必修四平面向量復(fù)習(xí)分解

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思考是一種尋覓。尋覓的過程充滿混沌與艱辛，需穿越荒漠涉過險(xiǎn)灘，有時(shí)則穿行在熱鬧的人群中，忍受著生活的單調(diào)和人們的誤解。在失敗時(shí)思考，是為了渡過人生的這一危機(jī)，在大聲喧嘩時(shí)思考，是為了保持冷靜；在獨(dú)處時(shí)思考，是為了更仔細(xì)地梳理命運(yùn)的線索……思考的魅力是無窮的，善于思考是人生的一大財(cái)富。愿每位同學(xué)在學(xué)習(xí)生活中懂得思考，學(xué)會(huì)思考。

第二章平面向量復(fù)習(xí)平面向量復(fù)習(xí)平面向量

表示運(yùn)算

實(shí)數(shù)與向量的積

向量加法與減法

向量的數(shù)量積

平行四邊形法則向量平行、垂直的條件平面向量的基本定理三角形法則向量的三種表示向量的相關(guān)概念一.基本概念1.向量及向量的模、向量的表示方法1)幾何表示2)字母表示3)坐標(biāo)表示AB有向線段AB向量的模（長(zhǎng)度）1.設(shè)a=(x

,y),則2.若表示向量a的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)，則一.基本概念2.零向量及其特殊性3.單位向量一.基本概念4.平行向量5.相等向量6.相反向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.在保持長(zhǎng)度和方向不變的前提下,向量可以平行移動(dòng).平移先后兩向量相等任一組平行向量都可平移到同一直線上(共線向量)區(qū)分向量平行、共線與幾何平行、共線長(zhǎng)度相等且方向相反的向量叫做相反向量.首要的是通過向量平移,使兩個(gè)向量共起點(diǎn)7.兩個(gè)非零向量的夾角一.基本概念1.向量加法的三角形法則2.向量加法的平行四邊形法則3.向量減法的三角形法則首尾相接共起點(diǎn)共起點(diǎn)二.基本運(yùn)算（向量途徑）向量加法的運(yùn)算律(交換律、結(jié)合律）平面向量復(fù)習(xí)1.向量的加法運(yùn)算ABC

AB+BC=三角形法則OABC

OA+OB=平行四邊形法則坐標(biāo)運(yùn)算:則a+b=重要結(jié)論：AB+BC+CA=0設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)ACOC平面向量復(fù)習(xí)2.向量的減法運(yùn)算1）減法法則：OAB2）坐標(biāo)運(yùn)算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2)則a－b=

3.加法運(yùn)算率a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交換律：2）結(jié)合律：BA(x1－x2,y1－y2)OA－OB=在同一個(gè)平行四邊形中把握：及其模的關(guān)系A(chǔ)DBC3.實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量運(yùn)算律二.基本運(yùn)算（向量途徑）其實(shí)質(zhì)就是向量的伸長(zhǎng)或縮短！4.兩個(gè)非零向量的數(shù)量積向量數(shù)量積的幾何意義可正可負(fù)可為零二.基本運(yùn)算（向量途徑）運(yùn)算律5、數(shù)量積的運(yùn)算律：⑴交換律：⑵對(duì)數(shù)乘的結(jié)合律：⑶分配律：注意：數(shù)量積不滿足結(jié)合律平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)

（1）e·a=a·

e=|a|cosθ（2）a⊥b的條件是

a·b=0(3)當(dāng)

a與b同向時(shí)，

a·b=|a||b|;

當(dāng)a與b

反向時(shí)，a·b=-|a||b|

特別地：a·a=|a|2

或

|a|=

（4）cosθ=

（5）|

a·b|≤|a||b|

a,b為非零向量，e為單位向量二.基本運(yùn)算（坐標(biāo)途徑）三.兩個(gè)等價(jià)條件四.一個(gè)基本定理2.平面向量基本定理利用向量分解的“唯一性”來構(gòu)建實(shí)系數(shù)方程組練習(xí)1：判斷正誤，并簡(jiǎn)述理由。(√

）(√

）(√

）(×

）(×

）(×

）平面向量復(fù)習(xí)2.設(shè)AB=2(a+5b)，BC=

2a+8b，CD=3(a

b)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線。分析要證A、B、D三點(diǎn)共線，可證AB=λBD關(guān)鍵是找到λ解：∵BD=BC+CD=

2a+8b+3(a

b)=a+5b∴AB=2BD且AB與BD有公共點(diǎn)B∴

A、B、D三點(diǎn)共線AB∥BD

應(yīng)用舉例例3.向量的長(zhǎng)度與夾角問題

應(yīng)用舉例例4.平行與垂直問題

應(yīng)用舉例例5.平行與垂直問題例7.

