數(shù)學中職PPT完整全套教學課件

第一章集合集合函數(shù)三角函數(shù)平面向量直線和圓的方程圓錐曲線方程數(shù)列復(fù)數(shù)立體幾何概率與統(tǒng)計全套可編輯PPT課件目錄第一節(jié)集合第二節(jié)集合的運算第三節(jié)充要條件第四節(jié)不等式與區(qū)間第五節(jié)不等式的解法CONTENTS第一節(jié)集合第二節(jié)集合的運算第三節(jié)充要條件第四節(jié)不等式與區(qū)間第五節(jié)不等式的解法一、集合的概念日常生活中，我們所看到的、聽到的、觸摸到的、想到的各種各樣的實物或一些抽象的符號都可以視作對象，由某些指定的對象集在一起所組成的整體就叫做集合，簡稱集。組成集合的每個對象稱為元素。例如，把所有小于10的自然數(shù)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的各個數(shù)都看成對象，所有這些對象匯集在一起就構(gòu)成了一個集合，其中的每個數(shù)即為這個集合中的元素.

關(guān)于集合的概念有如下說明：01

集合的元素具有確定性，即作為一個集合的元素，必須是確定的。也就是說，給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素也就是確定的了02

集合的元素具有互異性，即給定一個集合，則集合的元素一定是互不相同的03

集合的元素具有無序性，即集合中元素間一般不考慮順序

例1下列語句能否確定一個集合？（1）一切很大的數(shù)；（2）方程x2=4的所有解；（3）不等式x-5>0的所有解.

根據(jù)集合所含有的元素個數(shù)可以將其分為有限集和無限集兩類.含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做無限集.例如，上述例1中的（2）所構(gòu)成的集合即為有限集，（3）所構(gòu)成的集合即為無限集.在例1的（2）中，集合的元素是-2和2，它們都是方程x2=4的解，像這樣，方程的所有解組成的集合叫做這個方程的解集；同樣，在例1的（3）中，由不等式的所有解所組成的集合叫做這個不等式的解集.由數(shù)所組成的集合稱作數(shù)集.我們用某些特定的大寫英文字母表示常用的一些數(shù)集：所有非負整數(shù)所組成的集合叫做自然數(shù)集，記作N；所有正整數(shù)所組成的集合叫做正整數(shù)集，記作N*；所有整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集，記作Z；所有有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集，記作Q；所有實數(shù)組成的集合叫做實數(shù)集，記作R.二、集合的表示方法1列舉法

例2用列舉法表示下列集合：（1）大于1小于10的所有偶數(shù)組成的集合；（2）方程x2+x-6=0的解集

2描述法有的集合用列舉法表示起來是很不方便的，如“由大于2的所有實數(shù)組成的集合”，大于2的實數(shù)有無窮多個，顯然無法用列舉法將該集合的元素一一列出，此時用描述法來表示該集合則比較方便.把描述集合元素的特征性質(zhì)或表示集合中元素的規(guī)律寫在花括號內(nèi)用來表示集合的方法叫做描述法.例如，上述“由大于2的所有實數(shù)組成的集合”，可以看出該集合的元素都具有如下性質(zhì)：都是實數(shù)，都大于2.因此，該集合可用描述法表示為｛x︱x>2，x∈R｝，花括號內(nèi)豎線左側(cè)的x表示這個集合中的任意一個元素，元素x從實數(shù)集R中取值，豎線的右側(cè)寫出的是元素的特征性質(zhì).如果從上下文可以明顯看出集合的元素為實數(shù)，則x∈R也可以省略不寫，如上述的集合可表示為｛x︱x>2｝

例3用描述法表示下列集合：（1）｛-3，3｝；（2）大于3的全體偶數(shù)構(gòu)成的集合；（3）不等式10x+1≥0的解集

三、集合之間的關(guān)系1子集

例4寫出集合A=｛1，2，3｝的所有子集和真子集

2集合的相等

觀察集合A=｛1，2，3｝，B=｛x︱0<x<4，x∈N｝，

可以看出，集合A和集合B的元素完全相同，只是兩個集合的表達方式不同

一般地，如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，或者集合B的每一個元素都是集合A的元素，那么就說集合A等于集合B.

例5判斷下列各組集合的關(guān)系：

第二節(jié)集合的運算第三節(jié)充要條件第四節(jié)不等式與區(qū)間第五節(jié)不等式的解法一、交集

觀察集合：

A=｛0，1，2，3，4，5｝，B=｛1，2，3，6，7，8｝，C=｛1，2，3｝，可以看出，集合C的元素恰好是集合A與集合B的所有共同元素.一般地，像上述那樣，給定兩個集合A、B，由既屬于A又屬于B的所有共同元素構(gòu)成的集合叫做集合A與B的交集，記作A∩B，讀作“A交B”可用下圖所示的陰影部分來形象地表示

例1已知A=｛-1，0，1，2，3｝，B=｛1，3，5，7｝，求A∩B解

A∩B=｛1，3｝，可用右圖來表示

例2已知A=｛x︱x是等腰三角形｝，B=｛x︱x是直角三角形｝，求A∩B

例3已知A=｛x︱-2<x≤1｝，B=｛x︱0<x<4｝，求A∩B分析集合A、B是用描述法表示的集合，并且集合的元素沒法一一列舉出來，因此可以結(jié)合數(shù)軸來進行解題。解在數(shù)軸上表示集合A、B，如圖所示.解

在數(shù)軸上表示集合A、B，如圖所示.從圖中易看出，陰影部分即為集合A、B的交集，即A∩B=｛x︱-2<x≤1｝∩｛x︱0<x<4｝=｛x︱0<x≤1｝二、并集

觀察下面三個集合：

M=｛-2，-1，0｝，N=｛1，2，3，4｝，P=｛-2，-1，0，1，2，3，4｝，可以看出，集合P是集合M與集合N的所有元素組成的.一般地，像上述那樣，對于兩個給定的集合A、B，由集合A和集合B的所有元素組成的集合叫做集合A和集合B的并集，記作A∪B，讀作“A并B”。

例5已知A=｛3，4，5，6｝，B=｛5，6，7，8｝，求A∪B解A∪B=｛3，4，5，6｝∪｛5，6，7，8｝=｛3，4，5，6，7，8｝則可看出A∪B=｛x︱-1<x≤2｝∪｛x︱0<x≤3｝=｛x︱-1<x≤3

例6已知A=｛x︱-1<x≤2｝，B=｛x︱0<x≤3｝，求A∪B解將集合A和集合B在數(shù)軸上表示出來，如圖所示分析本題結(jié)合數(shù)軸進行解題比較直觀則可看出A∪B=｛x︱-1<x≤2｝∪｛x︱0<x≤3｝=｛x︱-1<x≤3｝三、補集

第三節(jié)充要條件第四節(jié)不等式與區(qū)間第五節(jié)不等式的解法

例1指出下列各組中的條件p是結(jié)論q的什么條件：（1）p：x=3，q：（x-1）（x-3）=0；（2）p：x>1，q：x>3；（3）p：x=y，q：（x-y）2=0.解

（1）由條件x=3成立能夠推出結(jié)論（x-1）（x-3）=0成立，因此p是q的充分條件；而由結(jié)論（x-1）（x-3）=0成立則不能夠推出條件x=3成立，因為當x=1時，（x-1）（x-3）=0也成立，所以p不是q的必要條件.（2）由條件x>1成立不能推出結(jié)論x>3成立，如x=2時，2>1但2<3，因此p不是q的充分條件；而由結(jié)論x>3成立則能夠推出條件x>1成立，所以p是q的必要條件.（3）由條件x=y成立能夠推出結(jié)論（x-y）2=0成立，而由結(jié)論（x-y）2=0成立也能夠推出條件x=y成立，因此p是q的充要條件.第四節(jié)不等式與區(qū)間第五節(jié)不等式的解法一、實數(shù)大小的比較

如果a＞b，且b＞c，則a＞c二、不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1

性質(zhì)1所描述的不等式的性質(zhì)稱為不等式的傳遞性性質(zhì)2如果a＞b，則a+c＞b+c.證明

因為a＞b，所以a-b＞0.又因為（a+c）-（b+c）=a-b＞0，所以a+c＞b+c.

