2023年研究生類公共管理碩士數(shù)學(xué)歷年高頻考題帶答案難題附詳解

2023年研究生類公共管理碩士數(shù)學(xué)歷年高頻考題帶答案難題附詳解（圖片大小可自由調(diào)整）第1卷一.歷年考點(diǎn)試題黑鉆版(共50題)1.某公司有9名工程師，張三是其中之一。從中任意抽調(diào)4人組成攻關(guān)小組，包括張三的概率是______

A．

B．

C．

D．

E．2.直線L與直線y=2、x=6分別交于點(diǎn)P、Q，且線段QP的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-2)，則直線L的斜率為______．

A．2

B．4

C．

D．

E．3.某產(chǎn)品的產(chǎn)量Q與所用兩種原料A，B的數(shù)量x，y(噸)有關(guān)系式Q=0.05x2y，已知A，B原料每噸的價(jià)格分別為1，2(百元)，欲用4500元購(gòu)買A，B兩種原料，則使產(chǎn)量Q最多的A，B的進(jìn)料量為

．A.20(噸)，10(噸)B.15(噸)，10(噸)C.30(噸)，7.5(噸)D.25(噸)，15(噸)4.如果多項(xiàng)式f(x)=2x3+ax2+bx+4含有一次因式x+2和2(x+1)，則f(x)的另外一個(gè)一次因式是______

A．x+1

B．x+2

C．x-1

D．

E．x5.從原點(diǎn)向曲線y＝1-lnx作切線，由切線、曲線和z軸所圍成的圖形的面積為______．6.當(dāng)b＞a＞e時(shí)，證明ab＞ba．7.某商品的定價(jià)為200元，受金融危機(jī)的影響，連續(xù)兩次降價(jià)20%后的售價(jià)為______A.114元B.120元C.128元D.144元E.160元8.=______．9.設(shè)f'(ex)=1+x，則f(x)=______．10.等于(

)．

(A)∞

(B)0

(C)

(D)111.求12.求13.設(shè)函數(shù)z=x(x，y)是由方程z3-3xyz=a3所確定的隱函數(shù)，試求z'x和z'y．14.討論函數(shù)的增減區(qū)間與極值、曲線的凹性與拐點(diǎn)．15.已知等腰三角形ABC三邊的長(zhǎng)為a、b、c且a=c，若關(guān)于x的一元二次方程的兩根之差為，則等腰三角形的一個(gè)底角是______A.15°B.30°C.45°D.60°E.以上結(jié)論均不正確16.兩人輪流投擲骰子，每人每次投擲兩顆，誰(shuí)先讓兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于6，誰(shuí)就獲勝，問先投擲的人獲勝的概率為______

A．

B．

C．

D．

E．17.若直線l與直線y=1，x=7分別交于點(diǎn)P、Q，且線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-1)，則直線l的斜率為______

A．

B．

C．

D．

E．18.某班有學(xué)生36人，期末各科平均成績(jī)?yōu)?5分以上的為優(yōu)秀生，若該班優(yōu)秀生的平均成績(jī)?yōu)?0分，非優(yōu)秀生的平均分為72分，全班平均成績(jī)?yōu)?0分，則該班優(yōu)秀生的人數(shù)是______A.12B.14C.16D.18E.2019.方程x3-12x+q=0有兩實(shí)根，此時(shí)q=______．20.現(xiàn)安排7名同學(xué)去參加5個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，要求甲、乙兩同學(xué)不能參加同一個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目都有人參加，每人只參加一個(gè)項(xiàng)目，則滿足上述要求的不同安排方案數(shù)為______A.13000B.14000C.15000D.16000E.1700021.設(shè)f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n)，則f'(0)=______．22.證明方程x5-3x-1=0在(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根．23.方程|2x+1||=4的根是______

