2023-2024學年安徽省蕪湖市高一下冊期中聯(lián)考數(shù)學模擬試題

2023-2024學年安徽省蕪湖市高一下冊期中聯(lián)考數(shù)學模擬試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】解不等式求出集合，再求交集即可.【詳解】∵集合，，則故選：A.2.已知i是虛數(shù)單位，若，則實數(shù)a=（）A.2 B.2 C.-2 D.±2【正確答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)模的概念求解即可.【詳解】，，解得，故選：D3.若向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B.C. D.（4，2）【正確答案】B【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積及向量在向量上的投影向量計算即可.【詳解】向量在向量上的投影向量為，故選：B4.“，”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)兩者之間的推出關系可得條件關系.【詳解】若，則，若，則，不能推出故“”是“”的充分不必要條件，故選：A.5.計算：（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用誘導公式及兩角差的余弦公式求解.【詳解】因為故選：B.6.勒洛三角形是一種特殊三角形，指分別以正三角形的三個頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.如圖，勒洛三角形ABC的周長為π，則該勒洛三角形ABC的面積為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由題意可得曲邊三角形的面積為3個扇形面積減去2個三角形的面積．【詳解】因為勒洛三角形ABC的周長為π，所以每段圓弧長為，解得，即正三角形的邊長為1，由題意可得，故選：C7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，，為f（x）的零點，在已知的條件下，下列選項中可以確定其值的量為（）A.Asinφ B. C. D.φ【正確答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可知，是函數(shù)的兩個零點，即可得，利用已知條件即可確定的值.【詳解】根據(jù)圖象可知，函數(shù)的圖象是由向右平移個單位得到的，由圖可知，利用整體代換可得，所以，若為已知，則可求得.故選：D.8.銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，C，若，則sinA的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)余弦定理和正弦定理化簡得，再求出的范圍即可.【詳解】由，得，由余弦定理得，∴，即，由正弦定理得，∵，∴，即.∵，∴，∴，又為銳角三角形，∴，∴，解得，又，，，∴，∴.故選：C.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列命題正確的是（）A.設是非零向量，則B.若，是復數(shù)，則C.設是非零向量，若，則D.設，是復數(shù)，若，則【正確答案】BC【分析】根據(jù)向量數(shù)量積公式，判斷AC；根據(jù)復數(shù)的四則運算，以及復數(shù)模的公式，判斷BD.【詳解】A.設是非零向量，則，只有當時，，，其他情況不相等，故A錯誤；B.設，，，，，所以，故B正確；C.設是非零向量，若，兩邊平方后得，故C正確；D.設，，，，，，若，則，又，不能推出，故D錯誤.故選：BC10.已知正實數(shù)、滿足，則下列結論正確的是（）A. B.C D.【正確答案】AD【分析】利用基本不等式可判斷ABD選項，利用特殊值法可判斷C選項.【詳解】因為正實數(shù)、滿足，對于A選項，，當且僅當時，等號成立，A對；對于B選項，因為，則，當且僅當時，等號成立，B錯；對于C選項，當，時，，C錯；對于D選項，，當且僅當時，等號成立，D對.故選：AD.11.中，角、、所對的邊分別為、、，則“是直角三角形”的充分條件是（）A. B.C. D.【正確答案】BD【分析】利用正弦函數(shù)的單調性可判斷A選項；利用兩角和與差的正弦公式可判斷B選項；利用余弦定理可判斷CD選項.【詳解】對于A選項，因為且、，則，若為銳角，則，且，此時，即；若為鈍角，則，且，此時，即.綜上所述，為直角三角形或鈍角三角形，A不滿足條件；對于B選項，因為，即，即，因為，則，所以，，即，所以，，所以，或，因、，則或為直角，故為直角三角形，B滿足條件；對于C選項，因為，即，整理可得，所以，或，故為等腰三角形或直角三角形，C不滿足條件；對于D選項，因為，整理可得，所以，為直角三角形，D滿足條件.故選：BD.12.已知，則下列不等式正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】利用誘導公式結合正弦函數(shù)的單調性可判斷A選項；利用輔助角公式結合正弦函數(shù)的單調性可判斷BD選項；利用零點存在定理結合誘導公式可判斷C選項.