2022-2023學(xué)年江蘇省南京市棲霞中學(xué)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）VIP

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat18頁(yè)2022-2023學(xué)年江蘇省南京市棲霞中學(xué)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若直線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】?jī)牲c(diǎn)求斜率，斜率為傾斜角的正切值.【詳解】斜率，∴傾斜角．故選：A．2．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（

）A．1 B．3 C．9 D．81【答案】A【分析】根據(jù)條件，利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a，短半軸長(zhǎng)b，半焦距c的關(guān)系列式計(jì)算即得.【詳解】由橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則半焦距c=2，于是得，解得，所以的值為1.故選：A3．已知向量，，．若λ為實(shí)數(shù)，()∥，則λ＝（

）.A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】先求出的坐標(biāo)，再由()∥，，列方程可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，因?yàn)?)∥，，所以，解得，故選：B4．如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，m，在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高（

）A．30m B．mC．m D．m【答案】D【分析】在中，利用正弦定理求出BC長(zhǎng)，再在中即可作答.【詳解】在中，依題意有，由正弦定理得，即，由于塔垂直于地面，于是在中，，從而得，所以塔高m.故選：D5．橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【解析】由雙曲線方程知，結(jié)合橢圓方程及共焦點(diǎn)有且，即可求值.【詳解】由雙曲線知：且，而其與橢圓有相同焦點(diǎn)，∴且，解得，故選：A6．19世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日，創(chuàng)立了畫(huà)法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，提出了著名的蒙日?qǐng)A定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱為蒙日?qǐng)A，橢圓的蒙日?qǐng)A方程為.若圓與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則b的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到蒙日?qǐng)A的方程為，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意得，橢圓的蒙日?qǐng)A的半徑，所以橢圓的蒙日?qǐng)A的方程為：，因?yàn)閳A與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，可得兩圓外切，所以，解得.故選：B.7．如圖，“愛(ài)心”圖案是由函數(shù)的圖象的一部分及其關(guān)于直線的對(duì)稱圖形組成．若該圖案經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)M是該圖案上一動(dòng)點(diǎn)，N是其圖象上點(diǎn)M關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)題意得到，設(shè)直線與函數(shù)相切，得到，再根據(jù)平行線間距離公式求解即可.【詳解】函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以.設(shè)直線與函數(shù)相切，聯(lián)立消去y，得．，解得．則直線與直線間的距離為．故MN的最大值為．故選：B8．在平面直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn)之間的折線距離為，設(shè)點(diǎn)P是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】結(jié)合圖形，易知定點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的折線距離的最小值等于該點(diǎn)到直線的水平距離或豎直距離中較小的一個(gè)，先求出圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值，然后即可得出答案.【詳解】解：結(jié)合圖形，易知定點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的折線距離的最小值等于該點(diǎn)到直線的水平距離或豎直距離中較小的一個(gè)，直線的傾斜角為，斜率為，則，因此，定點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的折線距離的最小值等于該點(diǎn)到直線的豎直距離，圓心到直線的距離為，因此圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為，故圓上的點(diǎn)到直線的最小折線距離為1.故選：B.二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，則（）A．z的實(shí)部是 B．z的虛部是C．z的共軛復(fù)數(shù)為 D．【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算得，再利用復(fù)數(shù)的定義，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式依次判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】∵，則有：z的實(shí)部是，A正確；z的虛部是，B錯(cuò)誤；z的共軛復(fù)數(shù)為，C正確；，D正確；故選：ACD.10．在疫情防護(hù)知識(shí)競(jìng)賽中，對(duì)某校的名考生的參賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，，，，，，分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作代表值，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．成績(jī)?cè)诘目忌藬?shù)最多B．不及格的考生人數(shù)為C．考生競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為分D．考生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)約為分【答案】AC【分析】由頻率分布直方圖最高矩形成績(jī)?cè)?，由此可確定對(duì)應(yīng)頻率最大，可知分布人數(shù)最多，并由此估計(jì)得到眾數(shù)，知AC正確；根據(jù)成績(jī)?cè)诘膶?duì)應(yīng)的頻率可確定不及格人數(shù)，知B錯(cuò)誤；根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)中位數(shù)的方法可求得中位數(shù)，知D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，成績(jī)?cè)诘木匦巫罡撸瑒t對(duì)應(yīng)的頻率最大，成績(jī)分布在此的考生人數(shù)最多，A正確；對(duì)于B，成績(jī)?cè)诘念l率為，不及格的人數(shù)為人，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，成績(jī)?cè)诘木匦巫罡?，?duì)應(yīng)的頻率最大，眾數(shù)為分，C正確；對(duì)于D，成績(jī)?cè)诘念l率和為，設(shè)中位數(shù)為，則，解得：，中位數(shù)約為分，D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的基本方法如下：（1）眾數(shù)：最高矩形橫坐標(biāo)的中點(diǎn)；（2）中位數(shù)：將矩形總面積二等分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）平均數(shù)：每個(gè)小矩形橫坐標(biāo)中點(diǎn)與對(duì)應(yīng)矩形的面積的乘積的總和.11．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（

