2021屆廣東省部分學(xué)校高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷(5月份)(含答案解析)

2021屆廣東省部分學(xué)校高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（5月份）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.己知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為則（）

A.z+1是實(shí)數(shù)B.z+1是純虛數(shù)C.z+i是實(shí)數(shù)D.z+i是純虛數(shù)

2.集合M={x|x=n,neZ},N={x|x=-,nGZ},P={x|x=n+鼻,n€Z},則下列各式中正確

的（）

A.M=NB,M\JN=PC.N=MUPD.N=MCiP

3.直線％—gy—2=0將圓0一1）2+丫2=1分割成的兩段圓弧長(zhǎng)之比為（）

A.1:1B,1:2C.1:3D.1:4

4.6、已知函數(shù),/（x）=）在區(qū)間［1,2］上的最大值為A,最小值為B,則A-8等于（）

x

A.-B.—C.1D.—1

22

5.某地區(qū)今年1月，2月，3月，4月，5月患某種傳染病的人數(shù)分別是52,61,68,74,78.若用

下列四個(gè)函數(shù)模型預(yù)測(cè)以后各月的患該種傳染病的人數(shù)，哪個(gè)最不合理？（）

A./（x）=kx+hB,f（x）=ax2+bx+c

C./（x）=pqx+rD./（%）=minx+n

6.等差數(shù)列{0}的前〃項(xiàng)和為Sn，若的+。3+。8=9,a6=9,則S9的值是（）

A.64B.72C.54D.以上都不對(duì)

2%2019

7.設(shè)復(fù)數(shù)X=5（i是虛數(shù)單位），則6019%+C^oi9x+廢019/+…+^2019=（）

A.iB.—iC.-1+iD.-1—i

8.三棱柱ABC-的底面△ABC是正三角形，AAr1平面ABC,AB=2,AA.=V3.D為BC

中點(diǎn)，則三棱錐A—BiDG的體積為（）

A.3B.；C.1D.在

22

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.給出下列命題，其中正確的選項(xiàng)有（）

A.非零向量五、石滿足|五|=|b|=\a-b\^貝曝與W+E的夾角為30。

B.若（同+而）.（布-衣）=0，則AABC為等腰三角形

C.若單位向量的弓、方的夾角為120。，則當(dāng)|2日+彳&|0€/?）取最小值時(shí)，x=1

D.若萬(wàn)J=（3,-4），OB=（6,-3）.OC=（5-m,-3-m）.乙4BC為銳角，則實(shí)數(shù)，”的取價(jià)范

圍是m>一；

4

10.若sin：冬aG(0,71),則()

A.cosa=1B.sina=|

C.sin(-+-)=^i^D.sin(j-》=4

V2476

11.已知Q>b>0,0<C<1,則()

cccc

A.ac>beB.a>bC.ab<baD,logca<\ogcb

12.已知F「&為雙曲線C：攝—l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)居作漸近線丫=gx的垂線

交雙曲線右支于點(diǎn)P,直線P『2與y軸交于點(diǎn)Q（P，Q在X軸同側(cè)），連接QF1，若內(nèi)切圓圓心恰好

落在以F1F2為直徑的圓上，則下列結(jié)論正確的有（）

A.zF1PF2B.內(nèi)切圓的半徑為|a-b|

C.OQ=yfs'OID,雙曲線的離心率為近

三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知比mx=2,則.

14.過(guò)圓錐的高的中點(diǎn)且與圓錐底面平行的截面把圓錐分成兩部分的體積之比為一

15.已知以雷=4為周期的函數(shù)頻礴：=1881fsg'獻(xiàn)：一叼，其中姍:泌I。若方程

口一,一即說(shuō)出黑國(guó)

蟄鬣磅=貨恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則懶的取值范圍為_

16.有兩個(gè)質(zhì)地均勻的正方體玩具，每個(gè)正方體的六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3，…，6.隨機(jī)拋擲兩

個(gè)這樣的正方體玩具，得到面朝上的兩個(gè)數(shù)字，則這兩個(gè)數(shù)字的乘積能被3整除的概率為

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）

2

17.在4A8C中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知的乩=],sinB=^cosC.（1）求tan

C的值：

（2）若a=0，求仆ABC的面積.