性質(zhì)2表明，不等式兩邊都加上（或都減去）同一個數(shù)，不等號的方向不變，因此將性質(zhì)2稱為不等式的加法性質(zhì).性質(zhì)3如果a＞b，c＞0，則ac＞bc；如果a＞b，c＜0，則ac＜bc

性質(zhì)3表明，不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，因此將性質(zhì)3稱為不等式的乘法性質(zhì)三、區(qū)間

我們知道，實數(shù)集是與數(shù)軸上的點集一一對應(yīng)的，如集合｛x︱1＜x＜3｝可以在數(shù)軸上表示如圖所示.由數(shù)軸上兩點之間的所有實數(shù)所組成的集合叫做區(qū)間，這兩個點叫做區(qū)間端點.不含端點的區(qū)間叫做開區(qū)間，圖中，集合｛x︱1＜x＜3｝即表示的是開區(qū)間，記作（1，3），其中1表示區(qū)間的左端點，3表示區(qū)間的右端點.在數(shù)軸上表示區(qū)間時，開區(qū)間的兩個端點用空心點表示（見圖）.1有限區(qū)間

含有兩個端點的區(qū)間叫做閉區(qū)間，如圖中集合｛x︱1≤x≤3｝表示的區(qū)間即為閉區(qū)間，記作［1，3］.在數(shù)軸上表示閉區(qū)間時，其兩個端點用實心點表示.只含左端點的區(qū)間叫做右半開區(qū)間，如集合｛x︱1≤x＜3｝表示的區(qū)間即為右半開區(qū)間，記作［1，3）；只含右端點的區(qū)間叫做左半開區(qū)間，如集合｛x︱1＜x≤3｝表示的區(qū)間即為左半開區(qū)間，記作（1，3］.

例5已知集合A=（0，3），B=［1，5），求A∪B，A∩B解集合A、B用數(shù)軸表示如下圖所示，由圖可看出A∪B=（0，5），A∩B=［1，3）

集合｛x︱x＞3｝可在數(shù)軸上表示如圖所示.2無限區(qū)間

由圖可以看出，集合｛x︱x＞3｝表示的區(qū)間的左端點為3，沒有右端點，這時可將其記作（3，+∞），其中“+∞”讀作“正無窮大”，表示右端點可以沒有具體的數(shù)，可以任意大.同樣，集合｛x︱x＜3｝表示的區(qū)間可記作（-∞，3），其中“-∞”讀作“負無窮大”.集合｛x︱x≥3｝表示的區(qū)間為［3，+∞），是右半開區(qū)間；集合｛x︱x≤3｝表示的區(qū)間為（-∞，3］，是左半開區(qū)間.由上可以看出，一般可以用區(qū)間來表示的集合用區(qū)間表示會更方便.

例6

解集合A、B在數(shù)軸上表示如圖所示

第五節(jié)不等式的解法一、一元一次不等式

觀察下面兩個不等式：（1）x2-2x+1＞0；（2）x2-3x+10≤0.可以看出，這兩個不等式的共同特點是：（1）都只含一個未知數(shù)x；（2）未知數(shù)x的最高次數(shù)都是2.一般地，像上述那樣，含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式，叫做一元二次不等式，它的一般形式為ax2+bx+c＞（≥）0或ax2+bx+c＜（≤）0，其中，a、b、c為常數(shù)，且a≠0.上述一元二次不等式的一般形式的左邊恰好是自變量為x的一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的解析式.下面我們將通過實例來研究一元二次不等式的解法，以及它與相應(yīng)的函數(shù)、方程之間的關(guān)系.

二、含絕對值的不等式

在初中我們已經(jīng)學過，對任意實數(shù)x，都有︱x︱≥0，且有

︱x︱的幾何意義是在數(shù)軸上表示實數(shù)x的點到原點的距離.絕對值符號內(nèi)含有未知數(shù)的不等式叫做含絕對值的不等式.

根據(jù)絕對值的幾何意義，不等式︱x︱＞1表示的是數(shù)軸上到原點的距離大于1的所有點的集合，在數(shù)軸上表示如圖（a）所示；︱x︱＜1表示的是數(shù)軸上到原點的距離小于1的所有點的集合，在數(shù)軸上表示如圖（b）所示.1︱x︱＞a或︱x︱＜a（a＞0）型不等式由圖（a）可看出，不等式︱x︱＞1的解集為（-∞，-1）∪（1，+∞）；由圖（b）可看出，不等式︱x︱＜1的解集為（-1，1）.一般地，不等式︱x︱＞a（a＞0）的解集為（-∞，-a）∪（a，+∞），不等式︱x︱＜a（a＞0）的解集為（-a，a）.

對于︱ax+b︱＞c或︱ax+b︱＜c（c＞0）型不等式可以轉(zhuǎn)化為︱x︱＞a或︱x︱＜a（a＞0）型來求解.例如，解不等式︱2x+1︱＜1，可先設(shè)2x+1=m，則不等式︱2x+1︱＜1可化為︱m︱＜1，可解得

-1<m<1，即-1<2x+1<1，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得-1<x<0，則原不等式︱2x+1︱＜1的解集為（-1，0）.像上述那樣，將︱ax+b︱＞c或︱ax+b︱＜c（c＞0）型不等式轉(zhuǎn)化為︱x︱＞a或︱x︱＜a（a＞0）型不等式來求解的方法稱為“變量替換法”或“換元法”，即用新的簡單的變量（如上述的“m”）來替換原來的變量（如上述的“2x+1”），從而將復(fù)雜的問題簡單化.在實際的運算過程中，變量替換的過程可以省略不寫.2︱ax+b︱＞c或︱ax+b︱＜c（c＞0）型不等式三、分式不等式

例7

解不等式組（Ⅰ）得x＞3；解不等式組（Ⅱ）得x＜－2.所以原不等式的解集為(－∞,－2)∪(3,+∞).課后習題完成下面的表格完成下面的表格THANKSFORLISTENING

第二章函數(shù)目錄第一節(jié)函數(shù)的概念與性質(zhì)第二節(jié)反函數(shù)第三節(jié)實數(shù)指數(shù)冪第四節(jié)指數(shù)函數(shù)第五節(jié)對數(shù)第六節(jié)對數(shù)函數(shù)CONTENTS第一節(jié)函數(shù)的概念與性質(zhì)第二節(jié)反函數(shù)第三節(jié)實數(shù)指數(shù)冪第四節(jié)指數(shù)函數(shù)第五節(jié)對數(shù)第六節(jié)對數(shù)函數(shù)一、函數(shù)的概念

在初中，我們已經(jīng)學習了變量與函數(shù)的概念.在一個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定了一個x值，就有唯一的一個y值與其對應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量.例如，一輛汽車以60千米/小時的速度勻速行駛，則在t小時里汽車行駛的路程為s=60t，這里的時間t為自變量，路程s為因變量，時間t在某個范圍內(nèi)變化，路程s也相應(yīng)地在某個范圍內(nèi)變化，路程s是時間t的函數(shù).用變量的觀點來描述函數(shù)，可以形象地描述事物的變化規(guī)律，但有一定的局限性.先看下面的問題：問題一y=1(x∈R)是一個函數(shù)嗎？問題二函數(shù)y=x與函數(shù)y=x2x是同一個函數(shù)嗎？初中學過的函數(shù)概念很難回答這些問題，于是，我們從新的角度給出函數(shù)的定義：設(shè)集合D是一個非空集合，如果按照某個對應(yīng)法則f，對于D中的任意一個數(shù)x，都有唯一確定的數(shù)y與之對應(yīng)，則這種對應(yīng)關(guān)系叫做集合D上的一個函數(shù)，記作y=f(x),x∈D，其中x叫做自變量，自變量x的取值范圍（集合D）叫做函數(shù)f(x)的定義域，所有函數(shù)值構(gòu)成的集合{y︱y=f(x),x∈D}叫做函數(shù)f(x)的值域.當x=x0時，函數(shù)y=f(x)對應(yīng)的值y0叫做函數(shù)在點x0處的函數(shù)值，記作y0=f(x0).該定義使用了集合語言確切地刻畫了函數(shù)，更具有一般性.從中我們還可以看出，函數(shù)的值域是由函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則所確定的，因此一個函數(shù)的確定只需要兩個要素：定義域和對應(yīng)法則.