A．x=-5或x=1

B．x=5或x=-1

C．

D．

E．不存在24.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分：

(1)求的導(dǎo)數(shù)；

(2)求在x=1處的微分；

(3)求的導(dǎo)數(shù)；

(4)求y=ln(1+3-x)的導(dǎo)數(shù)；

(5)求的導(dǎo)數(shù)．25.一次運(yùn)動(dòng)會(huì)，A班參加人數(shù)和B班參加人數(shù)之比為5:4，C班參加人數(shù)和D班參加人數(shù)之比為25:9，A班參加人數(shù)與D班參加人數(shù)之比為10:3，如果C班參加人數(shù)有50人，則A班參加人數(shù)有______．A.40人B.50人C.55人D.60人E.70人26.若ΔABC的三邊為a、b、c，且滿足a2+b2+c2=ab+ac+bc，則ΔABC為______A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形E.以上都不是27.設(shè)f(x)在[0，+∞)可導(dǎo)，且f(0)=0，并有反函數(shù)g(x)，若x2ex，則f(x)等于(

)．A.(2+x)ex-3B.(2+x)ex+CC.(1+x)ex-1D.(3+x)ex+C28.已知x2+y2=9，xy=4，則

A．

B．

C．

D．

E．29.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(1-δ，1+δ)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，f'(x)嚴(yán)格單調(diào)減少，且f(1)=f'(1)=1，則(

)．A.在(1-δ，1)和(1，1+δ)內(nèi)均有f(x)＜xB.在(1-δ，1)和(1，1+δ)內(nèi)均有f(x)＞xC.在(1-δ，1)內(nèi)，f(x)＜x，在(1，1+δ)內(nèi)，f(x)＞xD.在(1-δ，1)內(nèi)，f(x)＞x，在(1，1+δ)內(nèi)，f(x)＜x．30.求下列函數(shù)的反函數(shù)及其定義域．

31.證明：設(shè)函數(shù)f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)任一實(shí)數(shù)a，有

32.有兩排座位，前排6個(gè)座，后排7個(gè)座。若安排2人就坐，規(guī)定前排中間2個(gè)座位不能坐。且此2人始終不能相鄰而座，則不同的坐法種數(shù)為______A.92B.93C.94D.95E.9633.求下列不定積分：

34.求35.y=xx的導(dǎo)數(shù)y'等于

．A.xx(1+lnx)B.xxlnxC.xx-1D.xx(1-lnx)36.求其定義域．37.分別求出在x趨于1，0和∞時(shí)，函數(shù)的極限值．38.若，則

A．

B．

C．

D．

E．39.設(shè)：y=|x-a|+|x-10|+|x-a-10|，其中0＜a＜10，則對(duì)于滿足a≤x≤10的x值，y的最小值是______A.5B.10C.15D.20E.3040.完成某項(xiàng)任務(wù)，甲單獨(dú)做需4天，乙單獨(dú)做需6天，丙單獨(dú)做需8天。現(xiàn)甲、乙、丙三人依次一日一輪換地工作，則完成該項(xiàng)任務(wù)共需的天數(shù)為______

A．

B．

C．6

D．

E．441.過點(diǎn)(1，0)作曲線y=x2的兩條切線，它們與曲線y=x2所圍圖形的面積是

．42.奶粉廠每周的銷售量為Q千袋，每袋價(jià)格為2元，總成本函數(shù)為C(Q)=100Q2+1300Q+1000，可取得最大利潤(rùn)為______．43.若在(-∞，+∞)上連續(xù)，則a=______．44.一艘小輪船上午8:00起航，逆流而上(設(shè)船速和水流速度一定)，中途船上一塊木板落入水中，直到8:50船員才發(fā)現(xiàn)這塊重要的木板丟失，立即調(diào)轉(zhuǎn)船頭去追，最終于9:20追上木板。由上述數(shù)據(jù)可以算出木板落水的時(shí)間是______A.8:35B.8:30C.8:25D.8:20E.8:1545.求46.下列函數(shù)是由哪些簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成的?

