其中m，n在平面α內(nèi)，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m，l⊥n”的(A)．A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

解析：由l⊥α，mα，nα可得l⊥m，l⊥n；

反之，因?yàn)閙，n不一定相交，如圖，此時(shí)l與α不垂直．所以“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m，l⊥n”的充分不必要條件．

【總結(jié)】這道題考查了垂直關(guān)系結(jié)構(gòu)圖中的直線與直線垂直和直線與平面垂直的相互轉(zhuǎn)化，解決這類問(wèn)題時(shí)一定要明確定理成立的條件才能得出結(jié)論，構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的過(guò)程中要實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化，理解并記憶．例題下列命題中正確的是_____________．

①垂直于同一直線的兩條直線平行

②垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行

③垂直于同一平面的兩條直線平行

④垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行

①，我們可以在正方體中找到反例,如A1D1與D1C1都垂直于直線的D1D，但A1D1與D1C1是相交直線②同樣可以在正方體中找到反例，如平面AD1與平面D1C都垂直于平面AC.③垂直于同一平面的兩條直線平行,是直線與平面垂直的性質(zhì)，所以正確.④解析：假設(shè)平面α與平面β不平行，

則平面α與平面β相交．

不妨設(shè)α∩β＝n，m∩α＝A，m∩β＝B，如圖.在直線n上取一點(diǎn)C，連接AC，BC．∵m⊥平面α，AC平面α，∴m⊥AC，即∠BAC＝900．同理可得：m⊥BC，即∠ABC＝900．∴在ΔABC中，

∠BAC+∠ABC+∠ACB>1800，這與三角形內(nèi)角和為1800矛盾．總結(jié)：1．要否定一個(gè)命題時(shí)只需舉一個(gè)反例，常借助特殊模型(如正方體)進(jìn)行舉例．要肯定一個(gè)命題需要對(duì)這個(gè)命題進(jìn)行推理論證．2．注意文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言三種語(yǔ)言的靈活應(yīng)用，這也是本章的重點(diǎn)．例題如圖AB是的直徑，點(diǎn)C是上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)C的直線VC垂直于所在的平面，D，E分別是VA，VC的中點(diǎn)．判斷直線DE與平面VBC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

【分析】我們根據(jù)由已知得到什么？得結(jié)論需要什么？來(lái)尋求解題思路。由結(jié)論要判斷直線DE與平面VBC的位置關(guān)系，由幾何直觀猜測(cè)DE⊥平面VBC，接下來(lái)我們需要說(shuō)明DE⊥平面VBC，又由D，E分別是VA，VC的中點(diǎn)可得DE//AC，所以由判定直線與平面垂直的常用命題問(wèn)題轉(zhuǎn)化為說(shuō)明AC⊥平面VBC。要說(shuō)明AC⊥平面VBC由結(jié)構(gòu)圖知可以由直線與平面垂直的判定得到，也可以由平面與平面垂直的性質(zhì)得到.由直線與平面垂直的判定得AC⊥平面VBC，需要說(shuō)明AC垂直于平面VBC內(nèi)的兩條相交直線，由已知條件易得AC⊥BC，再利用VC⊥平面ABC，由直線與平面垂直的定義可得VC⊥AC，從而AC⊥平面VBC。這就是方法一.具體解法如下：方法一：

解：直線DE⊥平面VBC，理由如下：

∵AB是的直徑，

∴AC⊥BC．

∵VC⊥平面ABC，AC平面ABC，

∴VC⊥AC．

又∵VC∩BC=C，VC平面VBC，

BC平面VBC，

∴AC⊥平面VBC．

∵D，E分別是VA，VC的中點(diǎn)，

∴DE是ΔVAC的中位線．

∴DE//AC．

∴DE⊥平面VBC．

【分析】由平面與平面垂直的性質(zhì)得AC⊥平面VBC，需要說(shuō)明過(guò)AC的平面與平面VBC垂直,同時(shí)AC垂直于這兩個(gè)平面的交線，由題意可知VC⊥平面ABC，VC包含于平面VBC，從而平面ABC⊥平面VBC，由已知條件易得AC⊥BC，平面ABC與平面VBC的交線為BC,進(jìn)而AC⊥平面VBC。這就是方法二.具體解法如下：方法二：