例1

解

(1)要使函數(shù)有意義，必須使x－5≥0，所以函數(shù)的定義域為x≥5，即［5,+∞).

(2)當x+3≠0，即x≠－3時，函數(shù)有意義，所以函數(shù)的定義域為(－∞,-3)∪(-3,+∞).

例2

二、函數(shù)的表示方法1函數(shù)的三種表示方法上一節(jié)我們已經(jīng)明確了函數(shù)的概念，那么怎樣表示一個函數(shù)呢？例如，商店里面所售練習本的單價為0.8元，買練習本的本數(shù)x（本）與付款款額y(元)的函數(shù)關(guān)系如何表示?首先，我們做一個表格：列出表格可以很直觀地反映出練習本的本數(shù)x與付款款額y之間的關(guān)系，像這種通過列出自變量與對應(yīng)函數(shù)值的表格來表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法.但這種表示方法一般不完整，如要買80本練習本，則所需付的款額表中就沒有，那么還可以用什么方式表示呢？我們可以用一個數(shù)學式子y=0.8x來表示.像這種在函數(shù)y=f(x)(x∈D)中，f(x)是用代數(shù)式或解析式（0.8x）來表達的方法叫做解析法.這種方法嚴謹、完整，但不夠直觀.另外，描繪函數(shù)的圖像，也可以直觀形象地表示一個函數(shù)，如下圖所示.像這種利用圖像表示函數(shù)的方法叫做圖像法.

例4某工廠的一名普通工人每天的基本工資是20元，每加工完成一個合格零件日收入增加5元，一名工人的日收入y是他每天完成的合格零件數(shù)x的函數(shù)，當一名工人每天完成的合格零件數(shù)在5件以內(nèi)（含5件）時，請用三種方法表示這個函數(shù)解（1）按照題意，分別計算出一名工人每天完成合格零件數(shù)x在1～5件時的日薪y(tǒng)（元），列成表格，因此函數(shù)用列表法表示如表所示：

例4解（2）根據(jù)題意，函數(shù)的解析式為y=20+5x，因此函數(shù)的解析法表示為y=5x+20,x∈{1,2,3,4,5}.

(3)以表中的x值為橫坐標，對應(yīng)的y值為縱坐標，在直角坐標系中畫出各個相應(yīng)的點.因此，函數(shù)的圖像法表示如圖所示.2分段函數(shù)

例6國內(nèi)跨省市之間郵寄信函,每封信函的質(zhì)量m（克）和對應(yīng)的郵資M（元）如表所示:請用解析法和圖像法表示該函數(shù)

例6解（1）函數(shù)的解析式為

（2）函數(shù)的圖像如圖所示.這種在定義域的不同部分有不同對應(yīng)法則的函數(shù)叫做分段函數(shù)三、函數(shù)的性質(zhì)1函數(shù)的單調(diào)性圖為某地區(qū)2008年元旦這一天24小時內(nèi)的氣溫變化圖.從上圖中可以看到，在4點到14點這個時間段內(nèi)，氣溫是逐步升高的；在0點到4點和14點到24點的時間段內(nèi)，氣溫是逐步下降的

（2）當x1<x2時，有f(x1)>f(x2)成立，那么函數(shù)y=f(x)叫做區(qū)間I上的減函數(shù)（或單調(diào)遞減函數(shù)），區(qū)間I叫做函數(shù)y=f(x)的減區(qū)間.觀察下圖，函數(shù)y=f(x)是區(qū)間(a,b)上的減函數(shù)，區(qū)間(a,b)是該函數(shù)的減區(qū)間.在某一區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的函數(shù)叫做在這個區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，該區(qū)間叫做這個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2函數(shù)的奇偶性

引例1

在初中平面幾何中，我們學習了關(guān)于軸對稱圖形和中心對稱圖形的知識.知道點M(a,b)關(guān)于y軸的對稱點為M′(－a,b)，關(guān)于原點的對稱點為M″(－a,－b).

引例2

例10

第二節(jié)反函數(shù)第三節(jié)實數(shù)指數(shù)冪第四節(jié)指數(shù)函數(shù)第五節(jié)對數(shù)第六節(jié)對數(shù)函數(shù)一、反函數(shù)的定義

二、互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系

先看下面的例子

例2求函數(shù)y=2x－2的反函數(shù)，并在同一平面直角坐標系中作出它們的圖像.

第三節(jié)實數(shù)指數(shù)冪第四節(jié)指數(shù)函數(shù)第五節(jié)對數(shù)第六節(jié)對數(shù)函數(shù)一、有理數(shù)指數(shù)冪

在初中我們學習了整數(shù)指數(shù)冪，知道當n∈N*時，

二、實數(shù)指數(shù)冪及其運算法則

有理指數(shù)冪還可以推廣到實數(shù)指數(shù)冪.一般地，當a>0,α為任意實數(shù)時，實數(shù)指數(shù)冪a、α都是有意義的.可以證明，對任意實數(shù)α、β，上述運算法則仍然成立三、冪函數(shù)舉例

例5

例5解接下來采用描點法作這6個函數(shù)的圖像.分別在其定義域中取一些值，如表2-6~表2-9所示：

例5它們的圖像如圖所示第四節(jié)指數(shù)函數(shù)第五節(jié)對數(shù)第六節(jié)對數(shù)函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)及其圖像和性質(zhì)

先看下面的問題，研究問題中兩個變量之間的依賴關(guān)系

問題1

問題2

例1解列出x、y的對應(yīng)值，如表所示

例1解用描點法，在同一坐標系中作出它們的圖像，如圖所示

例2解列出x、y的對應(yīng)值，如表所示

例2解用描點法，在同一坐標系中作出它們的圖像，如圖所示

（3）當a>1時，該函數(shù)是增函數(shù)，當0<a<1時，該函數(shù)是減函數(shù)，如圖所示.第五節(jié)對數(shù)第六節(jié)對數(shù)函數(shù)一、對數(shù)的概念

根據(jù)對數(shù)的定義，對數(shù)具有如下性質(zhì):010和負數(shù)沒有對數(shù)，即N>0；02

03

二、積、商、冪的對數(shù)第六節(jié)對數(shù)函數(shù)一、對數(shù)函數(shù)及其圖像和性質(zhì)

例1解分別列出兩個函數(shù)x、y的對應(yīng)值，如表2－12，表2－13所示：

作對數(shù)函數(shù)y=log2x和y=log3x的圖像

例1解

用描點法，在同一坐標系中作出它們的圖像，如圖所示

例2解分別列出兩個函數(shù)x、y的對應(yīng)值，如表2－14，表2－15所示：

例1解

用描點法，在同一坐標系中作出它們的圖像，如圖所示

（3）在定義域內(nèi)，當a>1時是增函數(shù)；當0<a<1時是減函數(shù)，如圖所示課后習題THANKSFORLISTENING

第三章三角函數(shù)目錄第一節(jié)任意角的概念與弧度制第二節(jié)任意角的三角函數(shù)第三節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系第四節(jié)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式第五節(jié)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)第六節(jié)正弦型曲線第七節(jié)加法定理第八節(jié)解斜三角形第九節(jié)反三角函數(shù)CONTENTS第一節(jié)任意角的概念與弧度制第二節(jié)任意角的三角函數(shù)第三節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系第四節(jié)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式第五節(jié)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)第六節(jié)正弦型曲線第七節(jié)加法定理第八節(jié)解斜三角形第九節(jié)反三角函數(shù)一、角的概念的推廣