(1)

(2)47.當(dāng)a(0≤a≤4)為何值時(shí)，兩曲線與y=(4-a)x(x-a)所圍的圖形的面積最大．48.設(shè)，且存在，證明：．49.設(shè)函數(shù)f(x，y)=(x2+y)ex2y，求f'x(x，2x)，f'y(x，2x)和．50.設(shè)函數(shù)，則有結(jié)論(

)成立．A.原點(diǎn)(0，0)為該函數(shù)的駐點(diǎn)，但非極值點(diǎn)B.原點(diǎn)(0，0)為該函數(shù)的駐點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)C.原點(diǎn)(0，0)為該函數(shù)的駐點(diǎn)，且為極大值點(diǎn)D.原點(diǎn)(0，0)是該函數(shù)的極小值點(diǎn)第1卷參考答案一.歷年考點(diǎn)試題黑鉆版1.參考答案：D[考點(diǎn)]組合+概率

[解析]攻關(guān)小組有張三的情況數(shù)有總情況數(shù)有所以所求概率為

簡(jiǎn)單的概率題，找出樣本空間和符合條件的樣本數(shù)即可。2.參考答案：E[解析]設(shè)P坐標(biāo)(a，2)，Q坐標(biāo)(b，6)，由于中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-2)，則，所以a=-4，b=-6，L斜率為，所以答案選E．3.參考答案：C[解析]這是求產(chǎn)量函數(shù)Q=0.05x2y在約束條件1x+2y=45下的最大值問題．

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

F(x，y)=0.05x2y+λ(x+2y一45)，由解得駐點(diǎn)P1(30，7.5)和P2(0，22.5)．

駐點(diǎn)P2表示不買原料A，此時(shí)Q=0，所以要Q最大，應(yīng)是在P1時(shí)，因?yàn)榇藛栴}顯然存在最大值．4.參考答案：A[考點(diǎn)]因式分解

[解析]因?yàn)閒(x)=2x3+ax2+bx+4含有一次因式x+2和2(x+1)，所以x=-2，x=-1為f(x)=0的兩個(gè)根，則f(-2)=0，f(-1)=0，解得a=8，b=10，所以f(x)=2x3+8x2+10x+4，又因?yàn)?x+2)(2x+2)=2x2+6x+4，故另一個(gè)因式為(x+1)，所以答案為A。

本題的核心是多項(xiàng)式展開中高次方前的系數(shù)與項(xiàng)數(shù)的值。5.參考答案：[解析]，設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)．

切線方程為，與y=1-lnx聯(lián)立求切點(diǎn)，得切點(diǎn)(e2，-1)．

于是切線方程為

設(shè)所求圖形面積為A(如圖1—5—2所示)，

6.參考答案：[證]欲證明ab＞ba，即證明blna＞alnb．為此引入函數(shù)

f(x)=xlna-alnx(x＞a)，

由于a＞e，所以lna＞1，＜1，故f'(x)＞0，因此f(x)單調(diào)增．又因f(a)=0，所以當(dāng)x＞a時(shí)，f(x)＞0，b＞a，所以f(b)＞0．

blna-alnb＞0，即ab＞ba．證畢．7.參考答案：C[考點(diǎn)]利潤(rùn)問題

[解析]某商品的定價(jià)為200元，第一次降價(jià)20%后的價(jià)格為200(1-20%)，第二次又降價(jià)20%后的價(jià)格是在第一次降價(jià)的基礎(chǔ)上又降了20%，即200(1-20%)(1-20%)=128元。8.參考答案：5．[解析]本題使用夾逼準(zhǔn)則．

由于

而，且．故由夾逼準(zhǔn)則知

9.參考答案：xlnx+C．[解析]設(shè)ex=t，f'(t)=1+Int，即

f'(x)=1+lnx，

10.參考答案：D[解析]這是“∞”型未定式，可用洛必達(dá)法則，但必須先化為“”型或“”型未定式，即，而是“0·∞”型，若用洛必達(dá)法則去計(jì)算，則很難求出，這時(shí)必須用其他方法：于是可知11.參考答案：[解]12.參考答案：[解]當(dāng)x＞a時(shí)，作換元x=acht，t＞0，則有dx=asht。x2-a2=a2sh2t．

