《1等腰三角形的性質(zhì)》教學(xué)

15.3.1等腰三角形的性質(zhì)義務(wù)教育教科書（滬科）八年級數(shù)學(xué)上冊新課引入新知探究定義及相關(guān)概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.ACB腰腰底邊頂角底角底角新知探究等腰三角形的性質(zhì)1剪一剪：把一張長方形的紙按圖中的紅線對折，并剪去陰影部分（一個直角三角形），再把得到的直角三角形展開，得到的三角形ABC有什么特點(diǎn)？互動探究新知探究ABCAB=AC等腰三角形新知探究找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對折，找出其中重合的線段和角.重合的線段重合的角

ACBDAB與AC

BD與CD

AD與AD∠B

與∠C.∠BAD

與∠CAD∠ADB與∠ADC等腰三角形是軸對稱圖形.

猜一猜：

由這些重合的角，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)嗎？說一說你的猜想.新知探究定理1等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）.ABCD已知：△ABC

中，AB=AC,求證：∠B=∠C.證法1：證明：作底邊BC的中線AD.在△ABD與△ACD中：AB=AC（已知），BD=DC（作圖），

AD=AD（公共邊），∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠B=∠C（全等三角形對應(yīng)角相等）.應(yīng)用格式：∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等邊對等角）新知探究證法2：證明：作頂角∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D.

∵AD平分∠BAC

，

∴∠1＝∠2.

在△ABD與△ACD中，AB＝AC（已知），∠1＝∠2（已證），

AD＝AD（公共邊），∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠B＝∠C.ABCD((12新知探究

證法3：證明：作底邊BC的高AD，交BC于點(diǎn)D.∵AD⊥BC，

∴∠ADB

＝∠ADC＝90°.

在Rt△ABD與Rt△ACD中，

AB＝AC（已知），

AD＝AD（公共邊），∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴∠B＝∠C.ABCD新知探究解:∵AB=AC,（已知）∴∠B=∠C，（等邊對等角）∴∠B=∠C=×（180°－120°）=30°.又∵BD=AD,（已知）∴∠BAD=∠B=30°.（等邊對等角）同理，∠CAE=∠C=30°.∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE=120°-30°-30°=60°.例1

如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，點(diǎn)D,E是底邊上兩點(diǎn)，且BD=AD,CE=AE.求∠DAE的度數(shù).新知探究ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x

例2

如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù).解析：（1）觀察∠BDC與∠A、∠ABD的關(guān)系，∠ABC、∠C呢？∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A,（2）設(shè)∠A=x,把△ABC的內(nèi)角和用含x的式子表示出來.∵∠A+∠ABC+∠C=180°∴x+2x+2x=180°,新知探究解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.設(shè)∠A=x,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.方法總結(jié)：利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可以得到角與角之間的關(guān)系，當(dāng)這種等量關(guān)系或和差關(guān)系較多時，可考慮列方程解答，設(shè)未知數(shù)時，一般設(shè)較小的角的度數(shù)為x.新知探究【變式題】如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數(shù).解：∵AB=AD=DC，∴∠B=∠ADB，∠C=∠DAC.設(shè)∠C=x，則∠DAC=x，∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=2x.在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得2x+x+26°+x=180°，解得x=38.5°.∴∠C=x=38.5°，

∠B=2x=77°.新知探究例3

等腰三角形的一個內(nèi)角是50°，求這個三角形的底角的度數(shù).解：當(dāng)50°的角是底角時，三角形的底角就是50°；當(dāng)50°的角是頂角時，兩底角相等，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理易得底角是65°.方法總結(jié)：等腰三角形的兩個底角相等，已知一個內(nèi)角，則這個角可能是底角也可能是頂角，要分兩種情況討論．新知探究等腰三角形的性質(zhì)2

建筑工人在蓋房子時，用一塊等腰三角板放在梁上，從頂點(diǎn)系一重物，如果系重物的繩子正好經(jīng)過三角板底邊中點(diǎn)，就說房梁是水平的，你知道為什么嗎?新知探究定理2