我們知道，角可以看成是平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.如圖（a）所示，射線的端點是O，它從位置OA旋轉(zhuǎn)到另一位置OB形成的圖形叫做角.旋轉(zhuǎn)位置開始的射線OA叫做角的始邊，終止位置的射線OB叫做角的終邊，端點O叫做角的頂點.規(guī)定：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角，如圖（a）所示；按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負角，如圖（b）所示.當射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)時，我們稱它形成一個零角，零角的始邊與終邊重合

在以前所學的知識中，我們只研究了0°~360°范圍的角，但在現(xiàn)實生活中我們還會遇到更大范圍的角.例如，游樂場的摩天輪，當它一圈又一圈地轉(zhuǎn)動著的時候，其轉(zhuǎn)動的角度不是只限于0°~360°.為了描述這種現(xiàn)實狀況，我們把角的概念加以推廣，即推廣到任意角，包括正角、負角和零角.如圖所示，正角α=210°，負角β=－150°.

為了方便研究，我們經(jīng)常在平面直角坐標系中研究角.將角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的正半軸重合.坐標平面被直角坐標系分為四個部分，如圖所示，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.坐標軸上的點不屬于任何象限.此時，角的終邊在第幾象限，就把這個角叫做第幾象限的角，或者說這個角在第幾象限.

例1如圖所示，60°、420°、－300°角都是第一象限的角，見圖（a）；150°角是第二象限的角，－150°角是第三象限的角，見圖（b）；－30°、330°角都是第四象限的角,見圖（c）.

邊在坐標軸上的角叫做界限角，如0°、90°、180°、270°、360°、－90°、－180°角都是界限角.從圖（a）可以看出420°、－300°角都與60°角的終邊相同，并且都可以表示成60°與k個周角的和，其中的k為整數(shù)，即420°=60°+k×360°(k=1),－300°=60°+k×360°(k=－1)，它們是角的始邊繞坐標原點旋轉(zhuǎn)到60°角的終邊位置后，分別繼續(xù)按逆時針或順時針方向再旋轉(zhuǎn)一周所形成的角，其終邊都相同，因此將其叫做終邊相同的角.與60°角的終邊相同的角有無限多個，用集合表示為{α︱α=60°+k·360°,k∈Z}.一般地，與角α終邊相同的角有無限多個，并且它們（包括角α在內(nèi)）都可以寫成β=α+k·360°(k∈Z)的形式,所以它們所組成的集合為{β︱β=α+k·360°,k∈Z}二、弧度制初中我們研究過角的度量，即將圓周的1／360所對的圓心角叫做1度角，記作1°，如圖（a）所示.這種用“度”做單位來度量角度的單位制叫做角度制.現(xiàn)在我們來學習另外一種度量角的單位制——弧度制.把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1弧度或1rad，如圖（b）所示.

表中給出了一些特殊角的弧度與角度之間的換算.采用弧度制之后，每一個角都對應(yīng)唯一的一個實數(shù)；反之，每一個實數(shù)都對應(yīng)唯一的一個角.這樣，角與實數(shù)之間就建立了一一對應(yīng)的關(guān)系.第二節(jié)任意角的三角函數(shù)第三節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系第四節(jié)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式第五節(jié)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)第六節(jié)正弦型曲線第七節(jié)加法定理第八節(jié)解斜三角形第九節(jié)反三角函數(shù)一、任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的概念

下表所示為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的定義域.二、任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)在各象限的正負號

由于r>0，所以三角函數(shù)值的正負由終邊上點P的坐標來確定.因此由三角函數(shù)的定義以及各象限內(nèi)的點的坐標的符號可知：

為了便于記憶，我們將三角函數(shù)的正負號標在各個象限內(nèi)，如圖所示三、界限角的正弦值、余弦值和正切值

第三節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系第四節(jié)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式第五節(jié)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)第六節(jié)正弦型曲線第七節(jié)加法定理第八節(jié)解斜三角形第九節(jié)反三角函數(shù)

例

第四節(jié)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式第五節(jié)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)第六節(jié)正弦型曲線第七節(jié)加法定理第八節(jié)解斜三角形第九節(jié)反三角函數(shù)一、角α與α+2kπ(k∈Z)的三角函數(shù)間的誘導(dǎo)公式

由第一節(jié)可知，在直角坐標系中，角α與α+2kπ(k∈Z)的終邊相同.根據(jù)三角函數(shù)的定義，它們的三角函數(shù)值相等，即sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα,tan(α+2kπ)=tanα.利用上述公式，我們就可以把求任意角的三角函數(shù)的值轉(zhuǎn)化為求0°~360°的三角函數(shù)的值.二、角α與－α的三角函數(shù)間的誘導(dǎo)公式

于是，我們得到角α與－α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin(－α)=－sinα，cos(－α)=cosα,tan(－α)=－tanα.利用上述公式，我們就可以把負角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為正角的三角函數(shù).三、角α與π±α的三角函數(shù)間的誘導(dǎo)公式

如圖所示，已知任意角α的終邊與單位圓相交于點P，由于角π+α的終邊就是角α的終邊的反向延長線，所以角π+α的終邊與單位圓的交點P′與點P關(guān)于原點對稱.點P的坐標為(cosα,sinα)，點P′的坐標為(cos(π+α),sin(π+α))，又由于點P′與點P關(guān)于原點對稱，則點P′的坐標又可以寫為(－cosα,－sinα)，所以可得sin(π+α)=－sinα,cos(π+α)=－cosα.

于是，我們得到角α與π－α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin(π－α)=sinα,cos(π－α)=－cosα,tan(π－α)=－tanα.

以上公式統(tǒng)稱為誘導(dǎo)公式，利用誘導(dǎo)公式可以把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)，用以求三角函數(shù)式的值或化簡三角函數(shù)式.第五節(jié)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)第六節(jié)正弦型曲線第七節(jié)加法定理第八節(jié)解斜三角形第九節(jié)反三角函數(shù)一、正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)

下面研究三角函數(shù)的時候，按照慣例采用字母x來表示角（自變量）.在平面直角坐標系中，可以利用描點法得到正弦函數(shù)的圖像.一般地，作圖時自變量x應(yīng)采用弧度制.現(xiàn)在利用描點法畫出正弦函數(shù)的圖像.把區(qū)間［0,2π］分為8等份，分別求得函數(shù)y=sinx在各分點及區(qū)間端點的函數(shù)值，列表如表所示：

以表中每組(x,y)的值作為點的坐標，在直角坐標系內(nèi)作出對應(yīng)的點，把它們依次連結(jié)成光滑的曲線，就得到了正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間［0,2π］上的圖像，如圖所示.

因為終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，所以將函數(shù)y=sinx在［0,2π］上的圖像向左或向右平移（每次移動2π個單位長度），這樣就得到正弦函數(shù)y=sinx在R上的圖像，如圖所示.正弦函數(shù)的圖像叫做正弦曲線.

觀察發(fā)現(xiàn)，正弦函數(shù)y=sinx在［0,2π］上的圖像有五個關(guān)鍵點：(0,0),(π/2,1),(π,0),(3π/2,－1),(2π,0).在直角坐標系中，描出這五個點后，正弦函數(shù)y=sinx在［0,2π］上的圖像的形狀就基本上確定了.因此在精確度要求不高時，經(jīng)常先找出這五個關(guān)鍵點，然后用光滑的曲線把它們連結(jié)起來，就得到了正弦函數(shù)在［0,2π］上的簡圖.這種作圖的方法叫做“五點法”.

下面我們研究正弦函數(shù)的主要的性質(zhì).1定義域正弦函數(shù)y=sinx的定義域是R.2值域

3周期性對于函數(shù)f(x)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，當x取定義域D內(nèi)的每一個值時，都有x+T∈D，并且等式f(x+T)=f(x)成立，那么函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)，常數(shù)T叫做這個函數(shù)的一個周期.正弦函數(shù)的定義域是R，對x∈R都有x+2kπ∈R(k∈Z),并且由誘導(dǎo)公式sin(x+2kπ)=sinx可知，正弦函數(shù)是周期函數(shù).周期函數(shù)的周期不止一個，如2π,4π,6π,…，－2π,－4π,－6π,…都是正弦函數(shù)的周期.事實上，任何一個常數(shù)2kπ(k∈Z,k≠0)都是正弦函數(shù)的周期.如果周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么就把它叫做最小正周期.一般在不引起混淆的情況下，我們所說的函數(shù)的周期都是指它的最小正周期.例如，正弦函數(shù)的周期是2π.5單調(diào)性

4奇偶性觀察正弦曲線，可以看到正弦曲線關(guān)于原點O對稱，即正弦函數(shù)是奇函數(shù).二、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)

現(xiàn)在利用描點法畫出余弦函數(shù)的圖像.把區(qū)間［0,2π］分為8等份，分別求得函數(shù)y=cosx在各分點及區(qū)間端點的函數(shù)值，列表如表所示：

直角坐標系內(nèi)作出對應(yīng)的點，把它們依次連結(jié)成光滑的曲線，就得到了余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間［0,2π］上的圖像，如圖所示.

因為終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，所以將函數(shù)y=cosx在［0,2π］上的圖像向左或向右平移（每次移動2π個單位長度），這樣就得到余弦函數(shù)y=cosx在R上的圖像，如圖所示.余弦函數(shù)的圖像叫做余弦曲線.

下面我們研究余弦函數(shù)的主要的性質(zhì).1定義域余弦函數(shù)y=cosx的定義域是R.2值域余弦函數(shù)y=cosx的值域為［－1,1］.當x=2kπ,k∈Z時，函數(shù)取得最大值1；當x=(2k+1)π,k∈Z時，函數(shù)取得最小值-1.3周期性余弦函數(shù)的定義域是R，對x∈R都有x+2kπ∈R(k∈Z),并且由誘導(dǎo)公式cos(x+2kπ)=cosx可知，與正弦函數(shù)相同，余弦函數(shù)也是周期函數(shù)，它的周期是2kπ(k∈Z,k≠0)，并且最小正周期是2π.4奇偶性觀察余弦曲線，可以看到余弦曲線關(guān)于y軸對稱，即余弦函數(shù)是偶函數(shù).5單調(diào)性

由余弦曲線可以看出，當x由0增大到π時，曲線逐漸下降，cosx的值由1減小到－1；當x由π增大到2π時，曲線逐漸上升，cosx的值由－1增大到1.根據(jù)余弦函數(shù)的周期性可知：余弦函數(shù)在每一個區(qū)間［(2k－1)π,2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增大到1；在每一個區(qū)間［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1.三、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)

由正切函數(shù)的圖像可知，正切函數(shù)有如下的性質(zhì)1定義域

2值域函數(shù)y=tanx的值域為R，因此，它是無界的.3周期性函數(shù)y=tanx是周期函數(shù)，周期為π.4奇偶性由公式tan(－x)=－tanx可知，y=tanx是奇函數(shù)，它的圖像關(guān)于原點對稱.5單調(diào)性

四、余切函數(shù)的圖像與性質(zhì)

用類似于正切函數(shù)的作圖方法，可以作出余切函數(shù)y=cotx的定義域為{x|x∈R,x≠kπ,k∈Z}內(nèi)的圖像如圖所示.余切函數(shù)的圖像稱為余切曲線.由圖可以看出，正切曲線是由相互平行的直線x=kπ(k∈Z)所隔開的無窮多支曲線所構(gòu)成的.

由余切函數(shù)的圖像可知，余切函數(shù)有如下的性質(zhì).1定義域函數(shù)y=cotx的定義域為{x|x∈R,x≠kπ,k∈Z}2值域函數(shù)y=cotx的值域為R，因此，它是無界的.3周期性函數(shù)y=cotx是周期函數(shù)，周期為π.4奇偶性由公式cot(-x)=-cotx可知，y=cotx是奇函數(shù)，它的圖像關(guān)于原點對稱.5單調(diào)性

函數(shù)y=cotx在(kπ,π+kπ)（k∈Z）內(nèi)是單調(diào)遞減的.第六節(jié)正弦型曲線第七節(jié)加法定理第八節(jié)解斜三角形第九節(jié)反三角函數(shù)一、正弦型函數(shù)的概念和性質(zhì)

我們已經(jīng)學習了正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx.在物理學和電學中，我們經(jīng)常會遇到形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函數(shù)，這類函數(shù)稱為正弦型函數(shù).它與正弦函數(shù)y=sinx有著密切的關(guān)系.我們先來討論正弦型函數(shù)的周期.在正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中，令z=ωx+φ，則y=Asin(ωx+φ)=Asinz.

綜上所述，正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)主要有以下性質(zhì)：定義域為R；

值域為［－A,A］，即最大值為A，最小值為－A.

二、正弦型函數(shù)的圖像

例4

以表中每組(x,y)為坐標描點，如圖所示，在直角坐標系中比較精確地描出對應(yīng)的五個關(guān)鍵點

用光滑的曲線連接各點，得到函數(shù)y=sin(2x+π3)在一個周期內(nèi)的圖像，如圖所示

第七節(jié)加法定理第八節(jié)解斜三角形第九節(jié)反三角函數(shù)一、兩角和與差的余弦公式

二、兩角和與差的正弦公式

兩角和的正弦公式反映了α+β的正弦函數(shù)值與α,β的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.將式中的β?lián)Q成－β，則有sin(α－β)=sin［α+(－β)］=sinαcos(－β)+cosαsin(－β)=sinαcosβ－cosαsinβ.由此，我們得到了兩角差的正弦公式sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ.該式反映了α－β的正弦函數(shù)值與α,β的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.三、兩角和與差的正切公式

四、二倍角公式

第八節(jié)解斜三角形第九節(jié)反三角函數(shù)一、正弦定理

二、余弦定理

三、正弦定理與余弦定理的應(yīng)用

通過學習正弦定理、余弦定理，我們可以應(yīng)用這些三角函數(shù)的知識來解決一些實際問題,比如計算高度、長度、距離和角的大小等.

例7一艘船以每小時36海里的速度向正北方向航行，在A處觀察到燈塔C在船的北偏東30°方向，0.5小時后船行駛到B處，此時燈塔C在船的北偏東45°方向，如圖所示，求B處到燈塔C的距離.

例7

例8

如圖所示，設(shè)A,B兩點在河的兩岸，現(xiàn)需要測量兩點間的距離.測量者在與點A同側(cè)的岸上選定了一點C，并測量出A,C之間的距離為45m，又測出∠BAC=45°,∠ACB=75°.根據(jù)以上的信息，求出A,B兩點的距離（精確到0.1m）.

例8

第九節(jié)反三角函數(shù)一、反正弦函數(shù)

先看下面的例子.

例1

例1

從圖像可以看出，反正弦函數(shù)y=arcsinx在定義域內(nèi)是增函數(shù)，而且是奇函數(shù)，即arcsin(－x)=－arcsinx.二、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)和反余切函數(shù)

反余弦函數(shù)根據(jù)反函數(shù)圖像的性質(zhì)，可得出反余弦函數(shù)y=arccosx、反正切函數(shù)y=arctanx和反余切函數(shù)y=arccotx的圖像（如圖所示）.反余弦函數(shù)反余弦函數(shù)反正切函數(shù)反余弦函數(shù)反余切函數(shù)反余弦函數(shù)從圖像可以看出，反余弦函數(shù)y=arccosx在定義域內(nèi)是減函數(shù)，沒有奇偶性；反正切函數(shù)y=arctanx在定義域內(nèi)是增函數(shù)，且是奇函數(shù),反余切函數(shù)y=arccotx在定義域內(nèi)是減函數(shù)，沒有奇偶性.三、已知三角函數(shù)值求指定區(qū)間內(nèi)的角

課后習題THANKSFORLISTENING

第四章平面向量目錄第一節(jié)平面向量的概念第二節(jié)平面向量的線性運算第三節(jié)平面向量的坐標表示第四節(jié)平面向量的內(nèi)積CONTENTS第一節(jié)平面向量的概念第二節(jié)平面向量的線性運算第三節(jié)平面向量的坐標表示第四節(jié)平面向量的內(nèi)積

如圖所示，當人用力推一個箱子的時候，根據(jù)初中所學的物理知識我們知道，箱子在水平方向上受到推力及地面給箱子的摩擦力，這兩個力不但有數(shù)值的大小，而且還有方向.在現(xiàn)實生活中，存在兩種類型的量，一種只有數(shù)值的大小而沒有方向，它們可以用實數(shù)表示，如質(zhì)量、時間、體積、溫度等；而另外一種量不僅有數(shù)值的大小，而且還有方向，如力、速度、位移等.為了區(qū)分這兩種量，我們把只有數(shù)值大小的量叫做數(shù)量（或標量），把既有大小又有方向的量叫做向量（或矢量）.

如圖（a）所示，如果兩個向量的模相等，方向也相同，那么我們就說這兩個向量相等.向量a與b相等，記作a=b.如圖（b）所示，如果兩個向量的模相等，方向相反，那么我們就說這兩個向量互為相反向量，a的相反向量記作-a.規(guī)定：零向量的相反向量仍為零向量.方向相同或相反的兩個非零向量叫做互相平行的向量,向量a與b平行記作a∥b.規(guī)定：零向量與任何一個向量都平行.由于任意一組互相平行的向量都可以平移到同一條直線上，因此互相平行的向量又叫做共線向量.

例1

第二節(jié)平面向量的線性運算第三節(jié)平面向量的坐標表示第四節(jié)平面向量的內(nèi)積一、平面向量的加法

向量加法具有以下的性質(zhì)：01

a+0=0+a,a+(－a)=0；02

a+b=b+a；03

(a+b)+c=a+(b+c).這說明，在平行四邊形ABCD中，AC表示的向量為AB與AD的和，這種求和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.二、平面向量的減法

三、平面向量的數(shù)乘運算

實數(shù)λ與向量a的一個積是一個向量，叫做數(shù)乘向量，記作λa，它的模為︱λa︱=︱λ︱·︱a︱.一般地，有（1）0·a=0,λ·0=0；（2）當︱λa︱≠0時，若λ>0，則λa的方向與a的方向相同，若λ<0，則λa的方向與a的方向相反.

實數(shù)與向量的乘法運算叫做向量的數(shù)乘運算.和實數(shù)之間相乘一樣，對于任意的向量a,b及實數(shù)λ,μ，向量的數(shù)乘運算滿足下列運算律：（1）(λμ)a=λ(μa)=μ(λa)；（2）(λ+μ)a=λa+μa；（3）λ(a+b)=λa+λb.

向量的加法、減法以及數(shù)乘向量運算都叫做向量的線性運算.在第一節(jié)中，我們知道了向量平行的概念，因此結(jié)合向量平行與數(shù)乘向量的含義，我們可以得到如下的結(jié)論：設(shè)a,b為兩個非零向量，如果存在非零實數(shù)λ，使得b=λa，那么a∥b；反之，如果a∥b，那么一定存在一個非零實數(shù)λ，使得b=λa.一般地，λa+μb（λ,μ均為實數(shù)）叫做a,b的一個線性組合.如果l=λa+μb，則稱l可以用a,b線性表示.

第三節(jié)平面向量的坐標表示第四節(jié)平面向量的內(nèi)積

我們知道，在平面直角坐標系中，平面內(nèi)的每一點都可以用一對有序?qū)崝?shù)來表示，這對實數(shù)就是這個點的坐標.同樣，在平面直角坐標系中，每一個平面向量也可以用一對實數(shù)來表示.

第四節(jié)平面向量的內(nèi)積一、平面向量的內(nèi)積

由內(nèi)積的概念可以得到以下幾個重要的結(jié)果：01

a·0=0，0·a=0；02

03

<a,b>=0°時，a·b=︱a︱·︱b︱，當<a,b>=180°時，a·b=－︱a︱·︱b︱；04

05

我們也可以知道內(nèi)積滿足下面的運算律：01

a·b=b·a；02

(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；03

(a+b)·c=a·c+b·c.二、向量內(nèi)積的坐標表示

在平面直角坐標系中，向量a的坐標為(x1,y1)，向量b的坐標為(x2,y2)，i、j分別為x軸、y軸上的單位向量，則a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.由于i⊥j，所以i·j=0，又︱i︱=︱j︱=1，所以a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i·i+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j·j=x1x2︱i︱2+y1y2︱j︱2=x1x2+y1y2.

課后習題THANKSFORLISTENING

第五章直線和圓的方程目錄第一節(jié)兩點間距離公式及中點公式第二節(jié)直線的方程第三節(jié)兩條直線的位置關(guān)系第四節(jié)圓的方程第五節(jié)直線與圓CONTENTS第一節(jié)兩點間距離公式及中點公式第二節(jié)直線的方程第三節(jié)兩條直線的位置關(guān)系第四節(jié)圓的方程第五節(jié)直線與圓一、兩點間的距離公式

二、線段中點坐標公式設(shè)A(x1,y2)、B(x2,y2)是平面直角坐標系內(nèi)的任意兩點，點M(x0,y0)是線段AB的中點.過點A、B、M分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為A1、A2、B1、B2、M1、M2，如圖所示

第二節(jié)直線的方程第三節(jié)兩條直線的位置關(guān)系第四節(jié)圓的方程第五節(jié)直線與圓一、直線的傾斜角與斜率直線l在直角坐標系中與兩個坐標軸有不同的夾角，其中直線l向上的方向與x軸的正方向所成的最小正角，叫做直線l的傾斜角，如圖所示的角α.當直線l與x軸平行或重合時，直線l的傾斜角為零度角.

規(guī)定：

這樣，對任意的直線l，它的傾斜角α的取值范圍是0°≤α<180°.直線l的傾斜角為α（α≠90°），則α的正切值叫做這條直線的斜率，通常用小寫字母k表示，即k=tanα.當α=90°時，直線l的斜率不存在，當α≠90°時，直線l都有確定的斜率.根據(jù)直線傾斜角的取值范圍，直線的斜率可以分為以下4種情況：01

當α=0°時（直線平行或重合于x軸），k=0；02

當α為銳角時，k>0；03

當α=90°時（直線平行或重合于y軸），k不存在；04

當α為鈍角時，k<0.

例1根據(jù)下面各直線滿足的條件，分別求出直線的斜率：（1）傾斜角為60°；（2）直線經(jīng)過點A(－2,3),B(2,－1).

