2023年研究生類研究生入學(xué)考試專業(yè)課量子力學(xué)歷年高頻考題帶答案難題附詳解

2023年研究生類研究生入學(xué)考試專業(yè)課量子力學(xué)歷年高頻考題帶答案難題附詳解（圖片大小可自由調(diào)整）第1卷一.歷年考點(diǎn)試題黑鉆版(共50題)1.一束自旋為的粒子進(jìn)入施特恩-格拉赫裝置SG(Ⅰ)后被分成兩束，去掉其中的一束，另一束進(jìn)入第二個施特恩-格拉赫裝置SG(Ⅱ)，SG(Ⅱ)與SG(Ⅰ)的交角為θ，則粒子束穿過SG(Ⅱ)后又被分成兩束．求這兩束的相對數(shù)目之比．2.粒子被約束在半徑為r的圓周上運(yùn)動

(1)設(shè)立“路障”進(jìn)一步限制粒子在的一段圓弧上運(yùn)動：

求解粒子的能量本征值和本征函數(shù)．

(2)設(shè)粒子處在情形(1)的基態(tài)，求突然撤去“路障”后，粒子仍然處于最低能量態(tài)的概率是多少?3.自旋為1/2的粒子處于磁場B中，該粒子繞磁場進(jìn)動的角頻率記為ω=-γB，設(shè)t=0時刻粒子處于自旋朝下狀態(tài)|ψ(0)〉=|*〉，求：(1)t時刻粒子仍處于該狀態(tài)的概率；(2)求t時刻粒子自旋朝上的概率．4.中心力場中電子自旋與軌道角動量存在耦合能，總角動量J=L+S．Φ是J2，L2，S2，Jz的共同本征態(tài)．現(xiàn)有一電子處于3P1/2態(tài)，且mj=1/2．

(1)在一級近似下，ξ(r)可用常數(shù)代替，請問電子的能量與3P3/2態(tài)差多少?

(2)請計算該電子產(chǎn)生的平均磁矩，并由此計算在z方向均勻磁場B中電子的能量改變多少?

5.證明：為了保證軌道角動量是厄米算符，波函數(shù)ψ(r，θ，φ)滿足單值性條件

ψ(r，θ，φ)=ψ(r，θ，φ+2π)6.一個磁矩為μ=μ0σ的自旋為1/2體系處于一個沿z軸大小為B0的均勻磁場中．在t=0時，再在x軸方向加入一個大小為B1的均勻常磁場，此時新合成的磁場仍是常磁場，設(shè)其方向?yàn)閦'軸在t=0時刻及以前，體系自旋處于的本征態(tài)上，問：

(1)在t=0時刻B1磁場加入瞬間，體系自旋沿z'軸的投影的概率各是多少?

(2)在t＞0時，體系所處的態(tài)矢量的矩陣表示|ψ(t)〉為多少?

(3)在t=T時，體系處于自旋態(tài)的概率．7.在球坐標(biāo)下，證明是厄米算符．8.電子在恒定均勻磁場B=Bez中運(yùn)動(ez為z方向單位矢量)，同時考慮空間運(yùn)動與自旋運(yùn)動：

(1)寫出體系的哈密頓量；

(2)求的本征值與本征函數(shù)．9.量子力學(xué)剛性轉(zhuǎn)子被約束在一平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，它對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量是I，并有電偶極矩μ(位于平面內(nèi))．轉(zhuǎn)子放在一弱均勻電場ε中，電場位于轉(zhuǎn)動平面內(nèi)．將電場看成微擾，求能量修正值．10.考慮有二重內(nèi)部自由度的粒子，其簡并基態(tài)|A〉，|B〉對應(yīng)于同一能量E0，即

試求相互作用

引起的能量修正．11.電子在有心力場中運(yùn)動，其中a，b是正數(shù)，r=|r|，求它的基態(tài)能量和函數(shù)．

12.設(shè)粒子所處的外場均勻但與時間有關(guān)，即V=V(t)，與坐標(biāo)r無關(guān)．試將體系的含時薛定諤方程分離變量，求方程解ψ(r，t)的一般形式，并取V(t)=V0cos(ωt)，以一維情況為例說明V(t)的影響．13.設(shè)硼原子(原子序數(shù)為5)受到的微擾作用，在簡并微擾一級近似下：

(1)論答：其價電子2p能級分裂為幾個能級?

(2)若已知其一個能級移動值為A＞0，則其余諸能級移動值為多少?