等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合（通常說成等腰三角形的“三線合一”）.ABCD((12

填一填:根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理2完成下列填空.在△ABC中，

當(dāng)AB=AC時，（1）∵AD⊥BC，∴∠_____=∠_____，____=____.(2)∵AD是中線，∴____⊥____，∠_____=∠_____.(3)∵AD是角平分線，∴____⊥____，_____=_____.122BDCDADBCBD1BCADCD新知探究任意畫出一個等腰三角形的底角平分線、這個底角所對的腰上的中線和高，看看它們是否重合？不重合！三線合一為什么不一樣?新知探究1.等腰三角形的頂角一定是銳角.2.等腰三角形的底角可能是銳角、直角或者鈍角.3.鈍角三角形不可能是等腰三角形.

4.等腰三角形的頂角平分線一定垂直底邊.5.等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合.6.等腰三角形底邊上的中線一定平分頂角.（×）（×）（×）（×）（√）（√）判斷對錯新知探究例3

如圖，點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.(1)若AD＝AE，求證：BD＝CE；(2)若BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，如圖②，求證：AF⊥BC.圖②圖①新知探究證明：(1)如圖①，過A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；(2)∵BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.圖②圖①G方法總結(jié)：在等腰三角形有關(guān)計(jì)算或證明中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線．新知探究等腰三角形的性質(zhì)定理的推論類比探究ABCABC問題1等邊三角形的三個內(nèi)角之間有什么關(guān)系？等腰三角形AB=AC∠B=∠C等邊三角形AB=AC=BCAB=AC∠B=∠CAC=BC∠A=∠B∠A=∠B=∠C=60°內(nèi)角和為180°新知探究推論：

等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°.已知：AB=AC=BC，

求證：∠A=∠B=∠C=60°.

證明：∵AB=AC.∴∠B=∠C.(等邊對等角)

同理∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=60°.ABC新知探究ABCABC問題2

等邊三角形有“三線合一”的性質(zhì)嗎?等邊三角形有幾條對稱軸？結(jié)論:等邊三角形每條邊上的中線,高和所對角的平分線都“三線合一”.頂角的平分線、底邊上的高底邊上的中線三線合一一條對稱軸三條對稱軸新知探究例4

如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點(diǎn)，D是BC延長線上一點(diǎn)，連接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數(shù)．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.方法總結(jié)：等邊三角形是特殊的三角形，它的三個內(nèi)角都是60°，這個性質(zhì)常應(yīng)用在求三角形角度的問題上，一般需結(jié)合“等邊對等角”、三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì).2.如圖，在△ABC中，AB=AC，過點(diǎn)A作AD∥BC，若∠1=70°，則∠BAC的大小為（）A．40°B．30°C．70°D．50°A1.等腰三角形有一個角是90°，則另兩個角的度數(shù)分別是（）A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°B課堂小測3.如圖，l∥m，等邊△ABC的頂點(diǎn)B在直線m上，邊BC與直線m所夾的銳角為20°，則∠α的度數(shù)為（）A．60°B．45°C．40°D．30°C課堂小測4.(1)等腰三角形一個底角為75°,它的另外兩個角為

____

__；(2)等腰三角形一個角為36°,它的另外兩個角為

____________________；(3)等腰三角形一個角為120°,它的另外兩個角為

.75°,30°72°,72°或36°,108°30°，30°課堂小測

5.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為50°，則底角的大小為___________．ABCABC70°或20°注意：當(dāng)題目未給定三角形的形狀時，一般需分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進(jìn)行分類討論.課堂小測6.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，

∠B=30°，求∠BAD和∠ADC的度數(shù).ABCD解：∵AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，

∴

∠C=

∠B=30°，∠BAD=∠DAC，∠ADC=90°.

∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.=60°.課堂小測7.如圖，已知△ABC為等腰三角形，BD、CE為底角的平分線，且∠DBC＝∠F，求證：EC∥DF.∴∠DBC＝∠ECB.∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF