解透數(shù)學(xué)題-新疆烏魯木齊地區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)20題

新疆烏魯木齊地區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)20題已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上．(1)求拋物線C的方程；(2)過點(diǎn)P作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，過A作斜率為1的直線交拋物線C于另一點(diǎn)M．證明：直線BM過定點(diǎn)．解析幾何問題的信息量一般較大，在解題時(shí)需要明確目標(biāo)，結(jié)合條件來逐步化簡，可以采用“讀題譯句，思句化簡”的策略，即逐句讀題，思考其中的隱含信息，結(jié)合問題目標(biāo)來逐層簡化。讀題畫圖如下解析幾何識(shí)圖，就是要分析圖形的形成過程，找到圖形的基本關(guān)系和核心要素，再用代數(shù)語言表達(dá)出來，通過合理轉(zhuǎn)化即完成解題學(xué)生考場實(shí)際操作：根據(jù)圖像的構(gòu)圖方式進(jìn)行思考（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則，即，所以拋物線C的方程為.(2)依題，過點(diǎn)P的直線與拋物線交于AB，斜率顯然存在，設(shè)直線AB：與聯(lián)立消有：當(dāng)時(shí)，設(shè),則又l過A且斜率為1，則可設(shè)l:,注意，所以，與聯(lián)立消有：設(shè)，則，所以事實(shí)上：直接翻譯斜率為1能簡潔得多,所以直線的斜率，直線：，又整理有①，②③現(xiàn)在關(guān)鍵是適當(dāng)消參，處理方法1注意，，而所以（消k比較簡單）①整理了下:消有所以顯然直線過定點(diǎn)，所以直線過定點(diǎn)想借助消參，不知道怎么化簡只有期待理想結(jié)果出現(xiàn)，希望是關(guān)于是對(duì)稱的，能用消參中中系數(shù)為，，先定當(dāng)時(shí)，消，從而定x.=3故我們可以猜后驗(yàn)證書寫處理方法2證明直線過定點(diǎn)，書寫省略。解后思考讀題時(shí)需要根據(jù)題設(shè)條件來解讀圖像，整合數(shù)形信息，實(shí)現(xiàn)題目中的語言互化。而一般的解析幾何問題主要研究圓錐曲線與直線的位置關(guān)系，因此可以采用如下步驟逐層剖析：首先，聯(lián)合直線與圓錐曲線方程，通過消元來整合方程，分析判別式，根據(jù)韋達(dá)定理提取關(guān)系;然后，利用曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)參數(shù)來表示問題所涉關(guān)系，并結(jié)合上述提取的關(guān)系式來對(duì)其綜合化簡;最后，對(duì)轉(zhuǎn)化的問題進(jìn)行純代數(shù)分析，如向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，幾何線段最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題等，從而根據(jù)對(duì)應(yīng)內(nèi)容的性質(zhì)來求解答案，并將答案還原到原問題中。官方解答：讀懂官方答案（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則，即，所以拋物線C的方程為.（2）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為：，要證直線過定點(diǎn)，故設(shè)之。緊扣目標(biāo)進(jìn)行設(shè)線若直線方程含參數(shù)m，將其化成：m?+Δ=0的形式,其中?和△是不含m的式子則方程組的解就是直線所過定點(diǎn)。(方程思想:先將題目給出的方程合并同類項(xiàng)，含參數(shù)的作為一項(xiàng)，不含參數(shù)的作為另一項(xiàng)，對(duì)于任意的參數(shù)這個(gè)方程都要成立，那么只有這兩項(xiàng)都為0。)后繼關(guān)鍵需要找出m,n關(guān)系式。由消去x得：，設(shè)，則，①這里設(shè)的點(diǎn)，可以理解為主參，其他點(diǎn)先盡量用其表示而直線的斜率，則直線的方程，對(duì)直線方程的處理，需要理解為已經(jīng)知道兩點(diǎn)坐標(biāo)由消去x得：，因?yàn)橹本€BP與拋物線相交于A,B。