(3)求出各分裂能級對應(yīng)的波函數(shù)(用原來的諸2p波函數(shù)表達(dá))．14.對于三維諧振子，勢能為，設(shè)ωx：ωy，ωz=1:1:2，求能級分布和相應(yīng)的簡并度．15.質(zhì)量為μ的粒子在均勻力場f(x)=-F，(F＞0)中運(yùn)動，ρ(p，t)為其在動量空間的概率密度，導(dǎo)出的關(guān)系，并加以解釋．16.有一質(zhì)量為μ的粒子，在一維諧振子勢場中運(yùn)動．在動能的非相對論極限下，基態(tài)能考慮T與p的關(guān)系昀相對論修正，計算基態(tài)能級的移動ΔE至階(C為光速)．17.一個帶電粒子被限制在半徑為R的圓環(huán)上運(yùn)動，其質(zhì)量為μ，電荷量為q．在圓環(huán)中加上磁場，磁通量為Φ，磁場被約束在r＜R的區(qū)域，此時環(huán)上磁場為零，但矢勢A不為零．粒子的哈密頓量可寫為

(1)請問能譜是分立的還是連續(xù)的?

(2)請求出粒子的能級和波函數(shù)．18.設(shè)Ψ1與Ψ2是薛定諤方程的兩個解，證明與時間無關(guān)．19.核子處于三維各向同性諧振子勢場中，，能級為

如果此系統(tǒng)受到自旋-軌道耦合的微擾，問N=2能級將如何分裂?畫出能級分裂圖，給出各能級簡并度．20.考慮一個類氫原子：無自旋質(zhì)量為μ的粒子在中心力場中運(yùn)動，原子處于z方向均勻磁場中，哈密頓量可寫為為角動量z分量，ωL正比于原子磁矩M．

(1)寫出原子角動量各分量的期望值的時間演化方程；

(2)假設(shè)原子在t=0時刻處于2p軌道，的本征態(tài)，求t時刻波函數(shù)；

(3)接上問，原子角動量發(fā)生進(jìn)動，求進(jìn)動周期；

(4)接(2)問，在t時刻測量的可能值和相應(yīng)概率是多少?

(5)接(2)問，時，測量的可能值和相應(yīng)概率是多少?

注：本題可能用到的公式如下

球諧函數(shù)

在l=1時，算符表象的表示矩陣為21.質(zhì)量為μ的粒子限制在xy平面上運(yùn)動，其哈密頓量是

其中λ是小參數(shù)．把λxy項(xiàng)當(dāng)作微擾，試計算能量為的能級的分裂．22.一個質(zhì)量為μ的粒子受力作用，其波函數(shù)滿足動量空間的薛定諤方程

其中α是某一實(shí)常量，且，求力F(r)．23.在外磁場中一個自旋1/1帶電+e的粒子的哈密頓量為

計算算符，設(shè)的矩陣形式是什么?24.寫出能量表象下的薛定諤方程．25.證明：在非相對論情況量子力學(xué)中，對于有心力場V(r)，任何單粒子能量(束縛)本征態(tài)滿足如下關(guān)系

其中ψ(0)是波函數(shù)在原點(diǎn)的值，V(r)是勢能，μ是粒子的質(zhì)量，是軌道角動量算符的平方

分析：對于有心力場問題，取球坐標(biāo)是方便的，此時，體系的哈密頓量為

要證明的等式有兩個特點(diǎn)：

(i)|〉是的本征態(tài)，利用這個特點(diǎn)，可證

(2)由于，因此，要證明的等式右邊兩項(xiàng)，除了差一個常數(shù)因子之外，等于

綜合以上兩點(diǎn)，估計由即可證明本題要證的結(jié)論．26.一質(zhì)量為μ粒子被一δ勢阱束縛，即V(x)=-λδ(x)，λ＞0．在t=0時，勢阱突然關(guān)閉(消失)．計算t＞0時波函數(shù)的表達(dá)式(不必算出結(jié)果)．27.設(shè)一維諧振子處于第n個激發(fā)態(tài)，求坐標(biāo)和動量的均方差的乘積28.由兩個自旋為1的全同粒子組成的系統(tǒng)的哈密頓量為，其中分別是兩個粒子的自旋算符，J實(shí)常量，求：系統(tǒng)的能級和能級簡并度，以及系統(tǒng)的本征函數(shù)．29.已知力學(xué)量正交歸一本征函數(shù)為，相應(yīng)的本征值為a，-a，-a．在A象中，力學(xué)量的矩陣表示為

其中a，b為實(shí)數(shù)，求：它們共同本征函數(shù)ψ1，ψ2，ψ3，并給出相應(yīng)的本征值．30.原子核限度為10-13cm，試用不確定原理估算核內(nèi)質(zhì)子的動能(以電子伏為單位)．31.考慮一維方勢阱，