二、直線的點斜式和斜截式方程

一般地，如果直線（或曲線）L與方程F(x,y)=0滿足下列關(guān)系：（1）直線（或曲線）L上的點的坐標都是方程F(x,y)=0的解；（2）以方程F(x,y)=0的解為坐標的點都在直線（或曲線）L上.那么，直線（或曲線）L叫做二元方程F(x,y)=0的直線（或曲線），方程F(x,y)=0叫做直線（或曲線）L的方程，記作曲線L:F(x,y)=0或者曲線F(x,y)=0.如圖所示，直線l與x軸交于點A(a,0)，與y軸交于點B(0,b)，則a叫做直線l在x軸上的截距（或橫截距），b叫做直線在y軸上的截距（或縱截距）.設(shè)直線l的斜率為k，并且在y軸上的截距為b，即直線經(jīng)過點(0,b)，則直線l的方程為y－b=k(x－0)，即y=kx+b.斜率為k，在y軸上的截距為b的直線的方程為y=kx+b這個方程叫做直線的斜截式方程.下面，我們考慮兩種特殊情況，如圖所示.

三、直線的一般式方程

因此，二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不全為零）表示一條直線.方程Ax+By+C=0（其中A,B不全為零）叫做直線的一般式方程.

第三節(jié)兩條直線的位置關(guān)系第四節(jié)圓的方程第五節(jié)直線與圓一、兩條相交直線的交點

二、兩條直線平行的條件

平面內(nèi)不重合的兩條直線只有相交和平行兩種位置關(guān)系，前面我們學習了兩條相交直線的交點，下面我們將利用直線的斜截式方程來討論兩條直線平行的條件.如圖（a）所示，兩條直線l1,l2的斜率都存在且都不為0，如果直線l1平行于l2，那么這兩條直線與x軸相交的同位角相等，即兩條直線的傾斜角相等，故兩條直線的斜率相等；反之，兩條直線l1,l2的斜率都存在且都不為0，如果直線的斜率相等，那么這兩條直線的傾斜角相等，即兩條直線與x軸相交的同位角相等，故兩條直線平行.如圖（b）所示，兩條直線l1,l2的斜率都為0，則這兩條直線都與x軸平行，所以直線l1,l2平行.如圖（c）所示，兩條直線l1,l2的斜率都不存在，則這兩條直線都與y軸平行，所以直線l1,l2平行.所以，當兩條直線的斜率都存在但不相等或一條直線的斜率存在而另一條直線的斜率不存在時，兩條直線相交，這樣我們就可以利用前面的知識求兩條直線的交點.當兩條直線的斜率都存在時，可以利用直線的斜率及直線在y軸上的截距，來判斷兩條直線的位置關(guān)系.設(shè)兩條直線的方程分別為l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，則（1）如果k1≠k2，則兩條直線l1,l2相交；（2）如果k1=k2，當b1≠b2時，則兩條直線l1,l2平行；當b1=b2，則兩條直線l1,l2重合.因此，判斷兩條直線是否平行的一般步驟是：01

判斷兩條直線的斜率是否存在，若都不存在，則兩條直線平行（或重合），若只有一個不存在，則兩條直線相交；02

若兩條直線的斜率都存在，將它們都化成斜截式方程，若斜率不相等，則相交；03

若斜率相等，比較兩條直線在y軸上的截距，截距相等，則兩條直線重合，截距不相等，則兩條直線平行.三、兩條直線垂直的條件

在這里我們利用直線的斜截式方程討論兩條相交直線的一種特殊情形，即直線垂直的情形.

四、點到直線的距離

五、兩條直線的夾角

第四節(jié)圓的方程第五節(jié)直線與圓一、圓的標準方程

在平面幾何中，我們已經(jīng)知道圓的定義，即平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長的點的軌跡，其中定點叫做圓心，定長叫做半徑.下面，我們在直角坐標系中研究圓的方程.如圖所示，設(shè)圓心的坐標為C(a,b)，圓的半徑為r，點M(x,y)為圓上任意一點，則︱MC︱=r.

二、圓的一般方程

圓的一般方程具有以下特點：01

02

不含xy項.第五節(jié)直線與圓一、直線與圓的位置關(guān)系在初中，我們已經(jīng)學習過直線與圓的位置關(guān)系及判別方法.直線與圓的位置關(guān)系有三種：01

直線與圓無交點時，稱直線與圓相離；02

直線與圓僅有一個交點時，稱直線與圓相切；03

直線與圓有兩個交點時，稱直線與圓相交.設(shè)圓心到直線l的距離為d，半徑為r，如圖所示.（1）直線l與圓相離，當且僅當d>r，如圖（a）所示；（2）直線l與圓相切，當且僅當d=r，如圖（b）所示；（3）直線l與圓相交，當且僅當d<r，如圖（c）所示.直線與圓位置關(guān)系的判別方法：方法一：

方法二：

例1

例1

例2

二、直線的方程與圓的方程應(yīng)用舉例

例3一次設(shè)計電路板的實驗中，小明設(shè)計的電路板如圖所示（單位：cm）.現(xiàn)在小明要從P點連一條線到線段AB，他想知道這條線的最短長度，你能替他算出來嗎？（精確到0.01cm）

例3解：不難看出，P到直線AB的距離就是小明想知道的最短距離.以這塊電路板的左下角為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(2,6),B(16,8),P(4,10)．

例3

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第六章圓錐曲線方程目錄第一節(jié)橢圓第二節(jié)雙曲線第三節(jié)拋物線第四節(jié)極坐標第五節(jié)參數(shù)方程CONTENTS第一節(jié)橢圓第二節(jié)雙曲線第三節(jié)拋物線第四節(jié)極坐標第五節(jié)參數(shù)方程一、橢圓的概念與標準方程若取一條長度固定且沒有彈性的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖畫出的軌跡我們知道是圓形；若細繩拉開一段距離，兩端固定在圖板的兩個點處，并保持繩子的長度大于兩點之間的距離，此時筆尖畫出的軌跡是什么形狀呢？下面我們來做一個實驗.

如圖所示，我們將繩子的兩端固定在畫板上的F1和F2兩點處，并使繩長大于F1、F2的距離，用筆尖將繩子拉緊，并保持拉緊的狀態(tài)，在畫板上慢慢移動，觀察所畫出的圖形.從以上實驗中可以看出，筆尖（即M點）在移動過程中，與兩個定點F1、F2的距離之和始終保持不變，等于該繩子的長度.我們將平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫作橢圓，這兩個定點F1、F2叫作橢圓的焦點，兩個焦點之間的距離，即|F1F2|叫作橢圓的焦距.上述實驗畫出的圖形就是橢圓.下面我們建立一個適當?shù)闹苯亲鴺讼?，來研究橢圓的方程.

以橢圓的焦點F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，如圖所示.

二、橢圓的性質(zhì)

1圖形中x，y的取值范圍

從圖上來看，此橢圓應(yīng)該位于直線x=±a，y=±b所圍成的矩形內(nèi).

在橢圓的標準方程中，我們將x換成-x，方程依然成立.這說明當點P（x，y）在橢圓上時，其關(guān)于y軸的對稱點P2（-x，y）也在橢圓上，因此橢圓關(guān)于y軸對稱，如圖所示.同理，將y換成-y，方程依然成立.這說明當點P（x，y）在橢圓上時，其關(guān)于x軸的對稱點P1（x，-y）也在橢圓上（見圖）.將x換成-x，y換成-y，方程依然成立.這說明當點P（x，y）在橢圓上時，其關(guān)于坐標原點的對稱點P3（-x，-y）也在橢圓上（見圖）.2圖形的對稱性

由此可知，橢圓關(guān)于坐標軸和坐標原點都對稱，橢圓是軸對稱圖形和中心對稱圖像，它的對稱軸是x軸和y軸，它的中心對稱點是原點，我們稱橢圓的對稱中心點為橢圓的中心.

3橢圓的頂點

3離心率第二節(jié)雙曲線第三節(jié)拋物線第四節(jié)極坐標第五節(jié)參數(shù)方程一、雙曲線的定義與標準方程上節(jié)課我們已經(jīng)知道了平面內(nèi)到兩個定點的距離之和為定值的點的軌跡為橢圓，那么平面內(nèi)到兩個定點的距離之差為非零常數(shù)的點的軌跡是怎樣的曲線呢？它的標準方程是怎樣的呢？下面我們通過一個實驗——拉鏈實驗來研究這個問題.