解：直線DE⊥平面VBC，理由如下：

∵AB是的直徑，

∴AC⊥BC．

∵VC⊥平面ABC，VC平面VBC，∴平面VBC⊥平面ABC．

∵平面VBC∩平面ABC=BC，

AC平面ABC，AC⊥BC，

∴AC⊥平面VBC．

∵D，E分別是VA，VC的中點(diǎn)，

∴DE是ΔVAC的中位線．

∴DE//AC．

∴DE⊥平面VBC．

【分析】由圖知過(guò)AC的平面除了平面ABC，還有平面VAC，我們能否證明面VAC垂直于面VBC，若成立也可以得到AC⊥平面VBC，這里用到了平面與平面垂直的定義.要用平面與平面垂直的定義證明平面VCB⊥平面VCA，需要找到二面角B-VC-A的平面角，并說(shuō)明它是直角。由題意可知VC⊥平面ABC，AC包含于平面ABC，BC包含于平面ABC，可得VC⊥AC，VC⊥BC，從而由二面角的定義知∠ACB為二面角B-VC-A的平面角，由已知條件易得AC⊥BC，進(jìn)而平面VCB⊥平面VCA，這就是方法三。具體解法如下：方法三：

解：直線DE⊥平面VBC，理由如下：

∵AB是的直徑，∴AC⊥BC．

∵VC⊥平面ABC，AC平面ABC，BC平面ABC，

∴VC⊥AC，VC⊥BC．

∴∠ACB為二面角B-VC-A的平面角．

∴平面VCB⊥平面VCA．

∵平面VCB∩平面VCA＝VC，

AC⊥VC，AC平面VCA，

∴AC⊥平面VBC．

∵D，E分別是VA，VC的中點(diǎn)，

∴DE是ΔVAC的中位線．

∴DE//AC．

∴DE⊥平面VBC．

【本題小節(jié)】：1.本題的解題思路是“由已知得到什么？得結(jié)論需要什么？”

2.方法一主要利用了直線與直線垂直與直線與平面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是要說(shuō)明AC垂直于平面VBC內(nèi)的兩條相交直線．

3.方法二主要利用的是直線與平面垂直與平面與平面垂直的相互轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是要說(shuō)明過(guò)AC的平面與平面VBC垂直,同時(shí)AC垂直于這兩個(gè)平面的交線．

4.方法三用平面與平面垂直的定義得平面與平面垂直，關(guān)鍵是要找到二面角的平面角，并說(shuō)明這個(gè)角為直角．

5.本題多次用到三個(gè)垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，同時(shí)還考查了這個(gè)命題.例題如圖在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，將ΔAED，ΔBEF，ΔDCF分別沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三點(diǎn)重合于點(diǎn)A'．

（1）求證A'D⊥EF；（2）求三棱錐A'-EFD的體積．

【分析】:本題是立體幾何中的翻折問(wèn)題,從平面圖形到立體圖形關(guān)鍵要抓住哪些量變了，哪些量沒(méi)變.由結(jié)論我們要證垂直，所以要關(guān)注折前、折后有哪些垂直條件或能得到垂直的條件.例如由三角形AED翻折到三角形A’ED,由題意翻折前AD⊥AE，翻折后A’E仍垂直于A’D.由三角形BEF翻折到三角形A’EF，由題意翻折前BE=BF，翻折后A'E=A'F，得到三角形A’EF是等腰三角形，進(jìn)而可以構(gòu)造直線與直線垂直?！痉治觥?要證直線A'D與直線EF垂直，由結(jié)構(gòu)圖知只需證直線A'D垂直于直線EF所在的一個(gè)平面，而由直線與平面垂直的判定定理，還需證直線A'D與直線EF所在的平面內(nèi)的兩條相交直線垂直。在本題中，由題意可得A'D⊥A'E，A'D⊥A'F,A'E交A'F于A'，從而A'D⊥平面A'EF，進(jìn)而A'D⊥EF。具體證明如下：方法一

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD⊥AE，CD⊥CF．

∴A'D⊥A'E，A'D⊥A'F．

∵A'E∩A'F=A'，A'E平面A'EF，A'F平面A'EF，

∴A'D⊥平面A'EF．

∵EF平面A'EF，

∴A'D⊥EF．

【分析】:要證A'D垂直于EF，能否證明EF垂直于A'D所在的一個(gè)平面，由題意知圖中沒(méi)有現(xiàn)成平面滿足，那么能否構(gòu)造一個(gè)平面滿足題意？要得直線與平面垂直需找直線與直線垂直，由題意A'E=A'F,DE=DF,我們可以構(gòu)造直線與直線垂直，取EF中點(diǎn)G，連接A'G，DG，易得EF⊥A'G，EF⊥GD，從而可得EF⊥平面A'GD，進(jìn)而A'D⊥EF。就是方法二，具體證明如下：方法二：