其中V0＞0．如果一質(zhì)量為μ、動能為E的非相對論粒子從左入射，問透射概率為多少?E為何值時該概率為1?32.我們可以將半經(jīng)典的玻爾一索末菲關(guān)系

(其中積分沿一封閉的軌道)推廣應(yīng)用到有電磁場存在的情形，只需用p-eA/c代替P．應(yīng)用這關(guān)系及關(guān)于線動量p的運(yùn)動方程，推導(dǎo)一半經(jīng)典電子在一磁場B中沿任意軌道運(yùn)動時，其磁通量的量子化條件，對于固體中的電子，這條件可用電子軌道在k空間的尺度S重新加以描述，試找出用B表達(dá)的S的量子化條件(忽略自旋效應(yīng))．33.設(shè)為軌道角動量算符，已知共同的本征函數(shù)為Ylm(θ，φ)(球諧函數(shù))，證明的共同本征函數(shù)，且本征值為34.體系的哈密頓量，已知力學(xué)量Q表象中，有

其中E0和ε均為大于0的實(shí)數(shù)，且．

(1)求的本征值和本征矢．

(2)求的基態(tài)能量(二級近似)及態(tài)矢(一級近似)．

(3)求出該體系能級的精確值，這個與(2)問中的結(jié)果是呈什么關(guān)系?35.電子偶素(e+e-束縛態(tài))類似于氫原子，只是用一個正電子代替質(zhì)子作為核．在非相對論近似下，其能量和波函數(shù)同氫原子類似．今設(shè)在電子偶素的基態(tài)里，存在一種接觸型自旋交換作用，其中Me與Mp電子和正電子的自旋磁矩利用一級微擾論計算此基態(tài)中自旋單態(tài)與自旋三重態(tài)之間的能量差，決定哪一能量更低．

36.兩個無相互作用粒子具有相同的質(zhì)量μ，在寬為a的一維無限深勢阱中運(yùn)動

(1)試寫出體系4個最低能級的能量；

(2)試對下列情況的兩粒子，分別求出4個最低能級的簡并度：

(a)自旋為1/2的全同粒子；

(b)自旋為1/2的非全同粒子；

(c)自旋為1的全同粒子．37.一個自旋為、磁矩大小為μ的粒子處于如下旋轉(zhuǎn)磁場中：

B=Bcos(ωt)ex+Bsin(ωt)ey

其中磁場大小B為定值．若初始時刻粒子的自旋沿z軸負(fù)方向，求t＞0時粒子的自旋沿z軸正方向的概率．38.已知t=0時氫原子波函數(shù)為(未歸一化)

其中ψnlm(r)為氫原子本征態(tài)，n，l，m分別為主、角和磁量子數(shù)且E1=-13.6eV，求：

(1)處于該狀態(tài)的氫原子的能量，l2，lz的平均值；

(2)t時刻的狀態(tài)ψ(r，t)；

(3)t時刻的能量，l2，lz的平均值是多少?39.處于l=0態(tài)的極化電子束，通過非均勻磁場后，分裂為強(qiáng)度不同的兩束，其中自旋平行于磁場的一束與自旋反平行于磁場的一束的強(qiáng)度比為1:3，試求入射的極化電子束自旋方向與該磁場的夾角大?。?0.討論一個由電子和正電子通過庫侖吸引力結(jié)合而成的類氫原子體系．對角動量L=0態(tài)，這個體系在外磁場B=Bez下的哈密頓量可寫成

式中，A，e，m，c為常量，分別為電子及正電子的自旋為1/2的自旋算符．H0是電子動能、正電子動能及電子與正電子之間的庫侖能之和．取作微擾，用微擾論求由于自旋而導(dǎo)致的四度簡并基態(tài)能量變化至一級修正，并簡單畫出能量修正值隨磁場變化圖．41.試用變分法求解三維空間如下勢阱(其中V0＞0，a＞0)的質(zhì)量為μ的粒子的基態(tài)能量．試探波函數(shù)取為．42.一微觀粒子沿x軸自由運(yùn)動，設(shè)t=0時刻測定其位置不確定量為Δx．計算t時刻測定該粒子位置時不確定量Δx為多大?43.證明為泡利矩陣．44.已知一量子體系只有兩個能量本征態(tài)|1〉，|2〉，它們是正交歸一的，現(xiàn)對一可觀測量測得以下數(shù)據(jù)

求以|1〉，|2〉為基，的矩陣形式和本征值．45.質(zhì)量為μ的粒子在吸引δ勢V(x)=-Aδ(x)(A＞0)中運(yùn)動，以諧振子基態(tài)型波函數(shù)為試探函數(shù)，求束縛態(tài)的近似能量．46.外磁場中電子的哈密頓量

