24-程序編制中的數(shù)學處理

1一、非圓曲線的節(jié)點計算任務(wù)：用若干段直線段或若干段圓弧段逼近理論曲線，找出直線或圓弧與理論曲線的交點?？傮w原則是：①保成精度；②計算簡單；③程序段少。逼近方法有四：①等間距直線逼近法；②等弦長直線逼近法；③等誤差直線逼近法；④圓弧逼近法第1頁/共12頁2（一）等間距直線逼近法已知曲線方程將X坐標按等間距ΔX分開，得出各個節(jié)點的X坐標值Xi，代如上式，得出各個節(jié)點的Y坐標值Yi，Xi，Yi就是各個節(jié)點的坐標。以次來編制直線插補程序。思路：現(xiàn)在的問題是：ΔX取多大合適？ΔX取決于曲線的曲率和允許誤差δ允一般是先憑經(jīng)驗初取ΔX，試算并校驗。第2頁/共12頁3最大逼近誤差校驗方法逼近精度要求：各段的逼近誤差都必須小于等于允許誤差ΔX逼近直線A1A2的方程Ax+By+C=0由A1A2兩點坐標列出方程：B1B2距直線A1A2等距離的直線B1B2的方程為第3頁/共12頁4續(xù)與聯(lián)立求解。如果無解，則A1A2與曲線沒有交點，表明插補誤差小于允許誤差；如果只有一個解，則與曲線相切，表明插補誤差等于允許誤差；如果有兩個或兩個以上的解，則與曲線相割，表明插補誤差大于允許誤差；這是應(yīng)縮小ΔX，重新計算節(jié)點和驗算逼近誤差。直到最大逼近誤差小于或等于允許誤差為止。不必每段曲線都驗算，只需驗算逼近誤差最大的段，何處逼近誤差大，從圖上可直觀看出來這種方法雖然簡單，但因ΔX為定值，當曲線變化較大時，程序段較多。第4頁/共12頁5（二）等弦長逼近法這種方法，所有逼近線段的長度均相等，這樣，只要使曲線曲率最大處不超差，則其余各段均不會超差，所以，首先找出曲線上的最小曲率半徑ρmin，何處曲率半徑最小，可用直觀法判斷，也可以用數(shù)學法判斷。已知零件輪廓曲線的方程為則曲線的曲率半徑為取則（1）（2）由（2）式求出X，代入（1）式，便可得到最小曲率半徑第5頁/共12頁6續(xù)2.確定允許的步長，3.以曲線起點a為圓心，以步長l為半徑畫弧，交曲線與b點，解出b點坐標；4.順序以b、c為圓心，重復(fù)上步，即可求出其余各節(jié)點的坐標值；等步長法對于曲率變化較大的曲線，求得的節(jié)點數(shù)仍然過多，它適用于曲率變化不大的曲線。第6頁/共12頁7（三）等誤差直線逼近法這種方法使每個直線段的逼近誤差都相等，且所以，它比前兩種方法都合理，程序段少，占內(nèi)存少，但計算復(fù)雜。大型、復(fù)雜的零件輪廓宜采用這種方法。這種方法步驟如下：1。以起點a為圓心，以允許誤差為半徑畫允差圓；2。作允差圓與輪廓曲線的公切線T；3。過a作公切線T的平行線，交輪廓曲線與b點，求出b點的坐標；4。再以b為新的起點，重復(fù)上述步驟，便可依次求出各個節(jié)點的坐標。第7頁/共12頁8點b坐標值的求法以a點為圓心的允差圓方程為（1）公切線T的方程為（2）k為公切線的斜率，其值為解以下聯(lián)立方程曲線方程允差圓方程便可求得，P、T兩個切點的坐標值再由斜率方程（3）求出k值。則過a點且平行于T的直線方程為：（3）（4）求方程（4）與輪廓曲線的交點就是節(jié)點b。第8頁/共12頁9（四）圓弧逼近法對于具備圓弧插補功能數(shù)控機床，可以用圓弧段逼近工件的輪廓曲線。此時，需求出每段圓弧的起點、終點、圓心坐標以及圓弧半徑。第9頁/共12頁10二、列表曲線的插值與擬合所謂列表曲線，是指已給出曲線上的某些坐標點，但沒有給出方程（數(shù)學表達式），這時就要先求出這些坐標點的擬合曲線，然后再去逼近，即先擬合，后逼近。數(shù)控編程中，常用樣條曲線擬合法。最初在造船業(yè)中，用一根木料做成的彈性長條，放樣員用它通過型值點畫出光滑曲線，放樣用的彈性長條簡稱“樣條”。彈性長條在力學上叫做彈性梁，“樣條”一詞在數(shù)學上叫“樣條函數(shù)”，也簡稱“樣條”，是指擬合出的曲線方程，所擬合出的曲線都通過給定的列表點，而且具有連續(xù)的曲率。第10頁/共12頁11二、列表曲線的插值與擬合續(xù)1、三次樣條曲線擬合如下圖所示，使梁通過給定的列表點，并產(chǎn)生彈性彎曲，顯然，用這種方法形成的曲線不僅通過給定的列表點，而且光滑，連續(xù)。三次樣條函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，整體光滑，應(yīng)用較廣。用這種方法處理小撓度時，擬合精度高。但處理大撓度時，效果較差。第11頁/共12頁12三、列表曲線的插值與擬合續(xù)2、圓弧樣條擬合如右圖所示，給定一系列的列表點P1、P2

、P3、P4過每一點作一圓弧并使相鄰兩圓弧在相鄰兩點連線的中垂線上相切。編程時，就按這些圓的參數(shù)P3P1P2P4T1T2T3（圓心、曲率半徑、節(jié)點T）編制圓弧插補程序，整個圓弧的插補程序段數(shù)與列表點數(shù)相等，如圖，列表點數(shù)為4，（P1、P2

、P3、P4

），圓弧段數(shù)也為4（P1T1、T1T2、T2T3、T3P4

），圓弧樣條曲線