）A．橢圓的離心率為B．橢圓上存在點(diǎn)，使得C．過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則的面積最大值為D．定義曲線為橢圓的伴隨曲線，則曲線與橢圓無(wú)公共點(diǎn)【答案】BD【分析】利用橢圓方程給出的信息逐項(xiàng)分析、推理、計(jì)算即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A：因，，則，即，離心率，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：以線段為直徑的圓O：，顯然橢圓的短軸端點(diǎn)在圓O內(nèi)，于是得圓O與橢圓C有公共點(diǎn)，即橢圓上存在點(diǎn)，有，則，B正確；對(duì)于C：顯然直線AB不垂直于y軸，將直線的方程代入橢圓的方程得：，設(shè)，，，因此，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：橢圓中，，而伴隨曲線中，，因此，曲線與橢圓C不可能有公共點(diǎn)，D正確.故選：BD12．?dāng)€尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，多見(jiàn)于亭閣式建筑、園林建筑．下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為，側(cè)棱長(zhǎng)為米，則該正四棱錐的（

）A．底面邊長(zhǎng)為6米B．側(cè)棱與底面所成角的正弦值為C．側(cè)面積為平方米D．體積為立方米【答案】ABCD【分析】設(shè)O為正方形的中心，為的中點(diǎn)，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，利用線面角的定義得出，根據(jù)已知條件得到各邊的長(zhǎng)，進(jìn)而求出正四棱錐的側(cè)面積，側(cè)棱與底面的夾角，體積即可判斷各選項(xiàng).【詳解】如圖，在正四棱錐中，設(shè)底面邊長(zhǎng)為．設(shè)O為正方形的中心，為的中點(diǎn)，則，，∴

為二面角的平面角，又正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為，因?yàn)?，?/p>

．在中，，所以，即底面邊長(zhǎng)為6米，故A正確，∴

，，,又側(cè)棱與底面所成的角為，,故B正確，正四棱錐的側(cè)面積平方米．故C正確，正四棱錐的體積，故D正確，故選：ABCD.三、填空題13．已知點(diǎn)，，則以線段AB為直徑的圓的方程為.【答案】【分析】求出圓心坐標(biāo)和半徑可得答案.【詳解】圓心坐標(biāo)為，，以線段AB為直徑的圓的方程為.故答案為：.14．已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均為銳角，則β＝.【答案】【分析】通過(guò)α，β，α－β的范圍求出他們的正弦，余弦值，再通過(guò)sinβ＝sin[α－(α－β)]可得sinβ，進(jìn)而可得β.【詳解】因?yàn)棣粒戮鶠殇J角，所以－<α－β<.又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.又sinα＝，所以cosα＝，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.所以β＝.故答案為：15．甲、乙二人做射擊游戲，甲、乙射擊擊中與否是相互獨(dú)立事件．規(guī)則如下：若射擊一次擊中，則原射擊人繼續(xù)射擊；若射擊一次不中，就由對(duì)方接替射擊．已知甲、乙二人射擊一次擊中的概率均為，且第一次由甲開(kāi)始射擊，則第4次由甲射擊的概率．【答案】【分析】根據(jù)題意，分4種情況討論，即可求得第4次由甲射擊的概率．【詳解】根據(jù)題意，第4次由甲射擊分為4種情況：甲連續(xù)射擊3次且都擊中；第1次甲射擊擊中，但第2次沒(méi)有擊中，第3次由乙射擊沒(méi)有擊中；第1次甲射擊沒(méi)有擊中，且乙射擊第二次擊中，但第3次沒(méi)有擊中；第1次甲沒(méi)有擊中，且乙射擊第2次沒(méi)有擊中，第3次甲射擊擊中，所以這件事的概率為.故答案為：16．如圖，哈爾濱市有相交于點(diǎn)的一條東西走向的公路與一條南北走向的公路，有一商城的部分邊界是橢圓的四分之一，這兩條公路為橢圓的對(duì)稱軸，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為1(單位:千米).根據(jù)市民建議，欲新建一條公路，點(diǎn)分別在公路上，且要求與橢圓形商城相切，當(dāng)公路長(zhǎng)最短時(shí)，的長(zhǎng)為千米.【答案】【分析】設(shè)為,聯(lián)立可得,利用可得,則,利用均值不等式求最值,再由取等條件求得即可【詳解】由題,設(shè)為,由圖易得,聯(lián)立可得,則,即,因?yàn)闉?為,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等,即故答案為【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的實(shí)際應(yīng)用,考查利用均值不等式求最值,考查運(yùn)算能力四、解答題17．如圖，在平面四邊形ABCD中，，BC＝CD＝2，∠ADC＝150°，∠BCD＝120°．（1）求BD的長(zhǎng)；（2）求∠BAD的大小．【答案】（1）；（2）45°.【分析】(1)在ΔBCD中由余弦定理可解得;(2)在ΔADB中，由正弦定理可解得.【詳解】解：（1）如圖:在ΔBCD中，BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，由余弦定理得，，∴.（2）在ΔBCD中，BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，∴∠CDB=∠CBD=30°∵∠ADC=150°∴∠ADB=120°在ΔADB中，由正弦定理得，∵∴∴∵為銳角∴∠BAD=45°.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理和正弦定理,屬于中檔題.18．已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，且圓心在直線上.(1)求圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）求出線段的垂直平分線方程，與直線聯(lián)立，求出圓心坐標(biāo)，半徑即可求圓的方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，切線方程為；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，再由圓心到直線的距離等于半徑列方程求解，即可求解.【詳解】（1）由，，得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又，所以線段的垂直平分線斜率為，所以線段的垂直平分線為即，由可得，所以圓心，則半徑，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為與圓相切符合題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，圓心到直線的距離，解得，所以此時(shí)切線方程為，所以切線方程為或.19．已知橢圓：，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)，離心率，左焦點(diǎn)；（Ⅱ）已知P是橢圓上一點(diǎn)，且，求的面積.【答案】（Ⅰ）長(zhǎng)軸，短軸，離心率，左焦點(diǎn).（Ⅱ）.【詳解】試題分析：（Ⅰ）由橢圓的方程及性質(zhì)直接求解；（Ⅱ）由橢圓的定義知.；勾股定理，得；，得即可.試題解析：（Ⅰ）由橢圓知，，則，，故，所以橢圓的長(zhǎng)軸，短軸，離心率，左焦點(diǎn).（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得.由橢圓的定義知，在中，由勾股定理，得，得，，.20．如圖1，在平行四邊形ABCD中，，AD＝2，AB＝4，將△ABD沿BD折起，使得點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P，如圖2(1)證明：BD⊥平面PAD；(2)當(dāng)二面角的平面角的正切值為時(shí)，求直線BD與平面PBC夾角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由題意證明，結(jié)合，根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)二面角的平面角的正切值為，求得PA的長(zhǎng)，說(shuō)明，證明平面PBC平面PBD,從而找到直線BD與平面PBC的夾角，即可求得答案.【詳解】（1）證明：在中，因?yàn)椋珹D＝2，AB＝4，故，所以，即,在沿對(duì)角線BD將翻折過(guò)程中，始終有，故,因?yàn)槠矫鍼AD，故BD⊥平面PAD；（2）如圖，設(shè)PA的中點(diǎn)為E，連接DE,BE，因?yàn)?故,又因?yàn)?故,則是二面角的平面角，由（1）知BD⊥平面PAD，平面PAD，則,故,故在中，,則,則,而,平面ABCD,故平面ABCD,而平面ABCD,故,又因?yàn)?而平面PBD,所以平面PBD,由于平面PBC,故平面PBC平面PBD,且平面PBC平面PBD=PB,故過(guò)點(diǎn)D向平面PBC作垂線，垂足F落在PB上，則,即為直線BD與平面PBC的夾角，由（1）可知,而，則,則,故直線BD與平面PBC的夾角的正弦值為.21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓交軸于、兩點(diǎn)，交直線于、兩點(diǎn)．(1)若，求的值；(2)設(shè)直線、的斜率分別為、，試探究斜率之積是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)證明：直線、的交點(diǎn)必然在一條定直線上，并求出該定直線的方程．【答案】(1)；(2)恒為定值；(3)證明見(jiàn)解析，交點(diǎn)恒在定直線上.【分析】（1）利用勾股定理可求得圓心到直線的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的等式，即可求得實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用斜率公式結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值，即可證得結(jié)論成立；（3）設(shè)直線的斜率為，可得出，寫(xiě)出直線、的方程，求出兩直線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：圓的圓心為，到直線的距離為，，可得，解得.（2）解：將代