人教A版必修二6.4.2向量在平面幾何和物理的應(yīng)用 課堂、課后練習(xí)題（含解析）

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一.向量在平面幾何中的向量方法

例1.已知等腰△ABC,AB=AC,點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn),求證AM⊥BC.

例2.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動點(diǎn),則的最小值為

二．向量在物理中的應(yīng)用

例1.如圖,一條河的兩岸平行,河的寬度=500,一艘船從A處出發(fā)到河對岸,已知船的速度=10/,水流速度

=2/,問

⑴行駛航程最短時(shí),所用時(shí)間是多少？(精確到0.1min)

⑵行駛時(shí)間最短時(shí),所用的時(shí)間是多少？

三.兩向量的和與差的模的最值

例1.有下列不等式：

①-+②-==+

③-=+④-=+

其中,一定不成立的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

例2.若=2,=3,則的取值范圍是（）

變式：求的取值范圍？

例3.若=8,=5,則的取值范圍是（）

A．[3，8]B．(3，8)C．[3，13]D．(3，13)

答案：

一.向量在平面幾何中的向量方法

例1．

例2.5

二．向量在物理中的應(yīng)用

例1.(1)行駛的航程最短時(shí),所用的時(shí)間是3.1min.

(2)行駛的時(shí)間最短時(shí),所用的時(shí)間是3min.

三.兩向量的和與差的模的最值

例1.選A

例2.[1,5]變式[1,5]

例3.C

課后檢測

一．能力提升

1．已知點(diǎn)A(－2，－3)，B(2,1)，C(0,1)，則下列結(jié)論正確的是()

A．A，B，C三點(diǎn)共線B.⊥C．A，B，C是等腰三角形的頂點(diǎn)D．A，B，C是鈍角三角形的頂點(diǎn)

2．已知三個(gè)力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn)，為使物體保持平衡，再加上一個(gè)力f4，則f4＝()

A．(－1，－2)B．(1，－2)

C．(－1,2)D．(1,2)

3．在四邊形ABCD中，若＝－，·＝0，則四邊形為()

A．平行四邊形B．矩形C．等腰梯形D．菱形

4．已知一條兩岸平行的河流河水的流速為2m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船在靜水中的速度大小為()

A．10m/sB．2m/sC．4m/sD．12m/s

5．人騎自行車的速度為v1，風(fēng)速為v2，則逆風(fēng)行駛的速度為()

A．v1－v2B．v2－v1C．v1＋v2D．|v1|－|v2|

6．點(diǎn)O在△ABC所在平面內(nèi)，給出下列關(guān)系式：

①＋＋＝0；②·＝·＝0；③(＋)·＝(＋)·＝0.

則點(diǎn)O依次為△ABC的()

A．內(nèi)心、重心、垂心B．重心、內(nèi)心、垂心C．重心、內(nèi)心、外心D．外心、垂心、重心

7．已知兩個(gè)粒子A、B從同一點(diǎn)發(fā)射出來，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為va＝(4,3)，vb＝(3,4)，則va在vb上的投影為________．

8．已知點(diǎn)A(0,0)，B(，0)，C(0,1)．設(shè)AD⊥BC于D，那么有＝λ，其中λ＝________.

9．在四邊形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，則四邊形ABCD的面積是________．

10.證明:平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和.

已知:平行四邊形ABCD.

求證:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.

二.能力提升

11．已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為，x，y，則＋的最小值是________．

12.在平行四邊形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°，E為CD的中點(diǎn)．若則＝1，則AB的長為________．

答案：

1.答案：D解析：∵＝(－2,0)，＝(2,4)，∴·＝－4<0，∴∠C是鈍角．

2.答案：D解析：由物理知識知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．

3.答案：B解析：由＝－知四邊形ABCD是平行四邊形，又·＝0，∴⊥，∴此四邊形為矩形．

4.答案：B解析：設(shè)河水的流速為v1，小船在靜水中的速度為v2，船的實(shí)際速度為v，則|v1|＝2，|v|＝10，

v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝＝2(m/s)．

5.答案：C解析：對于速度的合成問題，關(guān)鍵是運(yùn)用向量的合成進(jìn)行處理，逆風(fēng)行駛的速度為v1＋v2，故選C.

6.答案：C

解析：①由于＝－(＋)＝－2，其中D為BC的中點(diǎn)，可知O為BC邊上中線的三等分點(diǎn)(靠近線段BC)，所以O(shè)為△ABC的重心；

②向量，分別表示在AC和AB上取單位向量和，它們的差是向量，當(dāng)·＝0，即OA⊥B′C′時(shí)，則點(diǎn)O在∠BAC的平分線上，同理由·＝0，知點(diǎn)O在∠ABC的平分線上，故O為△ABC的內(nèi)心；

③＋是以，為邊的平行四邊形的一條對角線，而是該四邊形的另一條對角線，·(＋)＝0表示這個(gè)平行四邊形是菱形，即||＝||，同理有||＝||，于是O為△ABC的外心．

7.答案：

解析：由題知va與vb的夾角θ的余弦值為cosθ＝＝.

∴va在vb上的投影為|va|cosθ＝5×＝.

8.答案：

解析：如圖||＝，||＝1，||＝2，由于AD⊥BC，且＝λ，所以C、D、B三點(diǎn)共線，所以＝，即λ＝.

9.答案：30

解析：＝－＝(3,6)＝，∵·＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴⊥，∴四邊形ABCD為矩形，||＝，||＝，∴S＝||·||＝30.

10.證明:不妨設(shè)=a,=b,則

=a+b,=a-b,||2=|a|2,||2=|b|2.

得||2==(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2.①

同理||2=|a|2-2a·b+|b|2.②

+②得||2+||2=2(|a|2+|b|2)=2(||2+||2).

所以,平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和.

11．18[解析]∵·＝2，∴bccosA＝2，

∵∠BAC＝30