(1)求位置矢量的對易關(guān)系

(2)證明：

(3)證明連續(xù)性方程中的概率流密度為

47.以z軸為球坐標(biāo)的極軸，說明，設(shè)氫原子中電子角動量Lz被確定到的5%，說明此時坐標(biāo)φ完全不確定．48.轉(zhuǎn)動慣量為l，電矩為P的平面剛性轉(zhuǎn)子置于均勻弱電場E中，已知電場是在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動平面上，求能級的一級和二級修正值，并給出一級微擾下的波函數(shù)．49.一個電子被限制在一維諧振子勢場中，活動范圍，求激發(fā)電子到第一激發(fā)態(tài)所需的能量．(用eV表示．)

，me=0.5MeV/c2，c=3×108m/s50.，其中表示粒子1和粒子2的自旋算符(提醒：要考慮全同性原理，不必用微擾論)

(1)求由上述哈密頓量描寫的自旋為粒子系統(tǒng)的基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)；

(2)求由上述哈密頓量描寫的自旋為1粒子系統(tǒng)的基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)．第1卷參考答案一.歷年考點(diǎn)試題黑鉆版1.參考答案：解

圖1

圖2

本征值為

本征值對于本征態(tài)：

本征值對于本征態(tài)：

對于SG(Ⅱ)測量前體系狀態(tài)為，可將用S·n的本征態(tài)來展開

而兩束的相對數(shù)目之比即為概率之比，因總數(shù)目一定，所以

2.參考答案：[解](1)本題為繞定軸轉(zhuǎn)動問題不妨取過圓心軸為z軸，則哈密頓量為：

當(dāng)0＜φ＜φ0時：

即

所以

取ψ(φ)=Asin(kφ)+Bcos(kφ)

(3)

當(dāng)φ0＜φ＜2π時：故ψ(φ)=0

(4)

根據(jù)連續(xù)性條件

ψ(0)=ψ(2π)得B=0

(5)

ψ(φ0)=ψ(2π)得Asin(kφ0)=0

(6)

故有：sin(kφ0)=0，則kφ0=nπ，n=1，2，3，…即：n=1，2，3…

由歸一化條件得

故，n=1，2，3，…，相應(yīng)得本征函數(shù)為：

(2)突然撤去“路障”時，粒子處于基態(tài)ψn(φ)(n=1)，撤去“路障”后，粒子做圓周運(yùn)動，為本征態(tài)

最低能量時m=0，

處于最低能量態(tài)的概率為：

3.參考答案：[解]方法一：利用時間演化算符求解t時刻波函數(shù)，然后利用標(biāo)積求解概率．

體系哈密頓量為

體系t＞0時刻的狀態(tài)為

首先計算時間演化算符在σz表象中矩陣表示：

利用(σ·A)(σ·B)=A·B+iσ·(A×B)可得

(σ·ω)2=ω2

(3)

其中，所以

故在表象中時間演化算符矩陣表示為

(4)

即

(5)

(1)t時刻粒子仍處于自旋朝下的概率為

方法二：求解定態(tài)薛定諤方程，然后寫出其一般解，利用標(biāo)積求出概率．

取ω=ωn，由(1)式可得

上式的解為

故一般解為

因?yàn)?/p>

所以

因此

故在t時刻仍處于自旋朝下態(tài)的概率為

因?yàn)?，所以上式與方法一一致．

(2)粒子自旋朝上的概率為

4.參考答案：[解]Φljmj≡|ljmj〉為的本征態(tài)，本征值分別為

對于態(tài)：

(1)在一級近似下：

為L·S的本征態(tài)，對應(yīng)的能量為

為L·S的本征態(tài)，對應(yīng)的能量為

所以電子的能量與

(2)由題給公式：，所以

即

所以在態(tài)上的平均值為：

所以

在z方向均勻磁場中電子的能量改變?yōu)椋?近似到一級)

故

即電子能量改變?yōu)?.參考答案：[證明]厄米算符的定義要求對于任意兩個波函數(shù)，有下式成立：

如果f=f(r，θ)與φ無關(guān)，則有

即

被積函數(shù)對r，θ部分的任意性特征要求

鑒于φ=0的方向可以任意選擇，故有ψ(r，θ，φ)=ψ(r，θ，φ+2π)．6.參考答案：[解]系統(tǒng)的哈密頓量為

依據(jù)上題方法二，上式改寫為

此處單位矢量n=(sinθ，0，cosθ)，即z'軸方向．則

容易解得上式的本征值和本征函數(shù)為

(1)在t=0時刻B1磁場加入瞬間，體系狀態(tài)來不及改變，仍為故此時粒子自旋沿z'軸的投影的概率為

考慮到，則有

所以

其中cosθ，sinθ由(3)式給定，

(3)在t=T時，體系處于自旋態(tài)的概率為

7.參考答案：[證明]取任意波函數(shù)ψ與χ，則

8.參考答案：解：此題中應(yīng)該不考慮自旋與軌道間相互作用

(1)

(2)顯然自旋角動量與軌道角動量可以分離變量

令ψ=φ(r)χ，代入上式：

即：

解得：

9.參考答案：解：無外場作用時，，本征方程為

解得

微擾哈密頓量為(選x方向?yàn)棣欧较?