已知a=(1，1)，b=(－4，5)，分別求a，b的單位向量。例6.

已知平行四邊形ABCD的三頂點(diǎn)A(－1,－3)，B(3，1)，C(5，2)，求第四個(gè)頂點(diǎn)D和中心M的坐標(biāo)D(1，－2)例8.

已知a=(3，－2)，b=(－1，0)，（1）求向量3a－2b的坐標(biāo)；（2）求a+3b的長(zhǎng)度；（3）求x的值，使xa+(3－x)b與3a－2b為平行向量(11，-6)2x=9例9.已知向量a=(1，5)，b=(－3，2)，求a在b方向上的正射影的數(shù)量。題型一:向量的基本概念√

×

（1）（2）（3）×

×

×

題型二：平面向量的幾何運(yùn)算CMND

（A）重心外心垂心（B）重心外心內(nèi)心（C）外心重心垂心（D）外心重心內(nèi)心題型三:向量平行與垂直的條件利用向量共線定理及向量減法運(yùn)算證明例

求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值.題型四:運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算解決求角或距離等問題你能總結(jié)一下運(yùn)用向量解決平面幾何中角的計(jì)算問題的方法、思路嗎？用坐標(biāo)運(yùn)算的方法解決下列問題：題型五:向量與三角函數(shù)的綜合規(guī)律方法總結(jié)1.利用向量解題的基本思路有兩種。一是幾何法：利用向量加減法的法則，抓住幾何特征解題；二是坐標(biāo)法：建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將向量用坐標(biāo)表示，然后利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題。2.樹立和強(qiáng)化應(yīng)用向量解題的意識(shí)，尤其是與幾何相關(guān)的問題，特別是垂直和平行關(guān)系，用向量法解決最為簡(jiǎn)單。3.向量與三角函數(shù)結(jié)合的問題，通常是將向量的數(shù)量積與模用坐標(biāo)運(yùn)算后轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，然后用三角函數(shù)基本公式求解，其中涉及到的有關(guān)向量的知識(shí)有：①向量的坐標(biāo)表示及加、減法，數(shù)乘向量；②向量的數(shù)量積；③向量平行、垂直的充要條件；④向量的模、夾角等。4.注意掌握一些重要結(jié)論，靈活運(yùn)用結(jié)論解題。如向量的共線定理，平面向量基本定理，三角形四心與向量有關(guān)的常見結(jié)論等。作業(yè)布置1.

(湖南)設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn),且=2，=2，=2,則（）

A.反向平行B.同向平行

C.互相垂直D.既不平行也不垂直2.(浙江)已知、是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則｜｜的最大值是（）

A.1B.2C.D.

3.在△ABC中，若∣∣的值為()A.1B.3C.D.4.5.1.

(湖南)設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn),且=2，=2，=2,則（）

A.反向平行B.同向平行

C.互相垂直D.既不平行也不垂直解:同學(xué)們能嘗試用上述定比分點(diǎn)的向量式解決嗎？1.

(湖南)設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn),且=2，=2，=2,則（）

A.反向平行B.同向平行

C.互相垂直D.既不平行也不垂直作業(yè)布置2.(浙江)已知、是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則｜｜的最大值是（）

A.1B.2C.D.

方法一:向量式展開后整理有方法二：方法三：（借助圖形分析）∴C在以AB為直徑的圓上，當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)，取最大值3.在△ABC中，若∣∣的值為()A.1B.3C.D.分析：將兩向量式相減有D【評(píng)注】注意向量的模與數(shù)量積之間的關(guān)系：4.5.做

一

做解（1）（2）如圖建系，Cxy