湖南省長沙市三十七中學(xué)高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析

湖南省長沙市三十七中學(xué)高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知a，b∈R，直線y=ax+b+與函數(shù)f（x）=tanx的圖象在x=﹣處相切，設(shè)g（x）=ex+bx2+a，若在區(qū)間[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，則實數(shù)m（）A．有最小值﹣e B．有最小值e C．有最大值e D．有最大值e+1參考答案：D【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，解方程可得b=﹣1，a=2，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，可得最值，解不等式即可得到m的最值．【解答】解：∵，∴，∴，又點在直線上，∴，∴b=﹣1，∴g（x）=ex﹣x2+2，g'（x）=ex﹣2x，g''（x）=ex﹣2，當(dāng)x∈[1，2]時，g''（x）≥g''（1）=e﹣2＞0，∴g'（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，∴g'（x）≥g（1）=e﹣2＞0，∴g（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，∴或e≤m≤e+1，∴m的最大值為e+1，無最小值，故選：D．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用函數(shù)的單調(diào)性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．2.某地區(qū)舉行一次數(shù)學(xué)競賽選拔，有1000人參加，已知參賽學(xué)生的競賽成績近似服從正態(tài)分布N（70，100），則成績在90分以上（含90分）的學(xué)生共有（參考數(shù)據(jù)）A．23人

B．22

C．46

D．45參考答案：答案:A3.已知等差數(shù)列的前項和為，，，取得最小值時的值為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A

4.若實數(shù)滿足不等式組則的最大值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D5.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sm﹣2=﹣4，Sm=0，Sm+2=12．則公差d=（）A． B．1 C．2 D．8參考答案：C【考點】等差數(shù)列的前n項和．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，建立方程，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm﹣2=﹣4，Sm=0，Sm+2=12，∴am+am﹣1=Sm﹣Sm﹣2=0+4=4，am+2+am+1=Sm+2﹣Sm=12﹣0=12，即，解得d=2．故選：C．6.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則（

）A.B.C.D.參考答案：D【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)及確定的周期為，再利用周期性和函數(shù)的單調(diào)性判斷選項.【詳解】因為滿足，所以，所以定義在上的奇函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，則，，，而由得，又因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，即.故選D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,由函數(shù)的周期性將所給函數(shù)值轉(zhuǎn)化到所給范圍內(nèi)的函數(shù)值.若函數(shù)滿足（a>0），則的周期為T=2a.7.已知點，若函數(shù)的圖象上存在兩點到點的距離相等，則稱該函數(shù)為“點距函數(shù)”，給定下列三個函數(shù):①；②；③，其中“點距函數(shù)”的個數(shù)是（

）A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：C8.已知某個幾何體的三視圖如圖（主視圖中的弧線是半圓）,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，可得這個幾何體的表面積是（

）（單位cm）A．

B．C．

D．參考答案：D9.函數(shù)的一條對稱軸方程是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D10.已知函數(shù)，若對于任意，都有

成立，則的取值范圍是

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ.

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在的展開式中，常數(shù)項為

.參考答案：1512.如圖所示是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積為

．參考答案：【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】首先還原幾何體為正方體和三棱錐的組合體，分別計算體積得到所求．【解答】解：由三視圖得到幾何體如圖：其體積為；故答案為：13.已知，向量與的夾角為，，則等于______．參考答案：略14.（坐標(biāo)與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，曲線C1和C2的方程分別為和＝1，以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線C1和C2的交點的直角坐標(biāo)為＿＿參考答案：（1,1）

15.對任意的實數(shù)b，直線y＝－x＋b都不是曲線y＝x3－3ax的切線，則實數(shù)的取值范圍是________．參考答案：(－∞,) 16.若雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為