【詳解】當時，，，對于A選項，，且，所以，，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，故，A對；對于B選項，因為，則，因為，即，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，則，B對；對于C選項，因為函數(shù)在上單調遞增，且，，所以，存在，使得，則，此時，，C錯；對于D選項，因為，則，因，即，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，則，D對.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，若，則實數(shù)___________.【正確答案】【分析】根據(jù)向量共線的坐標表示直接解即可.【詳解】由題意得，，因，所以，得.故答案為.14.求值：___________.【正確答案】1【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則、換底公式求解．【詳解】故1.15.已知，則tanβ=___________.【正確答案】【分析】由得，根據(jù)倍角正切公式求得，而，利用差角正切公式即可求解.【詳解】由得，所以，．故16.中，，點P為所在平面內一點且，則C=___________，若，則的最大值為___________.【正確答案】①.②.【分析】由得，從而得到，由可得，從而得到是等腰直接三角形，建立直角坐標系，令，設，由得到點的軌跡是以為直徑的圓，從而得到，由圓方程確定，從而求解.【詳解】因為，所以，即，所以，即，又因為，所以，由正弦定理可得，所以，所以是等腰直角三角形，令，則，如圖，以點為原點，以為軸，軸建立直角坐標系，設，則，，，，因為，所以，即.因為，則點的軌跡是以為直徑的圓，所以點的軌跡方程為所以，即，所以當時，有最大值，最大值為.故；四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答問題（1）若______，求實數(shù)t的值；（2）若向量，且，求.【正確答案】（1）答案見解析（2）【分析】（1）選①，由向量垂直的坐標表示求解；選②由模的坐標表示求解；（2）由向量相等的坐標運算列方程組求得值，然后由模的坐標表示計算．【小問1詳解】選①：由，得，即解得或選②：由，得，即所以.【小問2詳解】所以，解得，所以．18.已知z是復數(shù)，和均為實數(shù)，其中i是虛數(shù)單位.（1）求復數(shù)z的共軛復數(shù)；（2）記，若復數(shù)對應的點在第三象限，求實數(shù)m的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）設，分別代入和，再根據(jù)兩者均為實數(shù)可求得，，進而可求得復數(shù)z的共軛復數(shù)；（2）化簡，再根據(jù)復數(shù)對應的點在第三象限可建立不等式組，求解即可.【小問1詳解】設，則由為實數(shù)，則，所以，由為實數(shù)，則，所以則，復數(shù)z的共軛復數(shù).【小問2詳解】由（1）可知，由對應的點在第三象限，得，即，解得故實數(shù)m的取值范圍為19.已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的非負半軸，終邊與單位圓相交于點P，若點位于軸上方且.（1）求的值；（2）求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)，，三個直接的關系，可得.（2）由可得【小問1詳解】由三角函數(shù)的定義，，，兩邊平方，得則，，，所以，.【小問2詳解】由（1）知，，.20.設函數(shù)．其中．（1）求的最小正周期；（2）當時，求實數(shù)的值，使函數(shù)的值域恰為，并求此時在上的對稱中心．【正確答案】（1）（2），對稱中心為，.【分析】（1）應用二倍角正余弦公式、輔助角公式化簡，進而求其最小正周期；（2）根據(jù)正弦型函數(shù)性質求值域，結合已知確定m值，整體法求其對稱中心即可.【小問1詳解】由題設，所以，最小正周期.【小問2詳解】當，則，故，所以，故時滿足的值域恰為，此時，令，，則，，所以在上的對稱中心為，.21.如圖，兩個直角三角板拼在一起，，.（1）若記，試用表示向量，；（2）若，求【正確答案】（1），（2）【分析】（1）根據(jù)向量的線性運算即可求解；（2）由平行線分線段成比例可得，再由向量的數(shù)量積運算及性質求解即可.【小問1詳解】由條件，得，，因為，，所以，可得，，.【小問2詳解】由條件，得，，因為，所以，則，，則，而所以.22.某公園計劃改造一塊四邊形區(qū)域鋪設草坪，其中百米，百米，，，草坪內需要規(guī)劃4條人行道，，，以及兩條排水溝，，其中，，分別為邊，，中點．（1）若，求排水溝的長；（2）當變化時，求4條人行道總長度的最大值．【正確答案】（1）（百米）；（2）（百米）．【分析】（1）結合已知圖形中角的關系，在和中，分別利用余弦定理表示可求；（2）先設，，，然后由余弦