能量一級修正為E(1)=0

能量二級修正為

10.參考答案：解：二重簡并，各微擾矩陣元計算如下：

同理：

所以

因?yàn)闉榱W(xué)量，a、b為實(shí)數(shù)，故求的本征值即可．

所以

故能量修正為11.參考答案：[解]設(shè)粒子的徑向波函數(shù)為：R(r)=χ(r)/r，則χ(r)滿足方程

對于基態(tài)l=0，只有徑向波函數(shù)才有意義由于V(r)=0，令，則問題化為下列邊值問題：

由χ(a)=0定出解的形式為

χ(r)=asink(r-a)

(3)

由χ(b)=0可得k的可能值

k=nπ/(b-a)，n=1，2，…

(4)

粒子處于基態(tài)時，相應(yīng)的n=1，于是得到基態(tài)能量：

由歸一化條件可得

故歸一化的基態(tài)徑向波函數(shù)為

而基態(tài)歸一化波函數(shù)為

其中來自于球諧函數(shù)部分．12.參考答案：[解]令，代入含時薛定諤方程可得

所以

解得：

取V(t)=V0cos(ωt)，則有

所以對于一維情況有

上式表明：外場的作用僅是給平面波提供一個受時間調(diào)制的相角．13.參考答案：解：

(1)2p能級上只有一個電子，n=2，l=1，故m=1，0，-1．取，能級為E2，三重簡并．考慮H'影響，為此需計算H'在空間上矩陣元，因?qū)Ζ找蕾囆匀Q于eimφ，可先考察哪些矩陣元非零：

令由微擾對應(yīng)的久期方程相應(yīng)的行列式非零：

可得，0，-a．所以能級分裂為三條

(2)由于其中一個能級移動值為A＞0，可取a=A，則其余能級移動為0，-A．

(3)由第一問知久期方程為：

對于，故

對于，故

對于能級：

14.參考答案：[解]由題意可知，能級應(yīng)該為三個獨(dú)立的諧振子能級之和，即

其中nz，nx，ny為非負(fù)整數(shù)，

當(dāng)ωx:ωy:ωz=1:1:2時，可取ωx=ωyω，ωz=2ω，所以有

取N=2nz+nx+ny，則2nz≤N，

nz有，一共有種取法(注：[]表示取整)．nz確定后，nx≤N-2nz，nx有0，1，2，…，N-2nz，一共有N-2nz+1種取法．

，N-2nz+1=1(N為偶數(shù))或2(N為奇數(shù))所以，N為偶數(shù)時，利用等差數(shù)列求和公式，總?cè)》〝?shù)，即能級簡并度為

當(dāng)N為奇數(shù)時，總?cè)》〝?shù)，即能級簡并度為

15.參考答案：解：在動量表象中計算，哈密頓量為

波函數(shù)滿足薛定諤方程

上式取共軛可得

作變換，用左乘(2)式，左乘(3)式，可得

即

上式的一般解為

表示在動量空間以速度f傳播的波包．16.參考答案：解：方法一：由微擾論知基態(tài)能級的移動為：

考慮到

由可得

近似到階的基態(tài)能級的移動為

方法二：利用產(chǎn)生算符和湮沒算符計算．

由式知，可考察勢能和勢能平方的平均值．鑒于諧振子問題中，動能平均和勢能相等，故式中前兩項(xiàng)抵消．所以僅需要計算勢能平方的平均．利用，結(jié)合，可得

故

對于基態(tài)，取n=0可得

17.參考答案：解：

顯然的本征態(tài)為系統(tǒng)的本征態(tài)，即

代入定態(tài)薛定諤方程可得

其中m為整數(shù)．因此，粒子的能級是分立的．18.參考答案：[證明]試將此式對時間求偏導(dǎo)數(shù)，再利用所滿足的薛定諤方程，有：

最后一個等號是利用高斯定理將題給的體積分(τ)變換成(τ)的包圍面S的面積分，若Ψ2，Ψ2滿足平方可積條件

可得這面積分等于零，所以體積分是與時間無關(guān)的．19.參考答案：解：由題意知N=2nr+l=2，故有兩種情況：nr=0，l=2，5重簡并；nr=1，l=0，非簡并，考慮到自旋，簡并度加倍，即此能級是12重簡并的，本征態(tài)為

這是非耦合表象中的基矢量．

微擾哈密頓量為

為求微擾引起的能級分裂，只需要在N=2子空間對角化．選擇耦合表象來計算，耦合基是|2ljmj〉，對應(yīng)的量子數(shù)如下

在耦合表象中，微擾哈密頓量為對角矩陣，相應(yīng)矩陣元為

能級分裂圖如下圖所示．圖中D表示簡并度．

20.參考答案：[解]

(1)角動量各分量與中心力場哈密頓量對易，所以有

由(2)式和(3)式可得

解得

(2)對于2p軌道，角量子數(shù)為1，能級為

的本征方程為

當(dāng)時，結(jié)合歸一化條件|c1|2+|c2|2+|c3|2=1可得

其中分別為屬于本征值的本征態(tài)．

(3)進(jìn)動周期：

(4)由(13)式可得：在t時刻測量的可能值為概率分別為：

(5)在時，有

為了計算測量Lx的可能值，需要知道Lx的本征函數(shù)，計算易得

所以

測量的概率為

測量Lx=0的概率為

測量的概率為

21.參考答案：解：由題意，故其本征函數(shù)為兩諧振子本征函數(shù)之積，能量為兩諧振子系統(tǒng)能量之和，即

當(dāng)nx=1，ny=0或者nx=0，ny=1時為第一激發(fā)態(tài)，，2重簡并．

現(xiàn)計算在第一激發(fā)態(tài)對應(yīng)的2×2空間中矩陣元：

取，則有

由于，故，因此

同理：

故久期方程為

由對應(yīng)行列式為零，解得：

所以能級分裂為兩條，能級間距為，即

22.參考答案：解：考慮到在動量空間中所以

將動量空間薛定諤方程變到坐標(biāo)空間，可得

因此，故所求的力為

23.參考答案：[解]在海森伯表象中，有

因此

若，則

得

其中由初始條件得

因此

24.參考答案：解：在能量表象中，哈密頓為對角矩陣，其矩陣元為

即

由于，則Cn=〈n|ψ(r，t)〉為能量表象中的波函數(shù)．則在能量表象中的波動方程為

25.參考答案：[證明]因，故有

|〉是H的本征態(tài)，可令|〉=Rnl(r)Ylm(θ，φ)，則

但，故有結(jié)論．26.參考答案：[解]對于束縛態(tài)，歸一化的本征函數(shù)為

其中．束縛態(tài)的能級為．

勢阱突然關(guān)閉時，粒子狀態(tài)不變，但系統(tǒng)的本征態(tài)變?yōu)槠矫娌ǎ到y(tǒng)在t＞0時的波函數(shù)應(yīng)為動量本征態(tài)的疊加態(tài)

由已知條件：Ψ(x，0)=ψ(x)，可得展開系數(shù)

t＞0時動量空間的波函數(shù)形式上較簡單，由(3)式可得

由(2)式有

其中．由，上式可化為

27.參考答案：解：方法一：

所以

由位力定理可知

即

所以

方法二：取粒子數(shù)表象有

28.參考答案：[解]對于自旋為1的粒子

的屬于本征值的本征態(tài)為

由上述表達(dá)式容易證明：

(1)兩自旋為1的粒子在非耦合表象中的力學(xué)量完全集為，本征態(tài)為

α(1)α(2)，β(1)β(2)，γ(1)γ(2)，α(1)β(2)，β(1)α(2)

β(1)γ(2)，γ(1)β(2)，α(1)γ(2)，γ(1)α(2)

(2)兩自旋為1的粒子在非耦合表象中的力學(xué)量完全集本征態(tài)可由(1)問中9個態(tài)線性疊加表示出來令總自旋S量子數(shù)為S，則由角動量耦合理論可得

S=S1+S2，S1+S2-1，…，|S1-S2|，S=2，1，0

(2)

總自旋z分量的量子數(shù)ms及的共同本征態(tài)及簡并度為

S=2:ms=2，1，0，-1，-2；本征態(tài)記做χ2ms，5重簡并

S=1:ms=1，0，-1；本征態(tài)記做χ1ms，3重簡并

S=0:ms=0；本征態(tài)記做χ00，非簡并

考慮到，所以體系的能級為

能級列表如下：

(3)下面求解本征態(tài)的具體表達(dá)式

通過全同粒子的波函數(shù)的對稱化規(guī)則和(1)式容易得到：

χ2m和χ00為對稱波函數(shù)；χ1m為反對稱波函數(shù)．

具體表達(dá)式如下：

29.參考答案：[解]從已知條件中可看出[A，B]=0，故存在共同的本征態(tài)力學(xué)量A的正交歸一本征態(tài)可取為

(1)對于力學(xué)量A，本征值為a的本征態(tài)無簡并，所以也為力學(xué)量B的本征態(tài)，有

本征值為b，即

(2)力學(xué)量A的本征值為-a的本征態(tài)為二重簡并，記記共同的本征態(tài)為Ψ有

所以可得：

同理：B21=b

所以，根據(jù)(2)式可得：B'=b，-b

對于B'=b，可得：c1=c2，考慮到歸一化條件，所以

對于B'=-b，可得：-c1=c2，考慮到歸一化條件，所以

總之，共同本征函數(shù)，對應(yīng)力學(xué)量的本征值為a，-a，-a；力學(xué)量的本征值為b，b，-b．30.參考答案：[解]可用Δp估計p，，故有

因?yàn)?/p>

故：

31.參考答案：解

其中，

根據(jù)邊界條件確定R，S，A，B.x=0點(diǎn)及x=a點(diǎn)，ψ(x)、ψ'(x)連續(xù)，

1+R=A+B，k(1-R)=k'(A-B)

透射概率為

要達(dá)到共振透射，須滿足k'a=nπ，即入射粒子動能時，發(fā)生共振透射，粒子的透射概率為1．32.參考答案：解：在電磁場存在下，正則動量，其中p為機(jī)械動量，由推廣的玻爾-索末菲關(guān)系，有

由及電子在電磁場中運(yùn)動

的經(jīng)典方程式(設(shè)B是恒場)．則

又由，得

所以軌道在k空間中所占的面積Sn與其在位置空間中的面積An之間關(guān)系為

故有

33.參考答案：[解]由已知條件知

(1)考慮到，可變換為因?yàn)?/p>

而，故有對易，所以

因此的本征函數(shù)，本征值為

(2)考慮，同理先考慮．取，其中，則

式中(1，2，3)≡(x，y，z)．故有

因此，的本征函數(shù)，本征值為34.參考答案：解：本題中未對角化，需要首先求解的本征態(tài)．

(1)的本征值與本征函數(shù)

對應(yīng)本征函數(shù)分別為：

(2)基態(tài)：

鑒于給定的H0矩陣非對角，需要先計算微擾矩陣元：

同理有：

所以，近似到二級近似基態(tài)能量為

(3)精確解

存在非零本征值的條件是久期方程對應(yīng)的行列式為零，即有

所以：

解得：

討論：由于，所以有

化簡并整理得，體系的能級(從小到大排列)為：

即基態(tài)的精確解在泰勒展開到一級項(xiàng)時，可得(2)問中結(jié)果．35.參考答案：解：根據(jù)已知條件，微擾哈密頓量為

其中為電子偶素的總自旋．

未微擾時，基態(tài)能量為

其中

是四度簡并的，4個簡并的波函數(shù)記做

φ1=ψ100χ11,φ2=ψ100χ10，φ3=ψ100χ1-1，φ4=ψ100χ00

在簡并的態(tài)之間的微擾矩陣元

這是因?yàn)?個總自旋的本征態(tài)相互正交，它們都是的本征態(tài)，即微擾矩陣為對角矩陣，因此簡并微擾可以用非簡并微擾論來處理，對角元素就是能量一級修正．

考慮到微擾哈密頓量自旋部分與總自旋z分量無關(guān)，所以對自旋三重態(tài)，一級修正能量都相同，均為

對自旋單態(tài)

自旋三重態(tài)能量高于自旋單態(tài)的能量，它們之間的能量差為

將(3)式代入上式可得

36.參考答案：解：一維無限深勢阱粒子波函數(shù)：

兩粒子(無相互作用)時：

(1)基態(tài)：

第一激發(fā)態(tài)：n=1，m=2或者n=2，m=1：

第二激發(fā)態(tài)：

第三激發(fā)態(tài)：n=1，m=3或者n=3，m=1；

(2)(a)兩自旋為1/2的全同粒子

空間波函數(shù)為

對稱：

反對稱：

自旋部分：

基態(tài)：n=m=1，，無簡并

第一激發(fā)態(tài)：簡并度為4

第二激發(fā)態(tài)：n=m=2，，無簡并

第三激發(fā)態(tài)：簡并度為4(b)兩自旋為1/2的非全同粒子(可分辨)，波函數(shù)不必對稱化，有基態(tài)：n=m=1，，波函數(shù)為