所以AB縱坐標(biāo)滿足上述方程，韋達(dá)定理知一求一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，即：點(diǎn)，確定點(diǎn)A的坐標(biāo)現(xiàn)在需要翻譯直線AM的斜率為1，-----目的希望得到點(diǎn)A與點(diǎn)M的坐標(biāo)關(guān)系直線的斜率，則，消得關(guān)系式因此，整理有，利用①消參得到兩變量m,n關(guān)系即，直線的方程為又，即，（直線中的定點(diǎn)問題,實(shí)則也是考查對(duì)直線方程的變形,應(yīng)關(guān)注點(diǎn)斜式和斜截式方程的過定點(diǎn)情形）顯然直線過定點(diǎn)，所以直線過定點(diǎn).點(diǎn)評(píng)：根據(jù)構(gòu)圖方式的解法1和官方答案的對(duì)比分析，官方答案消參方便，主要用到了目標(biāo)意識(shí)處理值得推薦的方法------設(shè)點(diǎn)法（仔細(xì)閱讀附錄要點(diǎn)）設(shè)A,B,M三點(diǎn)分別為則AB方程為建議：考場上適當(dāng)加點(diǎn)推理過程因?yàn)橹本€AB過（-1，2）,所以①直線AM的斜率為1，則②直線BM的方程為，③由②③消，所以有④由①④消，有-----將關(guān)于的式子次數(shù)降低整理有顯然上式恒成立，顯然直線過定點(diǎn)，所以直線過定點(diǎn)體會(huì)：在拋物線中，利用點(diǎn)表示直線可以使用參數(shù)方程，而利用直線表示點(diǎn)往往只能利用聯(lián)立方程。設(shè)點(diǎn)可以讓點(diǎn)的關(guān)系更加靈活，同時(shí)往往可以導(dǎo)出同構(gòu)式子，從而有效地簡化拋物線問題。類似練習(xí)題(2019年北京)已知拋物線經(jīng)過點(diǎn).（1）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程;(2)設(shè)O為原點(diǎn),過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線交拋物線C于兩點(diǎn)M,N,直線y=-1分別交直線OM,ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證:以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).解:(1)易得,準(zhǔn)線:.(2)設(shè),則,由直線過點(diǎn),所以所以,設(shè)點(diǎn),則,令,得或,所以以為直徑的圓過定點(diǎn)。點(diǎn)評(píng)：相對(duì)于傳統(tǒng)解法的聯(lián)立方程、求出A，B坐標(biāo)，代入韋達(dá)定理;本題解法更加清晰簡潔，學(xué)生只要按照參數(shù)方程的“模板”，由直線過定點(diǎn)直接得出m、n的關(guān)系式，最后根據(jù)題目條件列出相應(yīng)式子，把m、n關(guān)系式代入就可以得出結(jié)果．------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------附錄：拋物線上點(diǎn)的設(shè)法拋物線的表達(dá)式：。表達(dá)式中的x是一次，等式兩邊同時(shí)除以可得，根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，若設(shè)拋物線上的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)就是，也就是可以設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(,)。這么設(shè)的好處是，點(diǎn)P中只有一個(gè)未知數(shù)。事實(shí)上，為了不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)?？梢栽O(shè)為（拋物線的參數(shù)方程）拋物線上的"兩點(diǎn)"拋物線上1.可知其斜率本來要涉及4個(gè)變量(兩點(diǎn)各自的橫縱坐標(biāo)),現(xiàn)在就化為2個(gè)，從而大大減小了變量間的糾纏(拋物線上的直線斜率可化簡)同樣的，若拋物線為,則拋物線上兩點(diǎn)的直線方程已知，再設(shè)直線AB上任意一點(diǎn)為P（x,y）,利用P,A,B三點(diǎn)共線，則整理（結(jié)合）得