人教B版（2023）必修第一冊2.2.4均值不等式及其應用（含解析）

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（共21題）

一、選擇題（共13題）

下列式子中最小值為的是

A．B．

C．D．

若，且，則下列不等式中，恒成立的是

A．B．C．D．

設，，則的最大值是

A．B．C．D．

下列各式中，對任何實數(shù)都成立的一個式子是

A．B．C．D．

設，，都是正實數(shù)，且，滿足，則使恒成立的的取值范圍是

A．B．C．D．

“”是“”的

A．充分非必要條件B．必要非充分條件

C．充要條件D．既非充分也非必要條件

設非零實數(shù)，，則“”是“”成立的

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

某工廠的產值第二年比第一年的增長率是，第三年比第二年的增長率是，而這兩年中的年平均值增長值是，在為定值的情況下，的最大值為

A．B．

C．D．

當時，函數(shù)有

A．最小值B．最大值C．最小值D．最大值

設，則取得最小值時，的值為

A．B．C．D．

當時，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為

A．B．

C．D．

已知正數(shù)，滿足，則的最小值為

A．B．C．D．

直線和（）與軸圍成的三角形的面積的最小值為

A．B．C．D．

二、填空題（共5題）

函數(shù)的最小值為，此時．

已知關于的不等式的解集為，則的最小值是．

已知正實數(shù)，滿足，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為．

已知函數(shù)，若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．

設，，均為正實數(shù)，且，則的最大值為．

三、解答題（共3題）

設，，且．

(1)；

(2)與不可能同時成立．

若實數(shù)滿足，則稱比接近．

(1)若比接近，求的取值范圍；

(2)對于任意的兩個不等正數(shù)，，求證：比接近；

(3)若對于任意的非零實數(shù)，實數(shù)比接近，求的取值范圍．

若，求證：．

答案

一、選擇題（共13題）

1.【答案】D

2.【答案】D

【解析】因為，所以A錯誤．

對于B，C，當，時，明顯錯誤．

對于D，因為，所以．

3.【答案】D

【解析】，當且僅當，即，時，等號成立，則的最大值是．

4.【答案】C

【解析】對于A，當時，無意義，故A不恒成立；

對于B，當時，，故B不恒成立；

對于D，當時，（當且僅當時，等號成立），故D不恒成立；

對于C，，所以恒成立．

5.【答案】D

【解析】因為，，都是正實數(shù)，且，

所以

當且僅當，即時，等號成立，此時，，

所以，要使恒成立，需．

6.【答案】A

【解析】，

所以“”是“”的充分非必要條件，故選A．

7.【答案】B

【解析】因為時，都有，即，而，所以“”是“”的必要不充分條件．

8.【答案】B

【解析】由題意知：，

所以，

當且僅當時等號成立，所以，

則在為定值的情況下，的最大值為．

9.【答案】B

【解析】，當且僅當，即時取等號，所以有最大值．

10.【答案】A

【解析】方法一：

因為，

當且僅當時取等號，

所以，

當且僅當時取等號，

所以

方法二：

當且僅當，，，

即，，時取等號，

故取得最小值時，

的值為．

11.【答案】D

【解析】因為，所以（當且僅當，即時取等號），

所以，又恒成立，

所以，所以．

所以實數(shù)的取值范圍是．

12.【答案】A

【解析】，

所以，

所以

13.【答案】B

【解析】直線與軸交點為，與軸交點為，直線與的交點為，當且僅當時，等號成立．

二、填空題（共5題）

14.【答案】；

【解析】，

當，即，

所以．

15.【答案】

【解析】由于，故一元二次方程的判別式，

由根與系數(shù)的關系得則

當且僅當，時等號成立．

綜上可得的最小值是．

16.【答案】

17.【答案】

【解析】，即，則，

所以，，

當且僅當時等號成立，所以，故的取值范圍是．

18.【答案】

三、解答題（共3題）

19.【答案】

(1)由，，，得，

由基本不等式及，有，即．

(2)假設與同時成立，

則由及得；

同理得，從而，這與矛盾，

故與不可能同時成立．

20.【答案】

(1)由題意得：，則或．

由，求得或；

由，求得無解．

所以取值范圍為．

(2)因為且，所以，且，

所以

則，

即比接近．

(3)由題