2022-2023學(xué)年海南省屯昌中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合，，則()

A.B.C.D.

2.是()

A.B.C.D.

3.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)()

A.B.C.D.

4.命題：“”，命題：“”，則是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

5.已知，則()

A.B.C.D.

6.如圖所示，中，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，是線(xiàn)段的靠近的三等分點(diǎn)，則()

A.

B.

C.

D.

7.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.B.C.D.

8.湖北省第十六屆運(yùn)動(dòng)會(huì)將于年月在宜昌舉行，為了方便宜昌市民觀看，夷陵廣場(chǎng)大屏幕屆時(shí)會(huì)滾動(dòng)直播賽事，已知大屏幕下端離地面米，大屏幕高米，若某位觀眾眼睛離地面米，則這位觀眾在距離大屏幕所在的平面多遠(yuǎn)，可以獲得觀看的最佳視野？最佳視野是指看到屏幕上下夾角的最大值()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知，則下列計(jì)算正確的有()

A.B.C.D.

10.下列與平面向量相關(guān)的結(jié)論正確的是()

A.在四邊形中，若，則該四邊形為平行四邊形

B.對(duì)任意一個(gè)等邊，都成立

C.對(duì)于非零向量，，成立的充要條件是，方向相同

D.對(duì)于非零向量，，成立的充要條件是，方向相同

11.下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)的圖象是通過(guò)把的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的

B.函數(shù)的圖象上相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為

C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)

D.若函數(shù)為偶函數(shù)，則的絕對(duì)值最小為

12.若，滿(mǎn)足，則()

A.B.C.D.

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.的值為_(kāi)_____．

14.已知函數(shù)，則______．

15.設(shè)為單位向量，且，則______________．

16.在中，由以下各個(gè)條件分別能得出為等邊三角形的有：______．

已知且；

已知且；

已知且；

已知且．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

17.本小題分

已知向量．

若，求．

若，且，求的坐標(biāo)．

18.本小題分

如圖所示，已知在正方形中，，分別是邊，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．

設(shè)，，用，表示，；

猜想與的位置關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想并用向量法證明你的猜想．

19.本小題分

已知函數(shù)，其中，．

將化簡(jiǎn)成的形式；

求使取得最大值的自變量的集合．

20.本小題分

在中，已知角，，．

求角；

求的面積．

21.本小題分

已知函數(shù)為奇函數(shù)．

求的定義域和的值；

證明：是的充要條件；

直接寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間和值域．

22.本小題分

已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．

求函數(shù)的解析式；

在中，為銳角且，，猜想的形狀并證明．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，，

．

故選：．

進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．

本題考查了描述法、列舉法的定義，交集的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】

【分析】

利用誘導(dǎo)公式把要求的式子化為，從而求得結(jié)果．

本題主要考查應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，要特別注意符號(hào)的選取，這是解題的易錯(cuò)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．

【解答】

解：，

故選：．

3.【答案】

【解析】解：因?yàn)橄蛄?，?/p>

若，則，

解得．

故選：．

由兩向量垂直，數(shù)量積為，求得的值．

本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：不等式，解得：，

因?yàn)椋?/p>

所以是的充分不必要條件．

故選：．

首先求解不等式的解集，再根據(jù)集合的包含關(guān)系，即可判斷選項(xiàng)．

本題主要考查充分必要條件的判斷，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：．

故選：．

利用二倍角公式化簡(jiǎn)，用表示，即可求解．

本題考查了二倍角公式化簡(jiǎn)與計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：由題意可得：，，，，

，

故選：．

利用向量共線(xiàn)定理、三角形法則即可得出結(jié)論．

本題考查了向量三角形法則、向量共線(xiàn)定理、平面向量基本定理，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】解：函數(shù)是連續(xù)單調(diào)減函數(shù)，

，，

．

在零點(diǎn)在內(nèi)，

故選：．

分別將，，代入函數(shù)的表達(dá)式，通過(guò)判斷其符號(hào)的正負(fù)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，是一道基礎(chǔ)題，注意指數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用．

8.【答案】

【解析】解：如圖所示：

由題意知：，，

設(shè)，則，，

，

當(dāng)且僅法，即時(shí)取等號(hào)，，

當(dāng)時(shí)，可以獲得觀看的最佳視野．

故選：．

設(shè)，表示出，，利用兩角和差正切公式，結(jié)合基本不等式可確定當(dāng)時(shí)，取得最大值，由此可得結(jié)論．

本題考查解三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，屬中檔題．

9.【答案】

【解析】解：因?yàn)椋?，故A正確；

則，且，所以，故B正確；

，故C正確；

，故D錯(cuò)誤．

故選：．

根據(jù)指對(duì)互化，得，再根據(jù)指數(shù)運(yùn)算判斷其他選項(xiàng)．

本題主要考查了指數(shù)與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化及指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于，若，則且，所以四邊形為平行四邊形，故A正確；

對(duì)于，對(duì)任意一個(gè)等邊，三個(gè)向量的方向不相同，故不成立，B錯(cuò)誤；

對(duì)于因?yàn)?，所以?/p>

若，則，則或，即，方向相同或相反，

反之，，方向相同，則，即，

所以應(yīng)是充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于對(duì)于非零向量，，若，則，方向相同，