．參考答案：或考點：雙曲線的簡單性質(zhì)．專題：計算題．分析：當(dāng)焦點在x軸上時，=，根據(jù)==求出結(jié)果；當(dāng)焦點在y軸上時，=，根據(jù)==求出結(jié)果．解答： 解：由題意可得，當(dāng)焦點在x軸上時，=，∴===．當(dāng)焦點在y軸上時，=，∴===，故答案為：或．點評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，求出的值，是解題的關(guān)鍵．17.F1、F2是雙曲線的兩個焦點，P為雙曲線上一點，，且△F1PF2的面積為1，則a的值是．參考答案：a=1或﹣【考點】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】討論a＞0，a＜0，運用雙曲線的定義和向量垂直的條件，以及三角形的面積公式，結(jié)合勾股定理，解方程即可得到所求值．【解答】解：設(shè)P為雙曲線右支上一點，當(dāng)a＞0時，由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|=4，，可得PF1⊥PF2，△F1PF2的面積為1，可得|PF1|?|PF2|=1，即有|PF1|?|PF2|=2，由勾股定理可得，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20a，即有（|PF1|﹣|PF2|）2+2|PF1|?|PF2|=16a+4=20a，解得a=1；當(dāng)a＜0時，雙曲線即為﹣=1，由雙曲線的定義可得||PF1|﹣|PF2||=2，，可得PF1⊥PF2，△F1PF2的面積為1，可得|PF1|?|PF2|=1，即有|PF1|?|PF2|=2，由勾股定理可得，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=﹣20a，即有（|PF1|﹣|PF2|）2+2|PF1|?|PF2|=﹣4a+4=﹣20a，解得a=﹣．綜上可得a=1或﹣．故答案為：a=1或﹣．【點評】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，以及三角形的勾股定理和面積公式的運用，考查分類討論思想方法，以及運算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本大題12分）

已知函數(shù).

（Ⅰ）判斷奇偶性；

（Ⅱ）若圖象與曲線關(guān)于對稱，求的解析式及定

義域；

（Ⅲ）若對于任意的恒成立，求的取值范圍.參考答案：略19.（本小題滿分14分）如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E為側(cè)棱PD的中點．（1）證明：PB∥平面EAC；（2）求證：AE⊥平面PCD；（3）若AD=AB，試求二面角A－PC－D的正切值；參考答案：解：（1）連結(jié)交于,連結(jié),則,且,又平面,平面,PB//平面EAC．

……4分（2）正三角形PAD中，E為PD的中點，所以，，又，所以，AE⊥平面PCD．

……9分（3）在PC上取點M使得。由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以所以，在等腰直角三角形DPC中，，連接，因為AE⊥平面PCD，所以，。所以，為二面角A－PC－D的平面角?！?2分在中，．即二面角A－PC－D的正切值為

…………14分20.（14分）

已知數(shù)列{an}的前n項為和Sn，點在直線上.數(shù)列{bn}滿足

，前9項和為153.

（Ⅰ）求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；

（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列{cn}的前n和為Tn，求使不等式對一切都成立的最大正整數(shù)k的值.

（Ⅲ）設(shè)是否存在，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.參考答案：解析：（Ⅰ）由題意，得

故當(dāng)時，注意到n=1時，，而當(dāng)n=1時，n+5=6，所以，

……………………3分又，所以{bn}為等差數(shù)列………………5分于是而

………7分因此，

………………8分

（Ⅱ）

…………10分所以，

…………12分由于，因此Tn單調(diào)遞增，故………………13分令

…………14分

（Ⅲ）①當(dāng)m為奇數(shù)時，m+15為偶數(shù).此時，所以

………………12分②當(dāng)m為偶數(shù)時，m+15為奇數(shù).此時，所以（舍去）.綜上，存在唯一正整數(shù)m=11，使得成立.……14分注：（1）2個空的填空題，第一個空給3分，第二個空給2分.

（2）如有不同解法，請閱卷老師酌情給分.21.（本小題滿分14分)已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性;（3）若對任意的，不等式恒成立，求k的取值范圍．參考答案：（1）因為是奇函數(shù)，所以=0，即（2）由（1）知，設(shè)，則.因為函數(shù)y=2在R上是增函數(shù)且，∴>0.又>0，∴>0，即，∴在上為減函數(shù).（3）因為是奇函數(shù)，從而不等式

等價于，因為為減函數(shù)，由上式推得．即對一切有，