第一激發(fā)態(tài)：，波函數(shù)為

第二激發(fā)態(tài)：

第三激發(fā)態(tài)：，波函數(shù)為

(c)自旋為1的兩全同粒子：總波函數(shù)要求對稱

自旋部分：單粒子自旋態(tài)記作α，β，γ，則

對稱：χ22=αα，χ2-2=γγ

反對稱：

空間部分：

基態(tài)：，波函數(shù)為空間對稱、自旋對稱，6重簡并；

第一激發(fā)態(tài)：，波函數(shù)為空間自旋均對稱或均反對稱，9重簡并；

第二激發(fā)態(tài)：，波函數(shù)與基態(tài)類似，6重簡并；

第三激發(fā)態(tài)：，波函數(shù)為空間自旋均對稱或均反對稱，9重簡并．37.參考答案：[解]在σz表象中，哈密頓量表示為：

設(shè)t＞0時體系的自旋波函數(shù)為

代入含時薛定諤方程得到

結(jié)合(1)式和(3)式可得

其中令a(t)=c1(t)e-iωt/2，b(t)=c2(t)eiωt/2，代入(4)式和(5)式可得

令f(t)=c1(t)+c2(t)，g(t)=c1(t)-c2(t)，(6)式和(7)式相加或相減可得

解得

由初始條件，可得a(0)=0，b(0)=1．即c1(0)=0，c2(0)=1，所以

f(0)=1，g(0)=-1

(12)

因此

故有t＞0時刻波函數(shù)為

t＞0時粒子自旋沿z軸正向的概率為

38.參考答案：[解]歸一化波函數(shù)為(t=0)

(1)從上式可知：能量量子數(shù)n=1，2；l2量子數(shù)l=0，1；lz量子數(shù)m=0，1，-1故

(2)t時刻的狀態(tài)為：

(3)因能量滿足：，所以為守恒量．由于守恒量的平均值在任意狀態(tài)的平均值不隨t改變，故

39.參考答案：[解]自旋平行與反平行的強(qiáng)度比，即是極化電子束按自旋在磁場方向投影算符的本征態(tài)分解的概率比．

方法一：設(shè)磁場方向?yàn)閦軸，極化方向?yàn)閚=(sinθ，0，cosθ)，則在表象中

入射態(tài)滿足方程：

注意：極化方向沿n方向，此時本征值為正．解得

a:b=(1+cosθ)/sinθ=cot(θ/2)

(2)

磁場方向沿z軸，所以電子通過磁場后，分裂為z軸正、負(fù)方向兩束根據(jù)測量假沒理論，入射態(tài)用自旋本征態(tài)展開，展開系數(shù)模方比值即為強(qiáng)度比，由已知條件和(2)式可得：

解得

方法二：設(shè)自旋極化方向?yàn)閦軸，磁場方向?yàn)閚，自旋順磁場方向的概率為P+，反方向的概率為P-，由題設(shè)P+:P-=1:3，又P++P-=1，故可解出

所以

又因?yàn)?，比較得40.參考答案：解：對于的基態(tài)|lm〉=|00〉．而

正電子與負(fù)電子為可分辨粒子(因電荷不同)，當(dāng)考慮自旋后，不必對稱化波函數(shù)導(dǎo)致的基態(tài)四重簡并，取

|lmsms〉≡|00sms〉；s=1，0；ms=1，0，-1．

取

首先由于

又利用

可計算得

故有：

，

，其他為0

所以：

由久期方程：得

取可解得

當(dāng)B=0時，

能量修正值隨磁場變化圖如下：

討論：(1)當(dāng)磁場為弱場時，可將視作微擾，此時一級微擾為零，由二級微擾論可知能量與磁場的平方成正比；

(2)當(dāng)磁場為強(qiáng)場時，由于，能量與磁場呈線性關(guān)系．41.參考答案：解：本題中應(yīng)特別注意動能平均值在球坐標(biāo)中的計算．

由題意知：波函數(shù)關(guān)于角向?qū)ΨQ，故對于動能只需要計算徑向動能，關(guān)于角向部分貢獻(xiàn)波函數(shù)加上歸一化因子即可．

取ψ(r)=Ae-λr，首先求歸一化因子

經(jīng)過分部積分解得：

(1)動能平均值計算：

(2)勢能平均值計算：

故有在試探波函數(shù)下的能量為

因束縛態(tài)能量小于零，因此必須

對于束縛態(tài)，λ＞0，由極值條件可知，當(dāng)時有V0極小值，因此

由可得

整理得到：

由(7)式和束縛態(tài)條件可得：

由三階方程求根公式可以求得能量取極小值時(即基態(tài))的，將其代入(5)式可得基態(tài)能量為

42.參考答案：[解]自由粒子，由于，所以

而p=p0，Δp=Δp0，所以43.參考答案