反之，由向量的加法，若，方向相同，則有，

故成立的充要條件是，方向相同，故D正確．

故選：．

根據(jù)題意，根據(jù)向量相等的定義，以及向量數(shù)量積的公式，依次分析選項(xiàng)是否正確，綜合可得答案．

本題考查平面向量的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及平面向量的相等和模等概念，屬于基礎(chǔ)題．

11.【答案】

【解析】解：對(duì)于，把的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，錯(cuò)誤；

對(duì)于，函數(shù)的圖象上相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，正確；

對(duì)于，令得，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，正確；

對(duì)于，，若函數(shù)為偶函數(shù)，

則，所以，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，則的絕對(duì)值最小為，正確．

故選：．

根據(jù)平移變換法則判斷，根據(jù)函數(shù)的周期判斷，根據(jù)對(duì)稱(chēng)中心結(jié)論判斷，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)判斷．

本題主要考查函數(shù)的圖象變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：因?yàn)?，由可變形為?/p>

，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故A正確，B錯(cuò)誤；

因?yàn)樽冃慰傻茫?/p>

設(shè)，所以，

因此

，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

此時(shí)，，取到最大值，故C錯(cuò)誤．

由可變形為，解得，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確．

故選：．

根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假，其中選項(xiàng)，利用三角換元及三角恒等變換進(jìn)行求解．

本題主要考查了基本不等式及三角函數(shù)的性質(zhì)在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：

．

故答案為：．

利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)即可求解．

本題主要考查了兩角差的正弦公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)，

則，

所以．

故答案為：．

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式先求出，進(jìn)而計(jì)算可得答案．

本題考查函數(shù)值的計(jì)算，涉及分段函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查向量的模的求法，數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于較易題．

直接利用向量的模的平方，結(jié)合已知條件轉(zhuǎn)化求解即可．

【解答】

解：，為單位向量，且，

，

可得，

，

所以，

則．

故答案為：．

16.【答案】

【解析】解：對(duì)于，因?yàn)?，且，所以?/p>

由余弦定理得，，

又，所以，

整理得，即，

所以，

故為等邊三角形；

對(duì)于，因?yàn)?，，所以或?/p>

當(dāng)時(shí)，由，知，所以為等邊三角形；

當(dāng)時(shí)，由，知為等腰三角形，

綜上，條件不能推出為等邊三角形；

對(duì)于，因?yàn)榍遥?/p>

所以，

整理得，即，

又，所以，

故為等邊三角形；

對(duì)于，由正弦定理及，得，

所以，

所以或，即或，

當(dāng)時(shí)，由，知，所以為等邊三角形；

當(dāng)時(shí)，由，知，，所以為直角三角形，

綜上，條件不能推出為等邊三角形．

故答案為：．

先由三角形內(nèi)角和定理求得角，再根據(jù)余弦定理，推出，得解；利用正弦值求角，再分兩種情況討論，得解；利用邊的關(guān)系及完全平方式，化簡(jiǎn)運(yùn)算可得解；利用正弦定理化邊為角，再由二倍角公式，可得或，分類(lèi)討論，得解．

本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理，二倍角公式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

17.【答案】解：因?yàn)橄蛄?，?/p>

所以；

設(shè)，

因?yàn)?，且?/p>

所以，

所以或，

所以或．

【解析】直接利用向量的線(xiàn)性坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可；

設(shè)出向量的坐標(biāo)，利用模的坐標(biāo)公式及共線(xiàn)的坐標(biāo)公式列方程計(jì)算即可．

本題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了共線(xiàn)向量的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

18.【答案】解：由題和平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算可得：，

；

，證明如下：

由知，，

所以，

設(shè)，

則，

所以，所以，得證．

所以與的位置關(guān)系為：．

【解析】利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算求解即可；

用基底表示兩個(gè)向量，利用數(shù)量積的運(yùn)算證明即可．

本題考查平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算和數(shù)量積，屬于中檔題．

19.【答案】解：

．

由知，，則當(dāng)時(shí)，

即時(shí)，取得最大值，

所以使取得最大值的自變量的集合為．

【解析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及三角恒等變換化簡(jiǎn)即可．

結(jié)合正弦函數(shù)取得最大值的結(jié)論，換元法即可求得．

本題考查三角函數(shù)的恒等變換，輔助角公式，最大值，屬于中檔題．

20.【答案】解：根據(jù)正弦定理，，，，，

所以，

又，

所以，

所以角；

因?yàn)椋?/p>

所以．

【解析】根據(jù)正弦定理求得角，結(jié)合角即可求角；

根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合三角恒等變換，即可求解．

本題考查了正弦定理，三角形的面積公式以及三角函數(shù)恒等變換的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．

21.【答案】解：由題意，，所以，故的定義域?yàn)椋?/p>

又為奇函數(shù)，所以恒成立，而，

故恒成立，所以恒成立，所以，所以；

由知，，

充分性：當(dāng)時(shí)，，所以，所以；

必要性：若，則，所以，

所以，即，解得，

綜上，是的充要條件．

，則在和上單調(diào)遞減，

證明如下：任取，且，，

則，

由于，，所以，，

所以在上單調(diào)遞減，同理可證在上單調(diào)遞減．

因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋曰颍?/p>

所以函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

【解析】先由分母不為求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求的值．

從充分性和必要性?xún)煞矫娼Y(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域證明即可；

先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后利用定義法證明，利用求解函數(shù)的值域．

本題主要考查了函數(shù)奇偶性及單調(diào)性定義的應(yīng)用，函考查了函數(shù)的單調(diào)性在