18.已知等差數(shù)列｛即｝滿足：。4=7,。10=19,其前w項(xiàng)和為分.

(I)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式與及工；

(11)若砥=7^—,求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和

anan+l

19.如圖，矩形A8C。中，2BC=C。，E為CO的中點(diǎn)，以BE為折痕把四邊形4BE。折起，使A

達(dá)到P的位置，且PC1BC,M,N,F分別為PB,BC,EC的中點(diǎn).

(I)求證：PE1BF；

(H)求直線與平面MEC所成角的正弦值.

20.過(guò)動(dòng)點(diǎn)”(a,0)且斜率為1的直線/與拋物線*=2px(p>0)交于不同的兩點(diǎn)A、B,試確定實(shí)數(shù)

。的取值范圍，使2P.

21.某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)X的分布如下：

X0-678910

P00.20.30.30.2

現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績(jī)，記為包

(/)求該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中7環(huán)的概率；

(11)求§的數(shù)學(xué)期望￡。

22.已知函數(shù)/(x)=2xlnx.

(1)求單調(diào)區(qū)間和最小值；

(2)若對(duì)x21,都有函數(shù)/(x)的圖象總在直線丫=ax-2的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案與解析】

1.答案：C

解析：

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為可得z=l-i,分別計(jì)算z+1,z+i.即可判斷出結(jié)論.

解：復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,一1),則z=l—i,

Az4-1=2—i,z+i=l.

因此只有c正確.

故選：C.

2.答案：C

解析：解：N=[x\x=pneZ],當(dāng)n=2k,keZ時(shí),N-[x\x=k,k&Z},

當(dāng)n=2k+1,keZ時(shí)，N={x\x=k+^,k&Z),

：.N=MUP.

故選C.

N=[x\x=^nEZ},分類討論，可得結(jié)論.

本題考查集合的運(yùn)算與關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確分類討論是關(guān)鍵.

3.答案：B

解析：

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，求出圓的圓心，半徑r和圓心(1,0)到直線久-gy-2=0的距離，

由此能求出直線4-V3y-2=0圓相交的弦所對(duì)的圓心角，從而能夠求出直線x—Wy—2=0將圓

(x-l)2+y2=1分割成的兩段圓弧長(zhǎng)之比，屬基礎(chǔ)題.

解：,?,圓(x-1)2+y2=1的圓心半徑r=1,

.?.圓心(1,0)到直線x-V3y-2=0的距離：

V1+32

設(shè)直線x-V3y-2=0圓相交的弦所對(duì)的圓心角為a,

則cos烏=2==，

???直線x-V3y-2=0將圓(x-I)2+y2=1分割成的兩段圓弧長(zhǎng)之比為:

手：(2兀一半)=1：2.

故選B.

4.答案：A

解析：解：

函數(shù)〃在區(qū)間【1,2】上是單調(diào)遞減函數(shù),

X

所以最大值/(l)=1，最小值f(2)=1，故A=l,B=-

22

所以選4.

5.答案：A

解析:解：f(x)=kx+h,則Jk=9,h=43,

???/(%)=9%+43,/⑶=70>68,/(4)=79>74,/(5)=86>78；

f(x)=ax2+bx+c,

a+b+c=54

由題意得：4a+2b+c=61,解得a=-l,b=12,c=41,

9a+3b+c=68

:./(%)=—x2+12%4-41,

???/(4)=-42+12X4+41=73<74,

/⑸=-52+12x5+41=76<78,

/(%)=p?/+r,

'p?q+r=52

由題意得:p-q2+r=61,解得p=-瓷，q=gr=92.5,

p?q3+丁=68

7297)%

???/(%)=_/(9+925

???/(4)、73,f⑸?78,

n=529

f(x)=minx+n,,."，m=—,n=52,

mln2o4-n=61^2

9

???=—Inx+52,

八,Ln2

aag

/(3)=—ln3+52<68,f(x)=—/n4+52=60<74,/(%)=—/n5+52<78,

故選：A.

求出函數(shù)解析式，計(jì)算x=4、5、6時(shí)的函數(shù)值，最后與真實(shí)值進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論.

本題考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類型的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的應(yīng)用問(wèn)

題，是中檔題.

6.答案：C

解析：解：由已知可知：%+=3的+9d=9,a6=ar+5d=9,

解得：d=3,%=—6,

則59=9x(-6)+36x3=54.

