專題探究課二-高考中三角函數(shù)問題的熱點題型

專題探究課二--高考中三角函數(shù)問題的熱點題型專題探究課二：高考中三角函數(shù)問題的熱點題型1.(221·昆明調(diào)研)函數(shù)$f(x)=3\sin\left(\frac{2x+\pi}{6}\right)$的圖像如下圖所示。(1)求$f(x)$的最小正周期及圖中$x$，$y$的值；(2)求$f(x)$在區(qū)間$\left(-\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{12}\right)$上最大值和最小值。解：(1)由題得，$f(x)$的最小正周期為$\pi$，$y=3$。當(dāng)$y=3$時，$\sin\left(\frac{2x+\pi}{6}\right)=1$，解得$\frac{2x+\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$，即$2x+\pi=3\pi$，解得$x=\frac{\pi}{6}$。因此，$f(x)$的圖像在$\left(\frac{\pi}{6},3\right)$處取得最大值。(2)因為$x\in\left(-\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{12}\right)$，所以$\frac{\pi}{6}<2x+\pi<\frac{5\pi}{6}$，即$\frac{1}{6}<\frac{2x+\pi}{\pi}<\frac{5}{6}$。因此，$2x+\pi$在$\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)$中取遍所有的值，所以$f(x)$在$\left(-\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{12}\right)$上的最大值為$3$，最小值為$-3$。2.(221·鄭州模擬)在$\triangleABC$中，內(nèi)角$A$，$B$，$C$所對應(yīng)的邊分別為$a$，$b$，$c$，已知$\sin^2B=3\sinA\cdot\frac{a}$。(1)求$B$；(2)若$\cosA=\frac{1}{3}$，求$\sinC$的值。解：(1)在$\triangleABC$中，由正弦定理可得$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}$。又因為$\sin^2B=3\sinA\cdot\frac{a}$，所以$\sinB=\sqrt{3\sinA\cdot\frac{a}}$。因此，$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sqrt{3\sinA\cdot\frac{a}}}$，整理得$\sinA=\frac{a}{2b}$，$\sinB=\frac{\sqrt{3}a}{2b}$。由正弦定理可得$\sinC=\frac{c}{2R}$，其中$R$為$\triangleABC$的外接圓半徑。因為$\sinA=\frac{a}{2b}$，$\sinB=\frac{\sqrt{3}a}{2b}$，所以$\sinC=\sin(180^\circ-A-B)=\sin(A+B)$。因此，$\sinC=\sinA\cosB+\cosA\sinB=\frac{a}{2b}\cdot\frac{\sqrt{3}a}{2b}+\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}a}{2b}=\frac{\sqrt{3}}{4}$。3.(221·西安調(diào)研)設(shè)函數(shù)$f(x)=\sin\left(\omegax\right)+2\sin\omega$，已知函數(shù)$f(x)$的圖像的相鄰兩對稱軸間的距離為$\pi$。(1)求函數(shù)$f(x)$的解析式；(2)若$\triangleABC$的內(nèi)角$A$，$B$，$C$所對的邊分別為$a$，$b$，$c$（其中$b<c$），且$f(A)=\frac{3}{2}$，$\triangleABC$的面積為$S=63$，$a=27$，求$b$，$c$的值。解：(1)因為函數(shù)$f(x)$的圖像的相鄰兩對稱軸間的距離為$\pi$，所以函數(shù)$f(x)$的周期為$2\pi$。設(shè)$\omega=2\pi/T$，其中$T$為函數(shù)$f(x)$的周期。因為函數(shù)$f(x)$的圖像的相鄰兩對稱軸間的距離為$\pi$，所以$T=\pi$。因此，$\omega=2$，$f(x)=\sin(x-2\pi)+1$。(2)因為$f(A)=\frac{3}{2}$，所以$\sin(A-2\pi)+1=\frac{3}{2}$，解得$\sinA=\frac{5}{6}$。由正弦定理可得$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R$，其中$R$為$\triangleABC$的外接圓半徑。因為$a=27$，$\sinA=\frac{5}{6}$，所以$R=\frac{27}{\frac{5}{6}}=\frac{162}{5}$。因為$S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}ac\sinB=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}\cdot\frac{abc}{2R}$，所以$bc=\frac{4S\cdot2R}{a}=\frac{4\cdot63\cdot\frac{162}{5}}{27}=\frac{576}{5}$。因為$b<c$，所以$b=\frac{576}{5c}<c$，解得$c>\frac{288}{13}$，$b=\frac{576}{5c}<\frac{576}{5}\cdot\frac{13}{288}=\frac{13}{5}$。根據(jù)正弦定理，有a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入b+c=2acosB，得a=2asinB。又因為A=2B，所以sinA=2sinBcosB，代入S=absinC/2，得S=1