證明：取EF中點(diǎn)G，連接A'G，DG．

∵四邊形ABCD是正方形，

點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，

∴BE=BF，DE=DF．

∴A'E=A'F，DE=DF．

∵G是EF的中點(diǎn)，

∴EF⊥A'G，EF⊥GD．

又∵A'G∩GD＝G，

A'G平面A'GD，GD平面A'GD

∴EF⊥平面A'GD．

又∵A'D平面A'GD，

∴A'D⊥EF．

【分析】:要求三棱錐的體積，由公式V=1/3Sh，需要求三棱錐的高和對(duì)應(yīng)的底面積，而求高h(yuǎn)是關(guān)鍵，需要證明直線與平面垂直，由（1）知A'D⊥平面A'EF，從而三棱錐A'-EFD的體積等于三棱錐D-A'EF的體積，進(jìn)而求三棱錐A'-EFD的體積.具體求解過(guò)程如下：解：由（1）知A'D⊥平面A'EF．

∴．

∵BE=BF=1，BE⊥BF，

∴A'E=A'F=1，A'E⊥A'F．

∴．

∵A'D=2，

∴

【本題小結(jié)】:

1.立體幾何的翻折問(wèn)題關(guān)鍵是確定從翻折前到翻折后哪些量沒(méi)變，哪些量變了，這就需要同學(xué)們的直觀想象能力．2.本題第一問(wèn)用到了由直線與直線垂直與直線與平面垂直的相互轉(zhuǎn)化，第一種方法借助了原圖現(xiàn)有的線面，第二種方法利用平面幾何知識(shí)根據(jù)需要構(gòu)造了直線與直線垂直，這也是構(gòu)造垂直常用的做輔助線的方法．

3.本題第二問(wèn)是三棱錐的體積問(wèn)題，錐體的體積問(wèn)題關(guān)鍵是找到相應(yīng)的直線與平面垂直，同時(shí)還要注意三棱錐可以轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)．在求相關(guān)幾何體體積中用到了垂直關(guān)系，通過(guò)前兩節(jié)課的復(fù)習(xí)在求異面直線所成角和二面角時(shí)也用到了垂直關(guān)系．

例題如圖，一塊正方體形木料的上底面有一點(diǎn)E．若經(jīng)過(guò)點(diǎn)E在上底面上畫一條直線與CE垂直，則應(yīng)該怎樣畫？

【分析】：本題是一道簡(jiǎn)單的應(yīng)用題和探索性問(wèn)題，那我們先設(shè)直線?l滿足題意，如圖，由題意?⊥CE，有條件易得CC1⊥?，由直線與平面的判定定理得?⊥面CEC1，從而得?⊥C1E，進(jìn)而只需在上底面畫一條與C1E垂直的直線即可。具體過(guò)程如下：解：設(shè)要畫的直線為?，連接EC1．由題意?平面A1C1，且?⊥CE．∵ABCD-A1B1C1D1是正方體，∴CC1⊥平面A1C1．又∵?平面A1C1，∴CC1⊥?．又∵?⊥CE，CE∩CC1＝C，

∴?⊥平面CEC1．

∵EC1平面CEC1，∴?⊥EC1．∴在上底面過(guò)點(diǎn)E作直線?⊥EC1即可．

【本題小結(jié)】:

這道題考查了直線與直線垂直與直線與平面垂直的相互轉(zhuǎn)化，同時(shí)這道題的難點(diǎn)是如何建立數(shù)學(xué)模型，如何借助相應(yīng)的圖形和符號(hào)來(lái)表示這個(gè)模型，靈活應(yīng)用文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言三種語(yǔ)言，這也是本章的重點(diǎn)．明確異面直線的定義及空間中直線與直線垂直的概念，同時(shí)總結(jié)空間中直線與直線垂直證明的常用方法.梳理直線與平面垂直的相關(guān)知識(shí)，分析定義、定理中需要關(guān)注的關(guān)鍵點(diǎn)，逐步完善知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.梳理平面與平面垂直的相關(guān)知識(shí)及關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，逐步完善知識(shí)結(jié)構(gòu)圖與空間中直線、平面平行關(guān)系建立聯(lián)系，構(gòu)成更完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)之間的聯(lián)系.這道