故選C.

根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)已知的兩等式得到兩個(gè)關(guān)系式,然后把兩關(guān)系式相減即可求出等差d,

把公差d的值代入到兩關(guān)系式中任意一個(gè)即可求出首項(xiàng)，然后根據(jù)等差和首項(xiàng)即可求出S9的值.

此題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值，是

一道綜合題.

7.答案：D

解析：

本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，虛數(shù)單位，的嘉運(yùn)算，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,

先化簡(jiǎn)x，再利用二項(xiàng)式定理、虛數(shù)單位，的幕運(yùn)算性質(zhì)，求得要求式子的值.

解：復(fù)數(shù)"=沫黯i=+D=+

2019V2019X+^2019%3--------1-

則6oi9%+%)19久2+廢019X3+...+C2019工=(^2019+^2019+廢019刀2

戲舲2019)_1

=(1+%)2019-1

_j2019_]=j4x504+3_]

=i3-l=-l-i,

故選O.

8.答案：C

解析：解：???三棱柱A8C-&BiCi的底面AZBC是正三角形,

AAtABC,AB=2,=如，。為BC中點(diǎn)，

AD1BiG，AD1BB1,

B

平面

■:B1C1nBB]=Bi，:.AD1DBiG，

???三棱錐4-aDC]的體積為：

%-BMG=gXSADBR*X?1D=|X|X2XV3XV22-l2=1.

故選：C.

推導(dǎo)出4D1B1G，ADIBB1,從而4。_L平面。，由此能求出三棱錐A-/。小的體積.

本題考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算

能力和推理論證能力，屬于中檔題.

9.答案：ABC

解析：解：對(duì)于A：非零向量,、方滿足|五|=|石|=|五—石卜

令：。4=五，OB=b>

則k=。+3，BA=a-b^

由于|五|=\b\=\a-b\>

如圖所示：

所以四邊形OACB為菱形，且△40B為等邊三角形；

所以44。8=60。，Z.AOC=30°,

則為與方+石的夾角為30。，故A正確.

對(duì)于B：由于(荏+而)?(荏-前)=0，

所以|四E=|就『，

所以AABC為等腰三角形，故B正確.

對(duì)于C：若單位向量的次石的夾角為120。，則當(dāng)|2五+xB|(x6R)取最小值時(shí),

即12五+x方|=yjx2—2x+4=y/(x—l)2+3>

當(dāng)x=l時(shí)，|21+x+的最小值為舊，故C正確；

對(duì)于。：OA=(3,-4).OB=(6,-3).OC=(5-m,-3-m).

由于乙4BC為銳角，

所以瓦？?”=3+4?n>0,

則m>-|,

當(dāng)?n=1時(shí)，瓦？與前共線，故。不正確.

故選：ABC.

直接利用向量的線性運(yùn)算，向量的夾角的運(yùn)算，向量的模，向量的夾角運(yùn)算判斷A、8、C、。的結(jié)

論.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，向量的夾角的運(yùn)算，向量的模，向量的夾角運(yùn)算，主要考

查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.答案：AC

解析：解：Tsin]=芋a6(0,TT),

§6(。潦)，cos-—11—sin2-——.

則cosa=1—2sin2-=1—2x(―)2=L故A正確；

2v373

sina-2sin-cos-=2x—x—=—,故B錯(cuò)誤；

22333

aTiaTiait

sin(—4--)=sin—cos—+cos—sin—

=^X立+漁x立=恒2,故C正確；

32326

ananan

sin(---)=sin—cos——cos—sin-

=立義立—漁x隹=漁二故。錯(cuò)誤.

32326

故選：AC.

由已知求解cos?,再由倍角公式及兩角差的正弦逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案.

本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及倍角公式的應(yīng)用，考查兩角差的正

弦，是基礎(chǔ)題.

11.答案：ABD

解析：解：由a>b>0,0<c<1,可得ac>be,故A正確；

由0<c<L可得函數(shù)/(x)=產(chǎn)為增函數(shù)，由a>b>0,所以<a)>f(b),即丘>淤,故8正確；

由0<c<l,可得c-l<0,所以函數(shù)g(x)=產(chǎn)-1在(0,+00)上單調(diào)遞減，

因?yàn)閍>6>0,所以g(a)<g(b),BPac-1<BPbac<abc,故C錯(cuò)誤;

由0<c<1,可得九(%)=logM在(0,+8)上單調(diào)遞減，

因?yàn)閍>b>0,所以/i(a)<九(卜),EPlogca<\ogcb,故。正確.