在畫板上選取兩定點F1，F(xiàn)2，將拉鏈（拉鏈的兩邊等長）拉開一段，其中一邊固定在F1處，在另一邊上截取一段AF2（并使AF2小于F1，F(xiàn)2之間的距離），而后固定在F2處，把筆尖放在拉鏈口處（即點M處），于是隨著拉鏈的逐漸打開或閉攏，筆尖就徐徐畫出一條曲線；同理，將拉鏈的兩邊交換位置，可畫出另外一支曲線，如圖所示.

從以上實驗我們可以發(fā)現(xiàn)，筆尖（即M點）在緩慢移動過程中，與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值始終保持不變，即等于AF2.我們將平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2間的距離的差的絕對值是常數(shù)（2a，a＞0且小于|F1F2|）的點的軌跡叫作雙曲線．其中這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩個焦點的距離|F1F2|叫作雙曲線的焦距.上面實驗所畫出的圖形就是雙曲線，下面我們建立適當?shù)闹苯亲鴺讼祦硌芯侩p曲線的標準方程.

如果我們把雙曲線與整個坐標平面繞y=x翻轉(zhuǎn)180°，如圖（a）所示，而仍以向右方向為x軸正方向，向上方向為y軸正方向，便可得到焦點在y軸上的雙曲線，如圖（b）所示

二、雙曲線的性質(zhì)

1圖形中x，y的取值范圍

在雙曲線的標準方程中，我們將x換成-x，方程依然成立,這說明雙曲線關(guān)于y軸對稱.同理可知，雙曲線也關(guān)于x軸對稱，x軸和y軸都叫作雙曲線的對稱軸.因為雙曲線是不封閉的曲線，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心，坐標原點叫作雙曲線的對稱中心（簡稱中心）.2圖形的對稱性

雙曲線與對稱軸的交點叫作雙曲線的頂點，當y=0時，計算得x=±a，所以雙曲線的頂點為A1（-a，0）和A2（a，0）（見圖）.我們稱線段A1A2為雙曲線的實軸，它的長為2a.由于x=0時，雙曲線方程無解，即雙曲線與y軸無交點，但是我們?nèi)詫軸上的兩個特殊點B1（0，-b）、B2（0，b）在圖中也標示出來（見圖），看作雙曲線與y軸的兩個虛交點，我們稱線段B1B2為雙曲線的虛軸，它的長為2b，a和b分別叫作雙曲線的實半軸長和虛半軸長.3雙曲線的頂點

4雙曲線的漸近線

5雙曲線的離心率第三節(jié)拋物線第四節(jié)極坐標第五節(jié)參數(shù)方程一、拋物線的定義和標準方程

前兩節(jié)我們學習了二次曲線的橢圓和雙曲線，那么平面內(nèi)移動點到定點和定直線的距離相等的軌跡是怎么樣的圖形呢？下面我們來做一個實驗.如圖所示，點F是定點，l是不經(jīng)過點F的定直線.H是直線l上的任意一點，過點H作MH⊥l，并與線段FH的垂直平分線相交于點M，當點H在直線l上運動時，點M的軌跡是什么?點M在運動的過程中滿足什么條件?

從以上實驗中，我們發(fā)現(xiàn)點M到直線l的距離和到頂點F的距離始終保持相等（即|MH|=|MF|）.我們將平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l（l不經(jīng)過點F）距離相等的點的軌跡叫作拋物線，我們稱定點F為拋物線的焦點，定直線l叫作拋物線的準線.因此,圖中點M的運動軌跡就是拋物線.下面我們建立一個適當?shù)闹苯亲鴺讼?，來研究拋物線的標準方程.如圖所示，取過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，線段KF的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系

一條拋物線，由于它在坐標平面內(nèi)的位置不同，方程也會有所不同，所以拋物線的標準方程還有其他形式.如果我們把圖中的拋物線與整個坐標平面分別進行以下操作：01

繞y=x翻轉(zhuǎn)180°；02

繞x軸翻轉(zhuǎn)180°；03

繞y=-x翻轉(zhuǎn)180°，而仍以向右方向為x軸正方向，向上方向為y軸正方向，便可得到以下三種拋物線的圖形及其標準方程，如下表所示二、拋物線的性質(zhì)從拋物線的標準方程中我們可以得到不等式y(tǒng)2≥0，p>0即x≤0，y∈R.

1圖形中x，y的取值范圍

從圖可以看出，拋物線位于x軸的負半軸方向，而且|y|值隨著|x|的增大逐漸增大，即拋物線越向左上方和左下方無限延伸.

在上述拋物線的標準方程中，我們將y換成-y，方程依然成立.這說明該拋物線圖形關(guān)于x軸對稱.2圖形的對稱性

拋物線與坐標軸的交點叫作拋物線的頂點.當y=0時，x=0；當x=0時，y=0，說明拋物線只有一個頂點，即為坐標原點（0,0），這與橢圓有四個頂點、雙曲線有兩個頂點不同.3拋物線的頂點

我們將拋物線上的任一點與焦點的距離和它到準線的距離之比，叫作拋物線的離心率，記作e.由定義知，拋物線y2=-2px(p>0)的離心率為e=1.4離心率第四節(jié)極坐標第五節(jié)參數(shù)方程一、極坐標系

我們知道，在平面直角坐標系中，可以通過一對有序?qū)崝?shù)來確定平面內(nèi)一個點的位置.但這種方法并不是確定平面內(nèi)點的位置的唯一方法.在某些實際問題中，還常用角度和距離來確定平面內(nèi)點的位置.如“某船位于東偏南30°的20海里處”等.這種利用角度和距離來確定平面內(nèi)點的位置的坐標系就是本節(jié)要討論的極坐標系.

如圖所示，在平面內(nèi)取一點O,從O引一條射線Ox，再取定一個長度單位和角的正方向（通常取逆時針方向），這樣就建立了一個極坐標系，點O稱為極點，射線Ox稱為極軸.設(shè)M為平面內(nèi)任意一點，用ρ表示線段OM的長度,θ表示以O(shè)x為始邊，OM為終邊的角度.ρ稱為點M的極徑,θ稱為點M的極角，有序?qū)崝?shù)對(ρ,θ)稱為點M的極坐標，記作M(ρ,θ).當ρ=0時，無論θ取什么值，(0,θ)都表示極點.當θ=0時，不論ρ取什么正值，點(ρ,0)都在極軸上.當ρ≥0，0≤θ＜2π時，對于平面內(nèi)的點M（除極點外），都可以找到唯一的有序?qū)崝?shù)對(ρ,θ)與之對應(yīng)；反過來，對于任意的有序?qū)崝?shù)對(ρ,θ)，也總可以在平面內(nèi)找到唯一的點M與之對應(yīng).也就是說，當ρ≥0，0≤θ＜2π時，平面內(nèi)的點M（除極點外）與它的極坐標(ρ,θ)之間具有一一對應(yīng)的關(guān)系.由于實際問題的需要，對于點M(ρ,θ)，極徑ρ和極角θ也可以取負值.當ρ＞0時，點M在θ的終邊上，且OM=ρ；當ρ＜0時，點M在θ的終邊的反向延長線上，且OM=ρ，如圖所示.當θ＞0時，極軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)；當θ＜0時，極軸按順時針方向旋轉(zhuǎn).二、極坐標與直角坐標的互化

平面內(nèi)的極坐標系與直角坐標系是兩種不同的坐標系，平面內(nèi)的同一個點既可以用極坐標表示，也可以用直角坐標表示.為了研究問題的方便，有時需將它們進行互化.如圖所示，把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的單位長度.設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標為(x,y),極坐標為(ρ,θ)，則有

x=ρcosθy=ρsinθ（66）由（66）式，可得