故有

當(dāng)x＜-a時(shí)，令x=-u，則u＞a，按上述結(jié)果有

總之，都有

13.參考答案：[解]可用兩種方法求z'x和z'y．

方法一利用公式

F(x，y，z)=z3-3xyz-a3，

F'x(z，y，z)=-3yz，

F'y(z，y，z)=-3xz，

F'z(z，Y，z)=3z2-3xy，因此有

方法二在等式兩邊求全微分，有

3z2dz-3yzdx-3xzdy-3xydz=0，即由此可知

14.參考答案：[解]利用一階二階導(dǎo)數(shù)來(lái)討論．

駐點(diǎn)為，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)為x=0，且f(x)在x=0點(diǎn)連續(xù)．令y''=0，得，故有：

所以，如圖1—3—17，(-∞，0)∪(，+∞)為函數(shù)的增區(qū)間，(0，)是減區(qū)間，y(0)=0是極大值，y()=-0.33是極小值．在(-∞，)上曲線是下凹的，其余部分曲線是上凹的，點(diǎn)(，-0.41)是曲線的拐點(diǎn)．再考慮無(wú)窮遠(yuǎn)處的性態(tài)：

15.參考答案：B[考點(diǎn)]一元二次方程的根結(jié)合三角形

[解析]設(shè)方程的兩個(gè)根為x1、x2則解得又因?yàn)閍=c，可解得底角為30°。

記住關(guān)于一元二次方程ax2+bx+c=0的結(jié)論16.參考答案：D[考點(diǎn)]分步思想+獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

[解析]首先要先求出同時(shí)投擲兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于6的概率：列舉出來(lái)發(fā)現(xiàn)有21種，所以此概率是

里面的所以1-qn≈1。會(huì)發(fā)現(xiàn)考點(diǎn)其實(shí)是無(wú)窮項(xiàng)等比數(shù)列求和公式，牢牢記住并學(xué)會(huì)運(yùn)用即可。

獲勝的情況要搞清楚，一定是在奇數(shù)次上投出大于6的點(diǎn)數(shù)，如此構(gòu)成了一個(gè)首項(xiàng)為公比為的無(wú)窮項(xiàng)等比數(shù)列，求其極限和。17.參考答案：B[考點(diǎn)]線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式

[解析]依題意，設(shè)點(diǎn)P(a，1)、Q(7，b)，根據(jù)線段中點(diǎn)的坐標(biāo)公式，有解得可知直線l的斜率為因此選B。

中點(diǎn)是解析幾何中考查較多的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，應(yīng)多加注意。18.參考答案：C[考點(diǎn)]平均數(shù)

[解析]根據(jù)題意，該班優(yōu)秀人數(shù)為

本題關(guān)鍵是了解平均數(shù)的定義。19.參考答案：q=±16．[解析]設(shè)f(x)=x3-12x+q，f'(x)=3x2-120，得x=±2．

f''(x)=6x，f''(2)=12＞0，x=2時(shí)取得極小值．

f''(-2)=-12＜0，x=-2時(shí)取得極大值．

又因?yàn)閒(2)=q-16，f(-2)=q+16．

(1)當(dāng)時(shí)，如圖1—3—10所示，有三個(gè)實(shí)根．

(2)當(dāng)q=-16或q=16時(shí)，如圖1—3一11所示，有兩個(gè)實(shí)根．

(3)當(dāng)q+16＜0或q-16＞0時(shí)，有一個(gè)實(shí)根．20.參考答案：C[考點(diǎn)]分類思想

[解析]由題設(shè)條件可知，滿足條件的方案有兩種情形：

有一個(gè)項(xiàng)目有3人參加，從7個(gè)人中選出3個(gè)人，這3個(gè)人進(jìn)行捆綁成一體，再與剩下的4個(gè)人去參加5個(gè)項(xiàng)目，構(gòu)成5的全排列，有種方案，但是要除掉一類情況，就是甲乙參加了同一個(gè)項(xiàng)目，從剩下的5人選出1人與甲乙捆綁成一體，再與剩下的4個(gè)人去參加5個(gè)項(xiàng)目，構(gòu)成5的全排列，有種。所以滿足條件的方案有種。

有兩個(gè)項(xiàng)目各有2人參加：先從7個(gè)人中選出2個(gè)人捆綁成一體，再?gòu)氖Ｏ?個(gè)人選出2個(gè)人捆綁成一體，有種方案，這兩者與剩下的3個(gè)人去參加5個(gè)項(xiàng)目，構(gòu)成5的全排列，是個(gè)分步過程，運(yùn)用乘法原理，共有種，同樣要注意去掉甲乙參加同一個(gè)項(xiàng)目的方案數(shù)，甲乙參加同一個(gè)項(xiàng)目的方案有種。

所以滿足條件的方案數(shù)為種。

此題難度很大，要注意先固定項(xiàng)目，再把人安排到項(xiàng)目中，避免重復(fù)計(jì)數(shù)。21.參考答案：n!．[解析]根據(jù)f(x)在點(diǎn)x=0處導(dǎo)數(shù)的定義

22.參考答案：[證]考慮函數(shù)f(x)=x5-3x-1，作為初等函數(shù)，可知其在[1，2]上連續(xù)，且f(1)=-3＜0，f(2)=25＞0，于是可知該方程在(1，2)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根．23.參考答案：C[考點(diǎn)]絕對(duì)值方程

[解析]|x-|2x+1||=4，則x-|2x+1|=±4。當(dāng)x-|2x+1|=4時(shí)，|2x+1|=x-4，即2x+1=x-4或2x+1=4-x，解得x=-5或x=1。

對(duì)于絕對(duì)值方程|2x+1|=x-4，由于|2x+1|≥0，可知x-4≥10，即x≥4。因?yàn)閤=-5和x=1不在x≥4的范圍內(nèi)，所以x-|2x+1|=4無(wú)解。

當(dāng)x-|2x+1|=-4時(shí)，|2x+1|=x+4，即2x+1=x+4或2x+1=-x-4，解得x=3或。故原絕對(duì)值方程的根為x=3或24.參考答案：[解](1)

(2)dy=y'dx，dy|x=1=y'(1)dx，

故

(3)令

(4)

(5)由對(duì)數(shù)性質(zhì)，化簡(jiǎn)原式為

于是25.參考答案：D[解析]根據(jù)題中比例關(guān)系，可知A:D:C=30:9:25，且C班有50人參加，則A班參加人數(shù)為50÷25×30=60人．答案選D．26.參考答案：C[考點(diǎn)]三角形三邊的關(guān)系

[解析]將等式兩邊同時(shí)乘以2，移項(xiàng)并利用完全平方公式，得到(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0，由完全平方的非負(fù)性知a=b=c，因此選C。

本題的關(guān)鍵是要對(duì)等式進(jìn)行變形，然后利用完全平方公式求解。27.參考答案：C[解析]兩邊求導(dǎo)，有

f'(x)g(f(x))=(2x+x2)ex，即f'(x)=(2+x)ex，則又f(0)=0得C=-1，于是f(x)=(1+x)ex-1．28.參考答案：C[考點(diǎn)]因式分解

[解析]x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)，又因?yàn)閤2+y2=9，xy=4，所以

本題的關(guān)鍵是將分母中的式子變形。29.參考答案：A[解析]設(shè)F(x)=f(x)-x，則

F(1)=f(1)-1=0，

F'(x)=f'(x)-1，

F'(1)=f'(1)-1=0，F(xiàn)''(x)=f''(x)，由f'(x)在(1-δ，1+δ)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少知，F(xiàn)''(x)＜0．

從而F'(x)在(1-δ，1+δ)內(nèi)單調(diào)減少，即x∈(1-δ，1)時(shí)，F(xiàn)'(x)＞F'(1)=0；x∈(1，1+δ)時(shí)，F(xiàn)'(x)＜F'(1)=0．