故選：ABD.

由不等式的基本性質(zhì)可判斷選項(xiàng)A；由事函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)B,C；由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷選

項(xiàng)D

本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，考查函數(shù)思想與邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.答案：ABD

解析：解：由雙曲線的對(duì)稱性可知，y軸為4&QF2的角平

分線，

故內(nèi)切圓的圓心/在y軸上，由內(nèi)切圓的圓心/落在以

為直徑的圓上，所以。/=。&,

則AO/FI為等腰直角三角形，則4PFIF2+：NQFIP=45。，

所以4P&F2+乙PF2F1=2NP&F2+乙QF、P=90°,

故"。尸2=》故選項(xiàng)A正確；

因?yàn)镹PF1F2=90。-NQF2O,^F2QO=90°-Z.QF2O,所

以乙PF/?=乙F2QO,

所以tan"F/2=tan"。。，即器=康，即￡=*所以。Q=手，

ac

因?yàn)?/=。&=c,所以絲=五=巴

01cb

又P&=2b,PF2=2a,所以Pa-PF?=2b-2a=2@,故2a=b,

因?yàn)椤?所以麗=：律，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

又6=Jl+('=信故雙曲線的離心率為石，故選項(xiàng)。正確；

222

在直角AQaEz中，“。？2=90。，QF2=y/OQ+OFl=Jc+(y)=

因?yàn)镹F1PF2=p所以S“1PQ=^-PQ-PF1=聽婦，

設(shè)4PQa內(nèi)切圓的半徑為R,

則有SAFJQ+SA”+SA/皿=轉(zhuǎn)辿=R(1)=s密PQ=叵產(chǎn),

解得R=\a-b\.故選項(xiàng)B正確.

故選：ABD.

根據(jù)題設(shè)條件可得△0/&為等腰直角三角形，則/PF/2+^QFiP=45°,從而可求出4P&F2+

乙PFzF［,即可判斷選項(xiàng)A,設(shè)APQFi內(nèi)切圓的半徑為凡利用面積法可求出凡從而可判定選項(xiàng)8,

先求出PF1，PF2,然后根據(jù)PR—PF2=2a,即可求出離心率以及麗=1o7,即可判斷選項(xiàng)C與力.

本題主要考查了雙曲線的離心率，以及三角形的內(nèi)切圓，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的

能力，屬于中檔題.

13.答案：—g

解析：解："tanx=2,

故答案為：-g

把已知條件直接代入二倍角的正切公式計(jì)算可得.

本題考查二倍角的正切公式，屬基礎(chǔ)題.

14.答案：1:7

解析：過(guò)圓錐高的中點(diǎn)與底面平行的截面，截得的上邊小圓錐與整個(gè)大圓錐底面半徑的比為1:2,高

的比為1:2,所以體積比為1:8,所以被截的兩部分體積比為1:7.

15.答案:淮.陶

解析：試題分析：據(jù)對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行變形后發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)冢?,5］,［7,9］上時(shí)，f(x)的圖象為

TT'

半個(gè)橢圓.根據(jù)圖象推斷要使方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則需直線丁=三與第二個(gè)橢圓相交，而與第三個(gè)

橢圓不公共點(diǎn).把直線分別代入橢圓方程，根據(jù)△可求得機(jī)的范圍。解：???當(dāng)x6(-1,1］時(shí)，將函數(shù)

化為方程貸普20)，???實(shí)質(zhì)上為一個(gè)半橢圓，其圖象如圖所示，同時(shí)在坐標(biāo)系中作出當(dāng)xe

(1,3］得圖象，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其它部分的圖象，由圖易知直線y=可與第二個(gè)橢圓

