矩陣變換的特征值與特征向量

矩陣變換的特征值與特征向量第1頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月矩陣變換的特征值與特征向量第2頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)習若向量

=

,利用逆矩陣解二元一次方程組則

與

共線,即

與

平行,即

∥

.第3頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月表示一個壓縮變換BCAxyO11MB’C’AxyO1121第4頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月ABCxy11-1OABCB’A’xy11-1ON關(guān)于y軸的反射變換第5頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月一般地,給定矩陣M,若存在一個非零向量

和實數(shù),滿足M=

則稱為矩陣M的特征值,

為矩陣M的屬于特征值的特征向量.特征向量變換后的像與原向量是共線的特征向量的不變換性第6頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月還有沒有其他的特征值和特征向量?如何確定矩陣的特征值和特征向量呢?第7頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月實例分析由定義知第8頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月特征向量是非零向量,將問題轉(zhuǎn)化為:二元一次方程組何時有非零解.存在逆矩陣N-1M無特征向量第9頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月當

2-5-24=0時,才可能是M的特征值解方程得

1=82=-3第10頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月將1=8代入(5.2)

1=8是M的特征值都是屬于特征值1=8的特征向量.第11頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月將

2=-3代入(5.2)x+y=0對每一個x≠0的值,都是屬于

2=-3的特征向量

2=-3是M的特征值第12頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月對于矩陣M,若有特征值及相應(yīng)的特征向量,即M

=

,則對任意實數(shù)t(t≠0),t

也必是矩陣M對應(yīng)于特征值的特征向量.由于它們是共線的第13頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月堂上練習1.求下列矩陣的特征值和特征向量第14頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月堂上練習2.利用特征向量的定義證明,若

是矩陣M對應(yīng)于特征值的特征向量,則t

(實數(shù)t≠0)也必是矩陣M對應(yīng)于特征值的特征向量.第15頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月抽象概括若矩陣M存在特征值,及其對應(yīng)的特征向量第16頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月因此,矩陣M的特征值必須滿足方程方程的根即為矩陣M的特征值一個二階方陣最多可以有兩個特征值方程最多有兩根解得特征值代入第17頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月第18頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月當b≠0時,由(-a)x–by=0當x≠0時第19頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解矩陣M的特征值滿足方程解得M的兩個特征值

1=2,2=3設(shè)屬于特征值

1=2的特征向量為滿足方程組第20頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月這樣的向量有無窮多個,可表示為為屬于特征值

1=2的一個特征向量設(shè)屬于特征值

2=3的特征向量為滿足方程組這樣的向量有無窮多個,可表示為為屬于特征值

2=3的一個特征向量第21頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月綜上所述,有兩個特征值

1=2,2=3第22頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月對上例中連續(xù)實施n次矩陣M的變換,則第23頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月一般地,當矩陣M有特征值及對應(yīng)的特征向量

,即M=

則有Mn

=

給定兩個不同線向量

1,

2及任意向量

,總存在實數(shù)s,t,

使得=s

1+t

2如果矩陣M有兩個不同線的特征向量

1,

2,及其相應(yīng)的特征值1,2,有M

1=

1

1,M

2=

2

2

對任意向量

有M=M(s

1+t

2)=s(M

1)+t(M

2)=s(

1

1)+

t(

2

2)

第24頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月變換結(jié)果,任意向量在矩陣M作用下的變換結(jié)果均可以用它們表示.對一般向量連續(xù)實施矩陣M所表示的變換時,M2

=M2(s

1+t

2)=s(

M2

1)

+t(M2

2)第25頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月一般地第26頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例2解利用例1結(jié)果是矩陣M分別對