當(dāng)x∈(1-δ，1)時(shí)，由F'(x)＞0，知F(x)單增，即F(x)＜F(1)=0，也即f(x)＜32；

當(dāng)x∈(1，1+δ)時(shí)，由F'(x)＜0，知F(x)單減，即F(x)＜F(1)=0，也即f(x)＜x．30.參考答案：[解](1)由表達(dá)式解出，再將x與y位置互換，得反函數(shù)．其定義域?yàn)閤≠1的所有實(shí)數(shù)，即為(-∞，1)∪(1，+∞)．

(2)對(duì)于分段函數(shù)要分段解出反函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，解出，此時(shí)-1≤y≤0，當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，解出，此時(shí)0＜y≤1，將x與y互換位置，寫出反函數(shù)的分段表示式為定義域?yàn)閇-1，1]．31.參考答案：[證]因?yàn)橛啥ǚe分性質(zhì)可得

而代入前一式，有

32.參考答案：C[考點(diǎn)]先分類再分步思想

[解析]分三種情況分析：兩個(gè)人分兩排坐，得到坐法種數(shù)為；兩個(gè)人都坐第一排，得到坐法種數(shù)為；兩個(gè)人都坐第二排，得到坐法種數(shù)為

所以，總坐法種數(shù)為種。

分類一定要全面無(wú)重復(fù)。33.參考答案：[解](1)

(2)

(3)

(4)

(5)34.參考答案：[解]作換元，則有

dx=achtdt，

x2+a2=a2(sh2t+1)=a2ch2t，其中

于是，可得

其中

C=C1-lna．35.參考答案：A[解析]函數(shù)y=xx兩邊取對(duì)數(shù)，得

lny=xlnx．兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得

36.參考答案：[解]這是一個(gè)分段函數(shù)，其定義域?yàn)閇-1，2)．37.參考答案：[解]38.參考答案：E[考點(diǎn)]普通方程

[解析]方法一：

方法二：也可先求原式的倒數(shù)，再求解原式的值：故原式=。

學(xué)會(huì)配方。39.參考答案：B[考點(diǎn)]絕對(duì)值化簡(jiǎn)

[解析]因?yàn)閍≤x≤10，則y=x-a+10-x-x+a+10=20-x，因?yàn)閍≤x≤10，要使y=20-x最小，就要x取最大，當(dāng)x=10時(shí)，y能取最小值，最小值為10。

本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件所給的范圍去掉絕對(duì)值求最值。40.參考答案：B[考點(diǎn)]工程問題中循環(huán)工作問題

[解析]設(shè)這項(xiàng)任務(wù)總工作量為1，根據(jù)工作總量=工作效率×工作時(shí)間，則甲的工作效率為，乙的工作效率為，丙的工作效率為，完成一個(gè)循環(huán)，即甲乙丙均工作一天所完成的工作量為，則還剩下的工作量，再一個(gè)循環(huán)甲完成了，還剩的工作量，乙完成了，還剩的工作量，由丙來(lái)完成，只需天，所以完成該項(xiàng)任務(wù)共需要。故答案為B。41.參考答案：B[解析]先作草圖(見圖1—5—11)，再求切點(diǎn)及切線方程：設(shè)切點(diǎn)為(x0，x20)，則切線斜率為k=(x2)'|x=x0=2x0切線方程為

因?yàn)榍芯€通過點(diǎn)(1，0)，即有

由此可得x0=0或x0=2，所以切點(diǎn)為O(0，0)與A(2，4)，兩切線方程為Y=0與Y-4=4(x-2)．

這時(shí)，兩切線與曲線y=x2所圍圖形的面積為

正確答案為(B)．42.參考答案：225元．[解析]利潤(rùn)函數(shù)為

L(Q)=2000Q-C(Q)=-100Q2+700Q-1000，于是令

L'(Q)=-200Q+700=0，得Q=3.5，又L''(Q)=-200＜0，所以Q=3.5時(shí)取得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為

43.參考答案：-2．[解析]若f(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)，則f(x)必在x=0處連續(xù)．即

而所以2+2a=a，則