察

窗：_q瞠罟與=工相交，而與第三個(gè)半橢圓?:—瞰圖并與=2無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，將

y=三代入盤':—嘮替M=?中得到，

(9m24-I)%2—72m2x+135m2=0,令t=9m2(t>0),

厚微T

則(t+l)x2—Btx+15t=0,由4=(8t)2—4x15t(t+1)>0,得t>15,由97712>15,且m>0

得m,同樣由y=三'代入盤..微產(chǎn)年與=3,由△<0可計(jì)算得m<右，故可知根的范圍

31

J5

考點(diǎn)：函數(shù)與方程

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用函數(shù)的周期性以及方程的解的運(yùn)用，屬于中檔題。

16.答案：|

解析：解：若這兩個(gè)數(shù)字的乘積能被3整除，則這兩個(gè)數(shù)字中至少有3,6中的一個(gè)，

基本事件的總數(shù)有6X6=36種，

其中既沒有3,也沒有6的基本事件共有4x4=16種，

則這兩個(gè)數(shù)字的乘積能被3整除的概率為：1-

故答案為：

若這兩個(gè)數(shù)字的乘積能被3整除，則這兩個(gè)數(shù)字中至少有3,6中的一個(gè)，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)

算公式能求出這兩個(gè)數(shù)字的乘積能被3整除的概率.

本題考查概率的求法，考查古典概型、對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分析能力和計(jì)算能

力，是基礎(chǔ)題.

2

17.答案：解：（1）因?yàn)?VAV7T,cosA=-,

得sinA=Jl-cos，/=，

又君cosC=sinB=sin（A+Q=sinAcosC+cosAsinC

-^5-2.一

—cosC+—sinC?

33

所以tanC=??

(2)由tanC=g,得sinC='^',cosC=.

于是sinB=y/5cosC=

ac

由a=0及正弦定理，得匕=也.

sirMsinC

設(shè)4ABC的面積為S,則S=l?csin5=—.

22

解析：略

%+3d=7

18.答案：解:(1)設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d,則

%+9d=19'

解得：的=1,d=2,

an=1+2(n-1)=2n—1,

S“=*匕2=R

ii

(2洱=2(271-1__2__n_+__l)，

an^n+i(2n-l)(2n+l)

?,?數(shù)列｛'｝的前n項(xiàng)和為7n=1[(1--+…+

=31_焉)=￡

解析：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能

力，屬于中檔題.

(1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出.

⑵利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出.

19.答案：解：(I)證明：設(shè)BC=2,則BN=CN=1,CF=EF=1,

以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CE為y軸，過(guò)C作平面BCE的垂直CQ為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則8(2,0,0),E(0,2,0),尸(0,1,0),

設(shè)pg,z),PB=CD=2BC=4,

則PE=y/PD24-DE2=>/22+22=2伍PC=yJPB2-BC2=<42-22=2A

r(%-2)2+y2+z2=16

222

A-%+(y-2)4-z=8,解得％=0,y=2,z=2A/2,

+y2+z2=12

???P(0,2,2&)，

PE=(0,0,-2V2)>喬=(-2,1，0),

???麗?/=0，???PF1BF.

(口)解：?.?“為第中點(diǎn)，???加(1/，V2),則麗=：兩=(一1/，V2),

?.?前=燈=前=(一1]，V2),AD(-l,3,V2),N(l,0,0),

.?.麗=(2,—3,—遮)，設(shè)面MEC的法向量記=(%y,z),

,(n-MC=%+y+\[2z=0時(shí)廠T廠八

由{―_>,?。?聲，得ZF711=(四,0,—1),

{n-CE=y=0

設(shè)直線ND與平面MEC所成角為。，

則sin9-跑=3?_叵

J'iSlnU同?阿氏代—5,

???直線ND與平面MEC所成角的正弦值為叵.

5

解析：(I)以C為原點(diǎn)，C8為X軸，CE為y軸，過(guò)C作平面8CE的垂直CQ為Z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系，利用向量法能證明PF18F.

(H)求出面用EC的法向量，利用向量法能求出直線NO與平面MEC所成角的正弦值.

本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)

系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

20.答案:解：由題意，直線/的方程為y=x-a,將y=x-a代入y?=2px,得/-2(a+p)x+a2=

0.

設(shè)直線/與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為力(與,yi)、fi(x2,y2),

(4(a+p>-4a2>0

則\x1+x2=2(a+p)

2

(%!%2=0--

又yi=x1-a,y2=x2~a,

22

\AB\=V(xj-x2)+(yj-y2y=yj2[(xx+x2)-Ax^]=J8P(p